貨幣簡單模型

Jagumon
翛然野叟
Published in
7 min readNov 12, 2018

Overlapping Generation Models

(OLG) model — 疊代模型

⭐️ 把人分成兩個時期

  • 年輕人
  • 老人

⭐️把經濟體開始的時期訂為1

  • t ≧ 1
  • N(t) 代表t時期出生的人,這邊用來定義”年輕人”
  • N(t-1)代表t-1時期出生的人,這邊用來定義”老人”

⭐️把消耗品儲蓄數量定為y

  • 只有年輕的時候可以獲得,老的時候無法獲得

⭐️疊代模型中,說明老人與年輕人都會消費,因此個體的效益(utility)取決於老人與年輕人的消費組合。

  • 給定一時期的消費量,個體效益會隨著另一時期的消費量而增加。
  • 兩個時期個體皆傾向消費正向的數量。
  • 為了讓明天有更多的消費,個體願意放棄今日的消費(如果蘋果相對明天而言充足)。

👉定義一個個體C(1, t)為年輕時的消費,C(2, t+1)為老年時的消費

👉假設時間不是關鍵的要素,則這兩時期訂為C(1),C(2)。

(圖1)無異曲線,說明了在效益相同(utility)之下,C(1) 和C(2) 之間的關係,A, B, C效益都是一樣的。
圖1(白話來說如果只有年輕時賺錢,那麼你一輩子賺的錢就是固定的(效益utility),年輕時 + 老年時花的錢,就等於效益)。
(圖2)此無異曲線,說明了假如固定一個時期的消費,那麼效益會隨著另一時期的消費增加而增加。
圖2 (白話而言,就是假設退休金相同的情況之下,年輕的時候想多花錢則年輕時賺的錢要越多(效益))。

⭐️定義經濟的問題

  • 老人跟年輕人都想要得到good,但是只有在年輕的時候可以賺取消費品(無儲存性)

可行的分配

⭐️假設年輕人只會儲蓄

  • 我們可以得到
  • (社會上的消費品總額)(t) = N(t).y

⭐️假設在t出生的個體(簡稱t世代),每個個體,都有相同的終身分配數額。

i.e. 都是C(1, t)和 C(2, +1)

年輕人在 t 時期

  • (所有年輕人的消費)(t) = N(t) · C(1, t)

老人在 t 時期

  • (所有老人的消費)(t)=N(t-1) · C(2, t)

👊 我們現在可以來說明消費的現象

  • N(t) · C(1, t) + N(t-1) · C(2, t) ≦ N(t) · y

⭐️假設人口數是固定的(i.e N(t) = N, ∀t)

  • C(1, t) + C(2, t) ≦ y

⭐️假設每個時期的消費是固定的(靜態分配)

i.e : C(1, t) = C(1), C(2, t)= C(2), ∀t

  • C(1) + C(2) ≦ y

— 這呈現了非常簡單的線性等式模型 ∈ C(1), C(2)

(圖3)可行解的區域,呈現了可分配的消費資源。A點則是永遠無法達到的。

Golden Rule Allocation

現在我們疊加上之前所說的個體無異曲線到圖3中,我們可以觀察當靜態分配且人口數不變,也就是時間變數不影響的話,可行分配的最大效益為多少。

(圖4)Golden rule 我們可以發現 A 為最大福祉。

圖4,社會生產數額(A曲線)在每一個時期都大於總消費額(y線),所以只有A可以達到最大效益,在可行解中達到最大社會福祉。D生產過剩,而B,C則生產不足。如圖5

(圖5) B, C生產不足造成的社會損失。

Corollary:

  • 靜態分配,對於年輕人跟老人是一個均衡的消費分配,用(C(1*), C(2*))表示。 誰都不能多拿,經濟學家不能偏袒其中一個。

Decentralized Solution

上面區塊說明的都是集權控制下的分配結果,現在我們想討論的是如果市場自行分配的結果呢?

⭐️競爭下的平衡(equilibrium)特質有:

  1. 個體間互相做有利的交易,透過交易,個體傾向取得能力所及的最大效益。
  2. 價格跟數量必須沒有變化,也就說個體的行為對價格沒有效果。
  3. 在任何市場中,供需平衡。

Equilibrium without Money

思考一下如果在自由的市場當中,OLG 在我們的經濟體中,沒有money的話?在沒有集權控制之下,是否還可以達到我們之前所說的結果??

這樣的交易是不可能存在的,t時期有年輕人跟老年人(t-1時期的年輕人),如果從事交易,對於年輕人是沒有利益的。

對於年輕人而言,老了之後,幾乎是沒有消費品儲蓄的,所以這樣的交易肯定是徒勞無功的。老人想要年輕人生產的消費品,可是老人並沒有年輕人想要的東西。

所以,對於一個自給自足的個體,每個人都在年輕的時候把消費品花光光,沒有留下任何東西,所以這樣的效益是很低的。

Equilibrium with Money

在經濟體中給定一個固定的Stock = M,最初的老人一共有N個,所以每個老人都有M/N個。

那麼就可以開啟交易,年輕人用消費品跟老人交換貨幣,年輕人在用貨幣跟下個世代的年輕人交換。

我們先定義一個單位的貨幣(flat money)相對於消費品的單位價值為V(t),i.e.,年輕人需要放棄多少消費品來換取一元。

相反過來的話,一個消費品多少錢則定義成P(t)。

⭐️An Individual’s Budget

前面有講過一個人分成兩個時期,老年跟少年,在少年時期賺取y個消費品,個體可以吃掉,或者換取金錢。

第一時期(t)

多定義一個M(t)為在少年(t)時期所賺取的金額數

  • C(1, t) + V(t)M(t) ≦ y
  • 年輕時共賺取y 消費品,在年輕的時候花了C(1, t)然後用V(t)個消費品換一元共換取了M(t)元

第二時期(t+1)

  • C(2, t+1) ≦ V(t+1) · M(t)
  • 老年的時候,拿著年輕時換取的M(t)元去換取V(t+1)/per dollar 換取了消費品共V(t+1) · M(t),為老年人最高的消費總額。

V(t) > 0, ∀t,整理以上兩式

第二式 : M(t) ≧ (C(2, t+1))/(V(t+1)), 代入第一式

  • C(1, t) + [V(t) · C(2, t+1)/ V(t+1)] ≦ y
  • C(1, t) + (V(t)/ V(t+1))· C(2, t+1) ≦ y — — (2)
(圖6) 表示上面方程式(2)的圖
  • V(t+1)/V(t) 👉為金錢回報率
  • 圖6,說明C(1*, t) , C(2*, t+1)為最佳解
  • stationary monetary equilibrium(靜態平衡之下)

— 兩世代的消費總額不受t影響,C(1) + V(t+1)/V(t) · C(2) =y

⭐️帶入個體之後

N(t) · (y-C(1, t)),為經濟體所需的金錢數額

👆t時期出生的每個年輕人有N(t)個人,一輩子賺取的消費品有y,扣掉年輕時期所花掉的消費額之後剩下的數額。i.e.經濟體總需要的金額。

  • V(t)M(t) = N(t) · (y-C(1, t))
  • V(t) = N(t) · (y-C(1, t)) / M(t)

同理t+1時期

  • V(t+1) = N(t+1) · (y-C(1, t+1)) / M(t+1)

合併兩式

我們假設,兩個時代出生的人數是相同的,N(t) = N(t+1),然後換取的金額數也相同,M(t+1) = M(t),做一下消去

利用比率等於1,再回想C(1) + V(t+1)/V(t) · C(2) =y,我們可知

  • C(1) + C(2) = y
圖(7) 如果人口跟貨幣供給都固定的話,會呈現上圖

圖6跟圖7是一樣的表示,靜態貨幣模型式遵守Golden Rule 的。

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