如何知道數學無矛盾?

kayue
哥德爾(圖片屬公有領域)

《關鍵評論網》台灣那邊刊登了一篇奇怪的書摘文章[1],更提及哥德爾(Kurt Gödel)的不完備性定理,要不是讀到那篇文章我也不打算寫這個題目,因為太過專門。

不過這定理的確經常被誤解及濫用(即使及不上量子力學),所以我也寫了一篇文章,嘗試講解那篇文章錯了甚麼,順便粗略介紹了希爾伯特計劃,受時間及篇幅所限,恐怕也不算太容易明白,至少我已經努力不用符號解釋,希望未至於太趕客(連結見文末)。

此處多談一點關於這定理和數學有沒有矛盾的問題(下文中「一致」的意思是「無矛盾」)。

不完備性定理是二十世紀初數理邏輯發展的重要里程碑,其實有兩條 — — 第一及第二 — — 不完備性定理。第一條說的是滿足某些條件(例如可證明某些算術定理以及一致)的形式系統 — — 此處就叫它做S — — 中,必然存在S無法證明或否證的「不可判定命題」。

由於哥德爾採用其著名的編碼策略,能夠把相關的形式系統、邏輯公理等以數字表達,即可在S中表達、證明關於S的後設定理,當中包括第一不完備性定理。這就可以推論出第二不完備性定理,通常被理解成「假設算術系統一致,它無法證明自身一致」。

今年初辭世的邏輯學家史幕揚(Raymond Smullyan)在他撰寫的《哥德爾不完備性定理》中提到,不少「明顯不了解狀況」的作者就第二不完備性定理撰寫了大量「普及廢話」,因此可以讀到一些「不負責任的言論」如︰「根據哥德爾第二定理,我們永遠不知道算術是否一致」。對此說法他的反應如下(本人翻譯,粗體為本人所加)︰

垃圾!要了解這是何等愚蠢,不妨假設句子「consis」(譯按︰代表「“0=1”不可證」的公式)可以在皮亞諾算術(Peano Arithmetic)中證明 — — 或者更現實的,假設我們考慮一個能證明自身一致的系統。這是否相信該系統一致的證據?當然不!假如該系統有矛盾,它就能證明任何句子 — — 包括自身的一致性。基於一個系統能證明自身一致來相信其一致性,就像基於一個人宣稱不說謊來相信他誠實一樣愚蠢。不,皮亞諾算術(假設一致)無法證明其一致性這件事,並不構成質疑其一致性的合理理由。[2]

簡言之,在算術系統中無法證明該系統一致,不代表無合理理由相信算術系統一致——雖然我認為數學家永遠無法確定此事。

那數學家、邏輯學家和哲學家要如何相信算術以至數學一致?老實說,我認為最好的原因是︰「用了這些系統那麼多年都沒有人發現矛盾」。

第三次數學危機源自一些悖論證明樸素集合論(naive set theory)隱含矛盾,後來發展出哲美羅-費蘭高集合論(Zermelo-Fraenkel set theory),加上選擇公理(axiom of choice)成為現時主流的ZFC集合論。ZFC的公理經過小心設計,避開了樸素集合論中的悖論,不過誰也無法保證它不含矛盾。

就算是較為簡單的一階皮亞諾算術,其歸納公理也會受到質疑——這不是一條公理,而是一個公理模式(axiom schema)︰對於每條符合若干條件的一階邏輯公式,都有一條相應的歸納公理。但這些邏輯公式有無限多條,誰能保證一些非常複雜(例如需要數千萬億個符號)的公式不會產生矛盾?這個質疑同相適用於集合論的替換公理模式(axiom schema of replacement)。

當然,絕大多數的數學家都不會質疑這些數學系統隱含矛盾,但也不是沒有人會這樣做。已故普林斯頓大學數學教授尼爾遜(Edward Nelson)在2011年9月宣布,他發現皮亞諾算術不一致,不過很快就被數學家陶哲軒指出錯誤,尼爾遜其後撤回宣稱。[3]

另外,邏輯學家根臣(Gerhard Gentzen)早於1936年已證明了一階皮亞諾算術的一致性,不過他未有推翻哥德爾的結果,因為他使用另一個系統去證明,這個系統不比皮亞諾算術強也不比它弱。問題仍然是,你是否相信他那個系統一致?[4]

關於哥德爾不完備性定理的文章如下︰

關於史幕揚逝世的報道︰

註︰

  1. 生命的存在,是建立在「不確定性」及「不完備性」的基礎之上
  2. Godel’s Incompleteness Theorems, p.109.
  3. Here we go again: “PA is inconsistent” (Edward Nelson) (M-Phi)
  4. 這不代表根臣的一致性證明沒有意思,相反那是證明論(Proof theory)中的重要結果。

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《關鍵評論網》編輯,最想寫的還是數學。https://hk.thenewslens.com/author/kayue

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