蒙特卡羅模擬(Monte Carlo simulations)可以根據歷史報酬率或是預測報酬率等計量方法，測試某種投資組合在經歷長期投資後，能否滿足既定的財務規劃目標，並判斷達成目標的成功率為多少？這裡的成功率，可以視為持續提領既定的時間，最終資金沒有歸零的情況佔所有模擬情況的比率，愈高代表有愈大的信心這個投資組合能勝任財務規劃目標。舉個栗子，例如：現在開始，投入1,000萬資金在美股美債比例為60/40的投資組合裡，之後每年固定提領48萬生活費，能夠持續提領40年的成功率是多少？因此，對於有明確財務規劃，想測試投資組合長期表現的投資人，蒙特卡羅模擬將會是一個相當好用的試算工具。
蒙特卡羅模擬與成功率
蒙特卡羅模擬是一種運用隨機抽樣來進行統計推論的方法，通過大量的抽樣模擬使得推論結果趨近於實際值，節省用數學精確推導的過程(有點類依據大數法則，以大量實驗來暴力破解答案的概念)。由於現代電腦運算能力不斷進化，使得採用蒙特卡羅模擬的可行性與效率大為提高。
沿續上述的場景，說明蒙特卡羅模擬與成功率的概念：給定1,000萬起始資金以及未來每年固定提領48萬生活費的財務需求目標，若我們有美國股票市場與美國債券市場過去50年的歷史月報酬率序列，就可以利用它們建構美股美債比例為60/40投資組合每年的報酬率，以此作為隨機抽樣的元素。通過對投資組合「年」報酬率的隨機抽樣40次，可以形成一條「模擬」未來40年的投資組合累積報酬。再藉由大量重覆上述模擬，例如10,000次，就可以形成10,000條未來40年投資組合模擬的累積報酬，再將這些累積報酬率結果按高到低排序，若其中有8,300次在滿足每年固定提領48萬的財務需求目標前提下，40年後最終的累積報酬仍然大於零，則代表成功率為83%。
從上述例子可以知道，蒙特卡羅模擬的優點除了可以讓我們更具體的知道財務目標完整執行前提的成功率之外，還可以看到這個投資組合模擬結果的累積報酬分佈狀況，在較好(例如10,000個結果裡的第75百分位數)、一般(中位數)、較差(第25百分位數)分別會帶來多少累積報酬，讓我們的預期相較於傳統的報酬率平均數、標準差之外，有更好的可視化效果。另一方面，透過結合壓力測試的一些手段(後面會提到)，更能夠測試這個投資組合的抗壓性。
對於蒙特卡羅原理有興趣的讀者，可以參考這篇文章有更詳細的說明。
參數設定
沿用我們的案例：期初有1,000萬資金，預期未來40年每年提領48萬，提領金額需經通貨膨脹率逐年調整，其他重要參數說明如下：
- 現金流 (Cashflows)：選擇模擬過程財務規劃目標的資金流形態，例如週期性提領固定金額 (Withdraw fixed amount periodically)、或是週期性存入固定金額(Contribute fixed amount periodically)等。
- 通貨膨脹調整 (Inflation Adjusted)：預設為「是」，在進行長期財務規劃時，需確保未來現金流的實際購買力能夠保持一致，因此考慮通貨膨脹是相當重要的因素。
- 模擬模型(Simulation Model)：蒙特卡羅模擬可以對報酬率的分配型態進行不同的假設，例如可以採用資產的真實歷史報酬率(Historical Returns)模擬，或是採用參數報酬率法(Parameterized Returns)設定報酬率分配的平均數與標準差等。本案例以預設的歷史報酬率進行測算。
- 使用完整歷史數據 (Use Full History)：根據用戶的需求，可以選擇特定時間的歷史數據進行模擬。但一般情況下較不建議這麼做，最好能用30年以上的資料確保資產經歷過完整的牛市與熊市，避免回測結果產生偏差。
- 拔靴模型(Bootstrap Model)：拔靴又稱為自助抽樣，這裡是指以單年、單月或是連續n年作為隨機抽樣的單位元素。本案例以預設的單年作為抽樣最小單位元素。
- 報酬率順序風險(Sequence of Returns Risk)：可以作為投資組合壓力測試的方法。例如在所有模擬裡，強制投資組合表現最差的一年都發生在提領的第1年。關於報酬率順序風險在退休提領過程中，對於退休金累積的重要性，可以參考這篇文章有更直觀的說明。本案例先以預設值測算，不強制調整報酬率順序，後面再進行壓力測試對比。
- 通貨膨脹模型 (Inflation Model)：可以採用歷史實際通貨膨脹率，或是以參數法進行估算。
投資組合配置的方式採用經典的美股美債比例60/40，並且每年進行再平衡(Rebalance annually)恢復配置比例。
結果分析
模擬結果摘要 (Simulation Summary)
以下是根據美股美債資產自1987年1月至2021年12月，共計35年，對上述設計案例的蒙特卡羅分析結果：
若以市場表現為一般情況，即中位數，或第50百分位數(50th Percentile)來看，美股美債60/40投組的年化名目報酬率約在9.3%，若考慮了通貨膨脹影響，年化實質報酬率下降為6.4%。從累計資產規模來看，40年後的資產規模為1億443萬元，看起來驚人但是其購買力只相當於現在的3,612萬元。
若加計案例裡每年要求相當於48萬元購買力(經通膨調整)的生活費現金流支出，投資組合的最大跌幅是29.24%；若排除此現金流影響的最大跌幅則是23.57%，換句話說，在市場表現一般的情況下，就算是投資在美股美債60/40組合裡，40年投資下來，遭遇25%的大幅回撤也是相當正常的事。
每年的安全提領比率(Safe Withdrawal Rate)為6.95%，也就是說，在此案例下每年領取的生活費現金流支出購買力從48萬上升到約70萬，差不多40年後資產規模就會花光歸零；而永續提領比率(Perpetual Withdrawal Rate)為6.05%，代表若要40年後還想保有起始1,000萬投入資金的原始購買力，則每年領取的購買力資金大約為60萬。
最後，根據蒙特卡羅10,000次模擬試算，有8,965次能夠滿足每年提領48萬的財務需求(提領經通膨調整)存續40年，因此成功率為89.65%。
值得注意的是，上述只是市場表現一般情況。在進行財務規劃時，保守起見還是以第25百分位數(25th Percentile)，也就是市場表現較差的情況來估算更為合適(即上圖的綠線部分)。要知道選用美股與美債兩個資產進行投資組合測算，本身就有較大的選擇偏差(Selection Bias)，畢竟美國股市在過去35多年來的年化報酬率表現遠比非美國股市來得好(11% vs 5.9%)。
以第25百分位數的結果來看，上述案例的年化實質報酬率從6.4%下降為5.2%，40年後的實際購買力規模從3,612萬元下降到1,280萬元，即提領48萬元換算回來已經很接近永續提領比率(Perpetual Withdrawal Rate)。其實以第25百分位數進行測算，相當於判斷模擬結果最終是否能有75%以上的成功率，若能高於這個數值，會讓整個財務規劃看起來較為安全。
模擬資產 (Simulated Assets)
這部分主要呈現各資產(包含通貨膨脹率)之間在整段分析週期裡的相關性、年化成長率與年化波動率等。
預期報酬率 (Expected Returns)
根據蒙特卡羅模擬結果，隨著持有投組的時間增加，預期年化報酬率會趨於穩定。以第25百分位數結果為例，從持有15年以後到持有40年，預期年化報酬率(名目)約為7.5%，且變化在0.5%以內；以持有30年來看，預期年化報酬率(名目)超過7.5%的機率超過80%。
壓力測試：考慮報酬率順序風險
前面提到，報酬率順序風險在退休提領過程中，對於退休金累積的影響至關重要：當屆臨退休時若恰好市場進入熊市，會使得退休資產大幅縮水，連帶影響未來的增長規模。這樣的模擬是很有必要的，特別是對於近期考慮退休族群，面臨的市場是今年(2022年)以來美國股市下跌近18%，壓力測試可以更貼近目前的實際經濟情況。在此我們強制投資組合表現最差的一年都發生在提領的第1年。
從上圖可以知道至少有一半的投組在40年模擬裡最差一年的報酬率是-20%，少數的模擬投組最差的一年則是-9.27%。
在這樣的壓力測試下，根據蒙特卡羅10,000次模擬試算，剩下8,001次能夠滿足每年提領48萬的財務需求(提領經通膨調整)並且存續40年，成功率下降至80.01%，40年後的實際購買力規模下降到390萬元，只能算勉強達成既定的財務目標。反映在提領初期即遇到市場大幅下跌，實際可能造成的衝擊。
寫在最後
蒙特卡羅模擬是相當好用的財務規劃工具，特別是不同百分位數的結果可以看出最終資產變化的分佈範圍，並且以成功率將逹成財務目標的信心程度量化，方便我們進行財務規劃決策。
在選取抽模模擬的資產資料時，要儘可能選取包含牛熊市週期的長天期歷史資料，以及大範圍的區域型資產，使資料具有長期代表性，避免落入前面提及的選擇偏差。舉例而言，若將抽樣的歷史資料限制在2009年–2021年，在相同案例下的模擬結果成功率會從原本的89.65%上升到99.97%。主要原因是這段期間美股的年化報酬率特別高 (15.9% vs 11%)，遠高於長期平均水平，因此不論通過多少次隨機抽樣，模擬結果都會非常好，但這並不符合現實。在使用蒙特卡羅模型進行模擬時，這部分風險需要特別留意。
