複雜系統

本篇紀錄了我漫讀複雜系統時接觸到的各種資訊、心得與微思考

建議：這18分鐘影片能讓大家對生命遊戲有基礎的認識。

生命遊戲(Game of Life)

Still lives, oscillators和spacehips是生命遊戲的三種基本結構。其中，前兩者在動態系統中有分別對應的結構。但是，我尚未弄懂spaceships在動態系統中的對應。考慮無窮大的網格座標，Spaceship可以無止境地跑下去，但這種結構上的相似性要如何用數學來表示呢? 或說，在動態系統中的對應是什麼呢？影像來源：https://github.com/LambdaSchool/Conways-Life/blob/master/README.md

如何理解生命遊戲？ 更明確地問，對於生命遊戲常常出現的「spaceships」結構，我們可以如何理解？現在，我們將生命遊戲的網格拉平，並讓它投射到高維空間，那麼整個生命遊戲就近似一組(高維)(非線性)微分方程組。

生命遊戲是對高維、非線性微分方程組的一種表示方式。它並非像傳統動態系統用繪製軌跡(trajectory)的方式進行視覺化，而是透過四種視覺化原則：

1. 離散地：數值非黑即白
2. 一個網格表示一個維度(變數)
3. 用「空間上的鄰近性」來視覺地呈現「變數的相關性」間
4. 用規則來表達變數間的係數關係。

第三點特別值得注意，因為在網格座標系統(或稱之為lattice)中，一個網格只能和另外八個網格接觸，其排列方式又具有平移不動性(spatial invariant)，或某種(廣義上的)空間對稱。此處，考慮一個CNN， 它的filter/kernel擁有上述第三點的特性，而人們又根據這個特性推廣出了拓撲空間上的卷積，形成了GNN。(上述的對CNN→GNN的理解很可能是錯的)。此處，我認為以下敘述值得關注：

找到一個方法：把生命遊戲從二維網格座標系統推廣到其他的座標結構上，但仍保留著良好的視覺化效果。

值得關注的原因在於，以我為例，我對於複雜事物的關係/交互作用的理解和想像大多聚集在低微度、低層次，以至於難以去挖掘複雜事物間的內在關係/外在表現。用科普的角度言之，細胞組織、大腦、人體生理與病理學都是複雜系統，但出於現有儀器(時空間解析度)、分析手法、外部因素，我們很難找到複雜系統的變數(甚至不知道有幾項)，就算能，我們也幾乎無法有效地分析這交互作用，因為(我認為)我們對於複雜系統中的關係/交互作用的理解和想像都在低微度、低層次。(不過通常複雜系統的每個單位可能有不同的屬性，不像生命遊戲裡，每個網格單位的屬性都是一樣的)

而「有效地視覺化工具」──如生命遊戲，或許可以透過擴展人類的思維模式，透過簡化/視覺化「有點複雜的小單位，及其與鄰居的關係」，我們能概念化更高階的複雜關係。

高階的複雜關係

高階的複雜關係很可能根本不複雜。恩，我指的是概念上。

舉例來說，我們可以在實驗室裡，用上百個神經元細胞來跑「邏輯運算」。這裡，每個神經元至少需要五個微分方程來描述。

我們對微處理器的結構與功能知之甚詳。

論文「Could a Neuroscientist Understand a Microprocessor?」中的命題很適合用來解釋這個。研究人員把遊戲機的微處理器取出，並透過connectome, local field potentials, correlational structure, lesion等神經科學常見的研究方法來對付微處理器。他們用神經科學家習慣的方式呈現得到的結果，很豐富，也很搞笑。

因為我們就算能知道「微處理機的結構」、知道「微處理機運作時的狀態」，請問你能告訴我它跑的是馬力歐還是神奇寶貝嗎?

紀錄transistor的活動狀態。看到這張圖片我不禁莞爾。

馬力歐、神奇寶貝的遊戲，本身算是個小複雜的系統(看從什麼層次去看)，但切記，我們永遠可以用另一個更複雜的動態B系統來(幾乎)完整地描述另一個動態系統A。B本身一定擁有及其有趣的動態性質與現象，但A可能(在巨觀上)呈現不同的性質與現象，就像是用神經細胞做邏輯運算一樣。

有sense的人就會想到，系統A如果是語言呢? 系統A如果是視覺呢? 系統A如果是數學推理呢? 那系統B除了是人腦外，電腦有否有同等的「對動態性質與現象的描述能力」? 這個說法十分的迷人，但我沒有能力繼續論述下去，或者以後會有。

小結與胡言亂語

從2018年暑假對經濟關係、對神經元與神經膠細胞的交互作用的好奇開始；2019寒假讀動態系統、神經動態系、液體狀態機(liquid state machine)與脈衝神經網路(spiking neural network)；國考前細閱讀《複雜：走在秩序與混沌邊緣》(絕版)；最近看《複雜經濟學》；前幾天看文初推薦的影片。本文實屬(兩小時前的)臨時興起。我最開心的地方在於，我發現「生命遊戲是對特定高維非線性微分方程的特殊視覺化方式」，雖然又花了一點時間寫文章，但本身是值得的。

回到spaceship，若單看結構的消散與形成，生命遊戲的spaceship和池塘的水波的擴散，是很一致的。

我甚至有一種偽科學家式的猜想。「用低層次的複雜來建構高層次的複雜」、「科學家使用生命遊戲建構生命遊戲」、「在minecraft建構微處理器」，這三點讓我想到：

物理學上的基本作用力是不是──在某種觀測尺度下──其實也是同一組非線性系統，只不過是在不同尺度上展現的湧現/現象。

如果是的話，似乎也是大一統呢~但可惜我不具有物理能力與知識，這就是偽科學的悲劇，權當作是文末的胡言亂語吧

這種把網格系統與微分方程組掛鉤的思考模式能協助我們理解spaceships嗎?可以的。Spaceship的結構，就像是無限大的池塘