前言
本文是電磁學工具系列的第一篇文章，在電磁學的領域中，像是電場或是磁場都是一種向量場，在空間中的每個點上都會具有方向性的作用，而在處理電磁場問題時會引入del算符來進行運算，本篇文章將會一邊說明各個專有名詞的物理意義，並且藉由算符運算所延伸出的三種表示法：梯度、散度、旋度來切入，一起打開認識電磁學的第一道門。
正文
在介紹繁雜的數學式之前，需要先來釐清一下場(field)的概念是什麼？
場來自於源(source)，「源」代表著產生「場」的物體或者系統，「場」是由「源」在空間中引起的物理量分佈，可以當作是空間的函數，例如：電場、磁場或者重力場…等等。場的觀念在物理學中有著舉足輕重的地位，我們可以藉由場和場之間的交互作用來幫助了解物理系統在空間中造成的現象。
在空間中分佈的物理量是否會具有方向呢？有，因此場也被分成了不具有方向性的「純量場」以及具有方向性的「向量場」，在電磁學中，電場和磁場可以藉由馬克士威方程組來描述，而他們都是屬於向量場，在要進行向量場的運算之前，需先定義一個向量算符∇ ，這個可愛的倒三角形可以被叫做del 或者nabla，要注意這個符號是粗體，代表一個向量算符，在這篇文章的段落裡所提到的向量都會利用粗體來表示，但圖中的向量依舊會有箭頭標示。回到主題，∇的定義如下所示：
del是一個算符，是只會對右邊作用的一種運算符號，意即不具有交換律，也並不代表一個真實存在的向量。如果將del作用在一個純量場f(r)上，就代表該純量場的梯度(gradient)，並且變成一個向量場：
梯度(Gradient):
如果將del作用在一個純量場f(r)上，就代表該純量場的梯度(gradient)，並且變成一個向量場：
那grad(f)具有什麼意義呢？它代表著純量場f最大增加率的方向，聽起來很拗口，但從上面的數學表達式中可以看出grad(f)中的每一項都是代表沿著該方向上的變化量；從第一項來看，f是一個純量場，在空間中各個點分佈著純量（不具方向性的量），因此f(r)=f(x,y,z)是位置的函數，將其對x偏微分意即只改變x來看f的變化：
為什麼grad(f)中的點總是是指向最大增加率的方向呢？我們看下面這張圖
grad(f)中任一點的方向垂直於f(r)等值面的切平面，因為沿著垂直方向到下個等值面的距離最短，所以變化率就會最大;如果不垂直的話，會存在可以投影到該等值面上的分量(如上圖所示，紫色向量和P點的切平面平行)，若是沿著綠色路徑走，可以分解成紅色垂直等值面的路徑以及紫色平行於等值面的路徑，在紅色的部分可以理解成某個方向乘上df，紫色的方向則是另外一個方向乘上某個係數，此係數與f的變化量無關，所以我們永遠可以將任何一個方向上的變化分解成兩種路徑，在紅色路徑的部分，我們可以將這個某方向投影到x y z 軸上，最後就會得到上面梯度的數學式!但該如何知道沿著該方向上的變化一定是正成長呢?記住向量總是包含著大小以及方向兩種成分，變化率可以被分解為向量的大小加上正負號，那麼我們如果把正負號和方向看做一個整體，且向量的大小是正定的，因此可以解釋成指向最大增加率的方向，總而言之，就是看你想要如何解釋這個數學式。
散度(Divergence):
與梯度不同，散度是由del對於一個向量場F進行內積作用得到的結果：
從上面的「操作型」定義，會比較難理解散度實際上的應用價值，散度的另外一個定義如下：
看起來很嚇人，不過不用太擔心，上面的數學式子的重點其實只有兩個，一個是積分，另一個是取極限；F (dot) da 是一個向量的內積，『da』代表的是F在da方向上的分量再乘上da，如果我們把所有的分量都加總起來，也就是對封閉曲面S積分後，我們就能夠得到向量F通過封閉曲面S的通量(flux)了，為何內積會代表通量的概念呢?請記得我們總是能夠把一個向量拆解成另外兩個向量的組合，所以我們可以把向量F拆解成垂直於表面da和平行於表面da的分量，那麼哪一部分的分量才會代表F真正通過da的量呢?很明顯是垂直方向，因為水平分量只會沿著表面da流動而不會通過!
接下來我們可以著重在第二個重點，也就是對體積變化量取極限到零，這個意思很單純，就是把體積當成一個點來看，因為它的體積趨近於無窮小，小到已經變成一個點了，結合前面的部分來看，我們就能解釋散度的物理意義，散度描述的是在位置為(x,y,z)的點上，向量場F的通量。
在之後我們會介紹一個重要且方便的定理:高斯散度定理，理解上面散度的物理意義以後，我們可以很輕易地了解這個定理的由來，但為了配合故事的脈絡，各位就先敬請期待吧XD。
旋度(Curl):
來到最後一個稍微需要點想像力的地方了，旋度顧名思義就是跟旋轉有關的計算，而在向量中什麼東西會牽涉到旋轉呢?沒錯，就是外積。因此旋度的數學表達式如下:
跟散度一樣，這個操作型的定義並不能增加多少我們對旋度的了解，因此需要藉由其他的數學定義來了解旋度的物理意義:
相信有了剛才的經驗以後上面這個表達式對於各位來說已經變得輕鬆許多，各位可以在我解釋完個符號代表的涵義後先想想看旋度的意義是什麼，積分的下標Cn代表的是路徑，是一個封閉迴路的積分；S的變化量代表的是面積的變化量，等式左側的n^代表的是任意面積元法線方向的單位向量。給各位3秒鐘的時間思考一下
時間到!旋度的物理意義就是在向量場A中的漩渦，接下來，請各位想想以下的圖哪一個會具有較大的旋度?
應該不難猜出圖2會有較大的旋度，而這正是前面的數學是想傳達的，這次我們先從極限來看，當縮到一個點以後的圖1和圖2的差別會看起來像是怎麼樣:
從上圖可以得知，在圖1中的向量場在環路積分的時候會等於零，因為在這個向量場中並沒有包含折返的性質，依樣畫葫蘆可以得知圖2的向量場的旋度不等於零，有了這些基本的圖像感覺之後，再來想想看什麼是curl(A)?
其意義就是在任一個位置(x,y,z)上，圍繞著一小漩渦的點，而這個小漩渦的環路積分會等於curl(A)的長度。
總結
本篇文章中介紹了三種電磁學中很常用到的基本數學工具，並且提供了更加直觀的物理解釋，在接下來的系列中這些數學工具必不可少，因此了解其特性一定能對處理電磁學的問題以及了解更深的內容有幫助。
