基於奇異值分解法（SVD）的浮水印技術

奇異值分解法（Singular Value Decomposition）是由Golub、Kahan在1965年提出，推倒過程可以參考這篇論文，後來被Chung等人結合向量量化法來做影像植入浮水印的功能，可參考這篇論文。

如果對於SVD的推導與計算想了解得更深入，可以參考交大周老師的這篇文章，這邊僅介紹一些基本觀念。假設有一張灰階影像A，其長度為m*n，而A的Rank為m，則A的SVD可表示為：

V和U是Orthogonal Matrix且Σ為：

奇異值（Singular Values）還具有下列兩個特性：

若我們令

則λi為第i個Eigen-value，那與Singular Values會成下列關係：

一般用SVD來壓縮影像會產生較大失真，若結合VQ可在壓縮與失真之間取得更好的平衡。

假設我們要把B影像植入A影像中作為浮水印，用SVD之所以可行的原因在於，先將B的奇異值透過一個private key壓縮變小，這時會得到可被植入的B'，接著植入影像A，植入方法是將A影像中較小的奇異值取代為剛剛壓縮過的B'，即可得到植入完成的A'。

合併結果比較：

以這例子而言，我將B影像的前半奇異值除了10，並且 concat 到A影像的前半奇異值後面。

A' = [A前半的奇異值 + B前半的奇異值]

所以如果要還原影像就是把A'奇異值取出後，將後半段乘10並直接當作前半段奇異值產生一個∑，再把B影像做SVD後的U和VT metrix乘回去，就完成還原了。（目前這作法因為捨棄掉原圖一半的奇異值會造成一點失真，但如果用別的壓縮方法將原本奇異值壓縮成一半，就可以在還原後更接近原圖）

因為B的奇異值已經過壓縮，所以合併後的結果不易被察覺，而取出Singular Values後要還原B影像也需要握有一開始壓縮的private key才知道原始內容。

Ref:
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3#%E5%B9%BE%E7%A8%AE%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E8%AA%9E%E8%A8%80%E4%B8%AD%E8%AE%A1%E7%AE%97SVD%E7%9A%84%E5%87%BD%E5%BC%8F%E7%AF%84%E4%BE%8B
https://ccjou.wordpress.com/2009/09/01/%E5%A5%87%E7%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3-svd/
https://ccjou.wordpress.com/2013/01/17/%E7%B7%9A%E6%80%A7%E8%AE%8A%E6%8F%9B%E8%A7%80%E9%BB%9E%E4%B8%8B%E7%9A%84%E5%A5%87%E7%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3/
https://blog.csdn.net/u012162613/article/details/42214205