La fascinante trigonometría de Babilonia
y una experiencia de aprendizaje
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Hace algunos meses atrás, mi padre compartió conmigo una publicación en The Guardian, el flamante titular decía más o menos así “Secretos matemáticos de tableta antigua, descifrados después de casi un siglo de estudio”. El artículo habla de la tableta conocida como Plimpton 322 (P322), una tableta de casi 3000 años, que usa el teorema de Pitágoras mil años antes de Pitágoras. El artículo sugiere que la P322 es una tabla trigonométrica.
Antes se pensaba que la P322 era una tableta para enseñanza de números, y no una tabla trigonométrica. Si la nueva interpretación de P322 es correcta, esta sería efectivamente la primera tabla trigonométrica de la humanidad.
Pues bien, me interesó muchísimo el tema y me dispuse a estudiar el artículo original de Mansfield & Wildberger, que lo pueden descargar libremente de la referencias abajo.
Acá voy a meterme en algunos aspectos del artículo original de Mansfield & Wildberger, pero construyo una interpretación propia, sobre todo enfocada a la enseñanza de las matemáticas, pues creo que hay muchas cosas que se pueden aprender de cómo los babilonios usaron las matemáticas. Lo he dividido en las siguientes secciones:
- Escritura cuneiforme y números sexagesimales.
- Sobre las tripletas pitagóricas (que se deberían ahora llamar babilonias)
- Tablas trigonométricas y como usar la P322 con un ejemplo sencillo.
Pero antes de comenzar con esos puntos veamos algunos detalles de la tableta.
Escritura cuneiforme y número sexagesimales
Esta es la tableta P322 de los babilonios,
Es una tableta de arcilla escrita con símbolos “cuneiformes”, es decir, con forma de cuñas (lo que es claro en la foto). Básicamente un babilonio se sentaba con una pieza de arcilla y alguna herramienta en forma de cuña de madera u otro material, y escribía los símbolos presionando sobre la arcilla. Para reproducir esto imprimí en 3D un especie de sello con forma de cuña, y la presioné contra una base de plastilina,
Como lo ven en el video, aunque no es muy rápido, es bastante efectivo y funcional. De alguna manera la forma en que escribimos información no ha cambiado, es decir, usamos alguna herramienta con nuestras manos y escribimos sobre una superficie, eso es exactamente lo que hoy en día hacemos con una tablet o un smart phone.
Cada símbolo o marca, representaba un número. Acá hay una tabla de correspondencia de marcas y los números que nosotros conocemos,
Como notarán, los números de los babilonios llegan al 59, es decir, son 60 números contando el 0, que aunque no lo escribían, estaban muy claros de él.
Todo el sistema numérico de ellos era en base a 60 números, lo que se le llama base 60. Los números que hoy utilizamos son base 10 (por eso decimos base decimal), o base 2, en el caso de los números binarios.
Para entender mejor la notación, hice un pequeño programa para construir la misma tabla con notación cuneiforme, pero donde los símbolos son más fáciles de identificar, y basada en la tabla publicada en el artículo de Mansfield & Wildberger. La tabla se ve así,
Noten la última fila, como se entienden perfectamente bien que los símbolos representan números, y además que la numeración es ascendente. Esta es una de las primeras pistas que los investigadores en el pasado han utilizado para identificar el sistema numérico de los babilonios.
Hay algo además extremadamente interesante de la notación. La interpretación de los números depende del contexto en el que está escrito. La columna 1 de la tabla son números reales, mientras que las columnas de la 2 a la 4 son números enteros. Para entender mejor, convirtamos los números base 60 a base 10.
Comencemos con el tercer número (fila 3) de la columna 3. Primero lo escribimos con los números que nosotros conocemos, y luego hacemos la conversión,
En los números enteros, la cifra menos significativa es la que está más a la derecha. En el ejemplo es el 49, entonces lo multiplicamos por 60 elevado a la 0 (por estar en la posición 0), el 50 lo multiplicamos por 60 elevado a la 1 (posición 1), y 1 por 60 elevado a las 2 debido a la posicíon 2. Luego sumamos todo y el resultado es 6649.
Para los números reales es similar, solamente que el exponente es negativo. Vemos por ejemplo el primer número de la columna 1,
La cifra menos significativa sigue estando a la derecha (60 elevado a la -3). El resultado es el número real 1.983403. Como ven, los babilonios manejaban bien aritmética con números enteros y números reales que son el resultado de fracciones
Calculando esto para todos los números de la tabla obtenemos,
Más fácil de leer ¿verdad? Ahora veamos que significa cada columna.
La primera columna contiene delta al cuadrado, que es el cuadrado de la diagonal dividido por el lado largo de un triángulo rectángulo. ¿Qué?, ok, veamos primero un triángulo rectángulo,
He etiquetado los lados del triángulo rectángulo, como lado corto b, lado largo l y diagonal d (en lugar de hipotenusa). entonces la primera columna de la tabla es la siguiente fórmula,
La segunda columna es b, que es el lado corto del triángulo, y la tercera es la diagonal d. La cuarta columna es simplemente el número de fila.
Básicamente las columnas dos y tres describen un lado (cateto) y la diagonal (hipotenusa) de un triángulo rectángulo. Los triángulos en la fila 4 y 10 serían,
En resumen, P322 tiene una lista de 15 triángulos rectángulos, definidos por su lado corto b (columna 2), y por la diagonal d (columna 3). La columna 4 (rk) es el número de fila y nos servirá para identificar cada triángulo. Delta y su importancia se hará evidente un poco más adelante.
P322 y las Tripletas de Pitágoras
Primero voy a escribir el teorema de Pitágoras, utilizando la misma notación que hemos usado hasta ahora,
Acá d es la hipotenusa (diagonal), y b, l son los catetos. Claramente los Babilonios conocían la relación entre lados de un triángulo, y aunque lo trabajaban todo aritméticamente, ya habían descubierto el teorema de Pitágoras más de 2000 años antes. Pero no solamente eso, sino que los triángulos de la tabla, que son todos estos,
Son todos lo que se conocen como tripletas de Pitágoras. Son triángulos rectángulo donde todos sus lados son números enteros.
Los Babilonios no encontraron estos triángulos al azar, ni tampoco buscando uno a uno. Para los Babilonios era definitivamente mucho más fácil trabajar con estos triángulos rectángulos que con otros que tuvieran lados con cantidades fraccionarias. Parte de la explicación de cómo construyeron estos triángulos se encuentra en este capítulo de Neugebauer and Sachs, pero no voy a entrar en detalles.
Pero ¿por qué estos triángulos? de hecho si los vemos, parecen no tener ningún orden particular. Incluso si los construimos en el orden de las filas de la tableta P322, obtenemos esto,
Parece no tener mucho sentido. Al ver esto, lo estudiosos de la P322 pensaron que era como una especie de tableta de transacciones comerciales, y luego, por el trabajo de Neugebauer and Sachs, se pensó que era simplemente la tabla de construcción de estas tripletas pitagóricas, como una especie de tabla de ejercicios de números.
Sin embargo, si notan la primera columna, los números van en perfecto orden decreciente. Veámoslo en la siguiente gráfica,
La primera columna es el cálculo de la proporción de la diagonal d con respecto al cateto más largo l, elevado al cuadrado. Ahora la pregunta ¿Para qué calcularon esto, y por qué están en orden? Es allí donde la interpretación de Mansfield & Wildberger es tan interesante.
¿Tablas trigonométricas?
El misterio radica en entender por qué los Babilonios calcularon,
Hay que resaltar que la P322 está incompleta, y por eso ha costado más de un siglo entender el propósito de la tabla. El trabajo que han hecho los investigadores es precisamente reconstruir lo que falta y luego descifrar su uso.
Una de las cosas perdidas, es el título completo de la primera columna. Mansfield & Wildberger interpretaron el título como,
El talkitum de la diagonal del cual se resta 1 y el ancho aparece
La palabra Talkitum se interpreta como “cuadrado”. De esa frase, los autores interpretan la siguiente formula,
Haciendo un poco de álgebra,
Como ven, llegamos a la fórmula,
Es decir, tenemos ahora dos valores normalizados con respecto al lado largo del triángulo, a saber,
Con normalizado me refiero a que ahora el lado largo l del triángulo es ahora igual a 1. El triángulo normalizado es como este,
¿Bonito verdad? Ya casi llegamos al final.
Ahora bien, los autores entonces sugieren que las columnas que faltan en la tableta son las columnas con los valores de delta y beta. Agregándolos quedamos con la siguiente tabla,
Las columnas adicionales las marco en verde. Los valores son resultado de simplemente hacer los cálculos numéricos con los otros valores de la tabla. Los Babilonios eran expertos en este tipo de cálculos, y el uso de cifras decimales (incluso punto flotante).
Dibujemos ahora los triángulos que corresponden a las nuevas columnas de delta, beta, y el lado l=1,
Bingo! lo que pareciera trataron de hacer los babilonios era construir un grupo de triángulos que variaban su ángulo, y lo lograron a través de la construcción de tripletas de Pitágoras. En resumen, cada fila es un triángulo cuyo ángulo va cambiando,
Básicamente es una tabla trigonométrica, construida a través de radios entre los lados de triángulos rectángulos, sin recurrir a el uso de ángulos directamente, y mucho menos de conceptos como seno y coseno, que no existirían hasta miles de años después, creados por otras civilizaciones.
Un ejemplo de uso
Las tablas trigonométricas se usaban, antes de tener calculadoras, para poder hacer cálculos de dimensiones, y para poder sacar el seno y coseno de ángulos. La Babilonios también ocupaban calcular rápidamente áreas y dimensiones, basadas en el triángulo, pero hagamos un ejemplo.
Digamos que estoy midiendo una parcela en el campo, y necesito saber el largo de la diagonal. Las medidas del lado corto son 80 metros, y la del lado largo 105 metros. Calculo el valor beta,
Ahora buscamos en la tabla el valor más cercano a 0.761905,
Encontramos el más cercano en la fila 10 de la tabla. Allí obtenemos el valor de delta (flecha roja). Ahora simplemente multiplicamos el largo 105 por ese valor de delta y obtenemos la diagonal,
Si lo hacemos con calculadora tenemos que calcular la hipotenusa usando los catetos 105 y 80,
Como ven funciona bastante bien nuestro cálculo con la tabla. Recuerden que estamos hablando de los cálculos de hace más de 3ooo años, todos los conceptos que conocemos hoy de Pitágoras, senos y cosenos, no existían. La diferencia de hacer el cálculo con la tabla para los babilonios estaba en que,
- Los babilonios no tenían calculadoras (importante recordar).
- Para la operación con la formula de Pitágoras hay que hacer 4 operaciones, es decir, sacar el cuadrado de dos número, una suma, y una raíz cuadrada. Con la tabla hago dos, una división y una multiplicación, las cuales son bastante más sencillas de hacer.
- Podían llevar las tablas consigo y mas personas podían trabajar haciendo cálculos.
Conocer la diagonal, y hacer este tipo de cálculos era importante, ya que la geometría que utilizaban los Babilonios se basaba en cuadrados, rectángulos, triángulos y trapezoides y por eso la trigonometría basada en radios era importante. Los egipcios desarrollaron algo similar mucho más tarde.
Recomendaciones para docentes
Tratando de entender esta tableta P322 involucra varios aspectos que pueden ser útiles para la enseñanza de las matemáticas,
- Entender y descubrir como se construyen sistemas numéricos. Se puede poner a los estudiantes a desarrollar sus propios sistemas numéricos base 4, 20 y así, con su propia notación.
- Construir tablas numéricas para agilizar los cálculos. Pero más importante aún, es dejar que otros descubran qué representan esas tablas.
- El razonamiento matemático y la resolución de problemas matemáticos.
- La importancia de la trigonometría para la fabricación y construcción. Se pueden hacer ejercicios de fabricación digital con cortadoras láser, o impresión 3D, donde los estudiantes deben hacer los cálculos a partir de trigonometría.
- Entender la importancia de documentar lo que se hace. Si los Babilonios no hubieran desarrollado un sistema numérico, y escrito éste en una tableta de arcilla, sus conocimientos no se hubieran podido utilizar.
Comentario final
El entender es mas importante que tener la información, pues el entender nos permite reconstruir información incompleta, como se ve en el caso de interpretar la tableta P322. Si no entendiéramos la cultura de Babilonia, y las matemáticas, no podríamos reconstruir lo que revela la tableta.
La escritura es una tecnología que hace que nuestras ideas y lo que decimos quede registrada de forma permanente. Ahora tenemos youtube, Facebook twitter etc. que podrían cumplir esa función, sin embargo el contenido debe ser suficientemente general para que otros lo puedan utilizar y construir a partir de él.
El conocimiento existe por necesidad, sino se descubre ahora, será descubierto luego, es el hacer, el crear, el que lo instiga…
Referencias
- Mansfield, D. F., & Wildberger, N. J. (2017). Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry. Historia Mathematica.
- Neugebauer, O., Sachs, A. J., & Götze, A. (1945). Mathematical cuneiform texts (Vol. 29). Chapter 3. American Oriental Society.
- “Mathematical secrets of ancient tablet unlocked after nearly a century ….” The Guardian, 24 Aug. 2017.
- “This ancient Babylonian tablet may contain the first evidence trigonomety” Science. 24 Aug. 2017.
- Video muy bonito de Mansfield & Wildberger explicando el artículo
