[面試] 運彩機率

今天遇到一個有趣的面試問題跟大家分享：

假如去買運彩，冠軍四強的賠率分別是：2、3、4、5，請問莊家預期報酬的比率是多少？

硬幣賠率問題

要解這題前先談，先談簡單的人頭硬幣問題：如果硬幣人頭硬幣的機率都是1/2，在公平的情況下，賠率是多少？

所謂的公平就是期望值剛好等於成本。假設X等於賠率，用以下期望值公式可以算出公平的賠率：

X * P = 1 => X = (1/P)

以投硬幣的例子來說，公平的賠率是：

X = 1/(1/2) = 2

看起來很美好，但今天莊家不是來跟你玩玩而已，他是要賺利潤的，假設他每1元跟你收取r元，公式就會變成：

X*P = 1-r => X = (1-r)/P

以硬幣的例子來說，莊家1元要收你0.1元的話，他開給你的不公平賠率就是：

X = (1–0.1)/(1/2) = 1.8

運彩賠率問題

回答完硬幣問題，就能回答更複雜的運彩賠率問題。

用以下公式即可找出莊家心中認為每隊奪冠的機率是多少以及莊家預期能夠每元跟你賺的%數：

前四個公式跟硬幣賠率的公式一樣，最後一個公式代表冠軍一定是在這四隊其中一隊產出。

簡單推導後可以得到莊家從中獲利多少。

將賠率2、3、4、5代入公式後發現這家莊家實在太黑，硬生生給你賺22%。

結論

蠻有趣的問題，但當下一時沒想出來，給完提示才勉強算出，紀錄一下，給有需要的人一點幫助。