不是數學的希臘幾何學
一、
柏拉圖學園門口，曾高揭大字「不懂幾何者，不能入此園」。是的，不懂幾何學，也曾被認為就永遠入不了歐洲文明之門。
徐光啟《刻幾何原本序》就是這麼看的。
其序曰：「《幾何原本》者，度數之宗，所以窮方圓平直之情，盡規矩準繩之用也。……真可謂萬象之形囿，百家之學海。」是一切術數學問之綱領。
他拜利瑪竇為師，想把西方科技諸書譯成中文；但轉念一想，若這本書沒譯，譯其他的，就都白扯，所以還是先譯了這本（利先生從少年時論道之暇，留意藝學，且此業在彼中所謂師傳曹習者，其師丁氏，又絕代名家也，以故極精其說。而與不佞游久，講談余晷，時時及之。因請其象數諸書，更以華文。獨謂此書未譯，則他書俱不可得論）。
後來此書在我國幾次刊印，刊印者也表達著同樣的態度。這態度是什麼呢？就是：只有了解幾何，才能建立科學知識，進而發展科學文明。中國歷史雖然悠久，但幾何學長期不發達，正是科學無法在本土生根茁長的原因，故傳刻者惄焉憂之，特刊譯此書，以啟蒙愚。
對此啟蒙論，中國人不服氣也不行。因為明清之際，利瑪竇等傳教士帶著以幾何學為首的歐洲科技來華，就打敗了我國的科技士，成功掌控了欽天監。清末，西方科技大勝中土也是事實。技不如人之後，我們雖然由初中開始就讓學童努力學幾何；可是，誰都知道，那是拚了命也學不好的。為此被罰被打被罵，最終出了校園，全部忘光。中國之科學，終於進步有限，可能就跟中國人尷尬的幾何能力有關。
二、
但偶爾也有不服氣的，說：我們幾何不好固為事實，然而幾何不代表數學全部。而中國古代亦自有數學上輝煌的成就，何至於幾何不發達就導致整體文明衰弱不科學？
幾何這個詞，一說最早來自於阿拉伯語，指土地的測量之術，後來拉丁語音譯為geometria。一說幾何這個詞最早來自於希臘語土地和測量兩個詞合成。歷來視為數學之一分支。1607年徐光啟雖首譯為幾何，當時人其實多稱為形學，直到1910年《形學備旨》第十一次印刷時，才改名為《續幾何》，可見幾何一名是二十世紀才一統江湖的，其實則形學也。
若就形學說，則其內容也非希臘獨有或獨創，中國就有，古埃及、巴比倫也早有。歐幾里得所寫的《幾何原本》只是把原先古埃及等地所傳及古希臘已有者整理而成。古希臘本來在這方面也不突出，例如畢達哥拉斯定理（勾股定理）講的事，埃及和巴比倫人在之前一個五百年就知道了，埃及對截頭金字塔般的方形稜錐體體積之測量、巴比倫人之三角函數表等，亦是希臘望塵莫及的。
形學之外的數學，領域又大得很，如中國所擅長的各種計算，多非由土地測量這種平面空間處理法所能問津。像圓形圓周率，中國比歐洲提前一千多年便能精確到小數點後七位。可見歐幾里得幾何並不就代表幾何學，許多也非原創；幾何更不代表數學，幾何不發達之民族，或許另有擅長的數學領域，遠勝希臘。
由此說開去，則我們還當知道：數學的基本是數數，從一到若干，然後以數來測量天下萬事萬物。而記數之法，關鍵是兩點：一是幾進位（我們是十進位，逢十進一。有些民族是二十進位或十二進位、六十進位，目前計算機則是二進位制）；二是位值（一個數碼錶示什麼數，不僅決定於這個數，還要看它所在的位置，例如22，兩個2，但前一個2與後一個2不等值，代表的是20，數學之所以具有哲理性，即在於這類事例中）。此外，還有零的問題。0這個記號是公元876年以後才由印度人首先使用的。因此許多數學史都說零這個概念乃由印度人發明。其實概念與符號表述是兩回事。我國早期沒有0這個符號，我們用什麼表達零呢？用空格，例如擺算籌時，遇到零的地方就空一格，以空來代表零，無物無數在其中，深具哲理意味。若書寫或印刷，則以☐表示，或乾脆寫成o，金大明曆或秦九韶《數學九章》就這麼處理。
零的問題比較特別，許多民族於此沒有發展，如希臘。
進位制及位值制稍微普遍些。可是普遍之中也有優劣之分，如巴比倫人瑪雅人都懂位值制，然而巴比倫用的是六十進位，瑪雅人用的是二十進位，都不如我們方便。記數法採用位值制又是十進位的，世界上以我們為最早，所以後來算數能長期執世界之牛耳。
反觀西方，到羅馬都還不會位值制呢！羅馬數學之記數法是用C表示一百，若要表示二百則須寫成CC，所以你若要記錄3888，就得寫成MMMDCCCLXXXVIII。你說笨不笨呢？
最後這句話，雖看起來有文化歧視之嫌，可實際上每個去歐美遊玩購物的人在櫃檯結帳時心底都不知翻來覆去咒了多少遍。近年售貨員仰仗計算機，情況當然頗有改善。但不會數數的特徵，確實與中國人形成巨大反差。
這類事例，可以無窮開列下去。近代中國總在缺乏科學方面受盡諷嘲，而數學被認為是科學之基石或重要部分，科學落後，必然由於數學落後。因此談起數學，當然也是自慚形穢的。
可是若偶爾曉得了一點數學史，就會納悶：中國古代數學不是挺好的嗎？算數代數都如上文所說長期領先世界。數學教育，至遲在周朝就已列入「六藝」之一，成為國家教育之一部分，還不像希臘只柏拉圖學園在強調。相關《算經》著作更不比西方為少。到現在，一般人記數能力也和上文所說一樣，遠勝西方人。怎麼說中國數學就不行了？
在歐幾里得《幾何原本》同時，中國《清華算表》可以計算0.5乘以0.5到495.5乘以459.5的任意二元乘法，還可以逆運算推導除法。相比之下，同時代的西方算術實在是小兒科，連乘除法都算不好呀！
三、
再說天文學。
早期畢達哥拉斯學派本是宗教，玄想曰：天體有十個，因為十是完美的數字；地球是球體，因為球體是完美的物體；軌道應該是圓形，因為圓是完美的形狀。
柏拉圖也一樣。他以幾何學設想宇宙開頭有兩種直角三角形，一種是正方形的一半，另一種是等邊三角形的一半。從這些三角形就推理出四種正多面體。火微粒是正四面體，氣微粒是正八面體，水微粒是正二十面體，土微粒是立方體。第五種正多面體是由正五邊形形成的十二面體。這是組成天上物質的第五種元素，叫做以太。然後，整個宇宙是個圓球，因為圓球是對稱和完善的。宇宙的運動則是一種環行運動，因為圓周運動最完善。四大元素中每一種元素在宇宙內的數量是這樣的：火對氣的比例等於氣對水的比例和水對土的比例。萬物都可以用一個數目來定名，這個數目就是表現它們所含元素的比例。
所以他說：「天文學和幾何學一樣，可以靠提出問題和解決問題來研究，而不去管天上的星界。」
你說這些不是罔顧事實的瞎想嗎？
他還推論道：地球是一個小球，天空是一個大球，大球包裹著小球。所以小球在中央，沒有動。大球在外面，圍著小球轉。故宇宙分成兩部分。一部分是地球，住著我們人類和其他動植物。另一部分是天球，高高在上，圍繞著地球。地球在中央，靜止不動，天球在外面，繞著地球轉。太陽，月亮和那麼多的星星，都是鑲嵌在天球上的小圓球。給天球分成好多層。最裡面一層離地球最近，月亮鑲嵌在上面，這層天球就帶著月亮轉。每一層天球，轉動的角度和速度都不一樣。方向也不完全一樣，有點像一隻超大號的鐘表，一直精確地轉動。其圖形如下：
這個同心球模型，被亞里士多德發展得更是複雜，竟有55層同心球殼。
相較之下，我國天文學完全不同。我們是最早有曆法的國家之一。天文官「觀象授時」，要具體觀察節氣、朔望、置閏、交食和時間，有多項專門內容的觀測手段和計算方法。還有七政、五緯、二十八宿、四象、三垣、十二次、分野等天文基本概念。絕不是這樣玄想的。其知識也普遍通用於老百姓之間，故顧炎武《日知錄》說：「三代以上，人人皆知天文。七月流火，農夫之辭也。，婦人之語也。，戍卒之作也。，兒童之謠也。」
公元16世紀前，天文學在歐洲的發展一直很緩慢，良有以也！
四、
於是，數學界朋友或談比較文化的人就都哈哈大笑，憐憫地出來解釋，或曰：古代好，近代差了，正符合「李約瑟難題」，可有各種猜想。或曰：古代中國固然也會數學，也有許多技術，但那些往往只是基於實用之目的而形成的，或缺邏輯論證之程序，或無何以獲得數據之證明，故非科學，最多只是科技，而且與哲學思辨無關等等。
這種解釋背後的標準，就是歐幾里德與柏拉圖的幾何學。在這些人心目中，這種幾何學就等於數學、就等於科學。即或數學還有其他領域，但主體仍是幾何，且是歐幾里德式的幾何。
所以，總之，十九世紀以來的我國思想態勢，不聽你講講那些大道理，大家都和徐光啟差不多，奉《幾何原本》為標杆。有並符合才它是科學進步的，沒有或不如它，便代表落伍。
現在我們批評它獨斷、有歐洲中心主義霸權心態都不難，可是它所堅持的理由，即使現在批評它的人也未必能擺脫。什麼理由呢？那就是對公理系統的迷戀。
《幾何原本》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。公理指一種設定，討論問題的人不論誰都須同意這種假設，然後大家由此層層推理，依邏輯推衍而獲其結論，形成公眾認同之理，所謂幾何，不過如此。公理只有五條：
1、任兩點都可以用一條直線相連
2、線段可以無限延長成一條直線
3、可以以任意點為頂點，任意長度為半徑畫一個圓
4、所有的直角都相等
5、過直線外一點，有且只能做一條直線與已知直線平行
看起來非常簡單的這5條公理就是歐式幾何的全部假設，從這5條假設，歐幾里德邏輯論證了465個命題。
對這種體系的信從乃至迷戀，在徐光啟時代當然是合理的，放在二十世紀中西文化對比論述中卻已過時，何況現在？
五、
怎麼說呢？
我國談思想的人，其實多半不了解世界上數學思想史近年的發展。
以克萊因（Morris Kline 1908–1992）《西方文化中的數學》為例，他已論證了以下幾點：
一、希臘這種獨重邏輯推理之數學觀，其實是個特例，許多民族都不這樣。由歷史上說，又是對原先數學傳統的顛覆。因為數學從來都以經驗的積累，歸納推理、演繹推理三方面合併進行。歐式幾何這種偏執演繹之系統，不過是那個時代一種偽科學（他引述的斯威夫特Swift之言）。
二、造成如此偏執之原因，在於不重視實用幾何，故理論與實踐分離，幾何學談論的竟不是物質性的東西，而是點線、三角形、正方形等純思維的對象，與現實無關。
三、造成如此之原因，是柏拉圖亞里士多德等游談智士本來就不事生產，也看不起任何手工操作技藝，對商業和貿易亦不感興趣。那些都靠奴隸完成了，他們只管架空玄想，所以也因此完成了數學的抽象化。
四、抽象化數學，與其哲學才能緊密聯結起來。因柏拉圖哲學本來就認為現實世界短暫易朽，理型世界才是真且善的。而這種美與善的原則，亦由此貫穿於希臘之雕刻、建築、音樂、戲劇中。
五、希臘創造的這個新傳統，影響深遠，但弊病也非常明顯。簡便的表示數的方法，從未得到發展，他們也沒有處理數的方法。在計算方面，甚至連巴比倫人已經創造的技巧都沒有用。對天文學在航海和曆法方面的應用，古典時期希臘人幾乎沒有關心過。不僅沒有發展在工業、商業、財經和科學上必須應用的數學系統和代數，而且還妨礙了它的進步。
六、由於它存在著許多缺點，故近代的數學或科學，實乃對希臘傳統的再顛覆，引進了阿拉伯印度的數學系統，發展了代數。而且導致現今許多大數學家和某些二三流數學家對所有哲學玄想都極端蔑視。
依其描述，可將整個數學史視為數學變為哲學，再回歸為數學之歷程。希臘以歐式幾何柏拉圖為代表之數學，其實是一套哲學及其思維術，雖然在西方影響巨大，但如今數學界及思想界已可由更大的層面來考察其利弊，不再以它為矩度來評判其他民族、其他數學領域之是非。長期被詬病的中國數學（重數、重計算、能實用）反而更具科學性，不像談天文學而與任何星球都沒有關係，談點線面而與任何物質也都沒關係的空談那樣，徒恃理論之構造。
柯朗（Richard Courant 1888–1972）《什麼是數學：對思想和方法的基本研究》之研究也可與上述觀點相呼應。
柯朗說：歐式幾何影響巨大，以致於它成為數學中一切嚴格證明的典範，哲學家也試圖用定義和公理推導定理的形式來論證。十七八世紀以後數學雖背離了這個傳統，但這種方式仍不斷滲透到其他領域，例如數理邏輯就是最新的成果之一。
這個公理體系，首先要承認或接受一個無須證明（又稱自明的）命題，由此出發，利用邏輯推理，推導出其他所有定理。但這個自明的公設，其實有很大的任意性，一組公設之相關性、完備性和獨立性，常會存在爭議。一旦質疑那個基點，其後的推論便將無意義或意義可疑。
其次，在此還有形式主義和直覺主義之分歧。形式主義認為公設與現實直觀本來無基本干係，只管進行理性的形式邏輯程序即可。直覺主義則認為公設無論如何都須是簡單的、直觀明顯合理的（如歐式幾何說兩點之間可拉一條直線，經驗上的直覺覺得是這樣，底下的推演才進行得下去。否則就如：A、一切男人是女人。B、某甲是男人，C、故某甲是女人。雖也合乎三段論推理邏輯卻沒人會承認，前提違背直觀常識故也。但純講形式邏輯卻又不免於此，所以邏輯輪者常要強調邏輯只論對錯，不論是非。對錯是推論形式不對，是非是與經驗現實合不合）。
何況，數學本應處理客觀現實存在的事，不應是自構理境之玄思。
六、
早期的幾何學是關於長度，角度，面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪，建築，天文，和各種工藝製作中的實際需要。歐幾里得才將之轉為思維術，不僅僅是一個數學意義的運演作業系統，更主要的是它作為一種文化系統中起主導作用的理性解釋系統，或者稱之為一種理性構造的規範模式。
這種演繹推理的公理系統，在後來西方文化中影響深遠。所以看起來西方數學解釋宇宙的變化，引導理性的發展，參與物質世界的表述，任何學科的構建都必須按照理性的要求模仿和運用數學的模式。
可是這真是數學嗎？
克萊因、柯朗等人已經回答得很清楚了。「天文學和幾何學一樣，可以靠提出問題和解決問題來研究，而不去管天上的星界」，其實更是哲學而非數學。
牟宗三先生對此有一解釋，說幾何也不是科學：柏拉圖首先指出在變化無常的感覺世界之外，有肯定理型世界的必要。把握理型，須靠純凈的心靈，而心靈之為純凈，因而可以把握潔凈空曠圓滿自足的理型，是由感覺的混雜中陷溺於軀殼中，解脫出來，始成其為純凈。心之純凈化即心之解放。這一步解放即表示人的生命之客觀化。此所謂客觀化是以純凈的心靈之理智活動把握普遍性永恆性的理型而成者。即由心之純智活動而成者。故此步客觀化是由「無取之知」中首先表現：人要成為一真正的人須是一「理智的存在」。這是希臘人的貢獻。純智活動之把握理型即成功一形式體性學（formal ontology）。這不是科學。因為它雖然講感觸現象之變與永恆理型之不變，它卻不是就一定的經驗現象實驗出一定的知識系統，如物理或化學。
世界數學的發展，則是以歸納邏輯和演繹邏輯結合的算法傾向，逐步取代了以研究空間形式為主，而以演繹邏輯之公理化為傾向的歷程，中國算法的型態其實才是目前數學界之主流。
可是，直接判定柏拉圖歐幾里得之幾何非數學，恐怕大家心理上還是難以接受。所以只能說它是另一種數學。
什麼樣的數學呢？
是類似《周易》這樣的數學！
《周禮．春官》說：「太卜掌三易之法：一曰《連山》、二曰《歸藏》、三曰《周易》。其經卦皆八，其別皆有六十有四」，都是依八卦推算的。主要用蓍草，但也用類似小竹棍的籌和策。《老子》說：「善數不用籌策。」正顯示他們都是以計數的方式做測算。後來算數家之用籌策，淵源正在於此。
現今考古發現張家坡卜骨、周原卜甲、四盤磨卜骨，都刻有6個字的符號。考古學家證明這類數字符號是早期用數組成的易卦，既有3個數組成的單卦，也有6個數組成的重卦。《漢書．律曆志》也有「畫八卦，由數起」的說法。其為一數之系統是無疑的。
孔子以後，易學以義理為正宗，但誰也捨不掉數。講漢易者，易象的數字大談分卦直日，六十四爻為三百六十日；大衍之數五十；天地之數六七八九；土數五等。講宋易的，加上了河圖洛書，又如邵雍，衍為《皇極經世》，旁通恢拓及於人事物理。易緯還講各種王朝享年推算之術。惠棟《易例》卷上有「緯書所論多周秦舊法，不可盡廢」一條標題。
可見，易數是中國算數體系中一部分，絕無疑義。可惜做中國科技史、算數史的朋友多僅在《算經十書》中游弋，而罕能涉足於此領域。蓋或以為無關，或以為旁支也。
其實不然。八卦演為六十四卦，本身是個演繹而成的體系，各卦均可以數表達，天地人物也都可以數表達。若我們相信古代「結繩記事」之傳說，即可推想那是個以數來記事表意的體系，《周易》或其前身《連山》《歸藏》當即屬於此一大體系中之一員（龜卜是觀察火燒甲骨之形象的，是象思維，《易經》則應該屬於數。古代本來就有「結繩記事」的傳說，顯示利用數字是古代思維之一種重要方法。用數學方式探索世界，乃是上古全世界都有的文化現象。如古希臘畢達哥拉斯學派的占數法即是。
當時也有《九章算術》之類數學。《九章算術》本之於《周禮．地官．司徒》所謂九數：「保氏掌諫王惡，而養國子以道，教之六藝。一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數」。鄭眾云：「九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也」。方田、粟米、差分等等，就是測地之術。
可是它所涉及的九章，實乃地官所掌，故均與地相關。今人以此為基礎，建立的中國數學史認知，是不完整的。易數這類掌於天官者，其算法當另成體系，與地官所掌九數，須合併觀之，才可算是中國數學之全貌。
屬天官的易數雖然仍是數，而不像歐幾里得那樣談空間，但它卻能如歐幾里德《幾何原本》那樣，形成一個公理化的體系；而且不是應用問題之直接處理，一題、一答、一術，只有技術上的實用性而缺乏抽象性與普遍性。所以鑽研易數也如學歐幾里得幾何一樣，可入哲學堂奧。
然而，《周易》這樣的數學，歷來便是與《九章算術》等算經之數學分別對待的。我們看柏拉圖歐幾里得幾何學，也可把它拉開來另行觀察。
