MODELAGEM NO ESPAÇO ESTADO

Com a evolução dos sistemas de processo aumentado a sua complexidade em executar suas etapas, os mesmos passaram a ter múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO), desta forma criou-se uma grande necessidade de controles mais eficientes sobre o mesmo, desenvolvendo assim o controle moderno. Sendo uma nova forma de analisar e projetar sistemas de alta complexidade, este controle moderno tem como base o conceito de estado. O uso de modelos estado iniciou-se por volta de 1960, no entanto já se possuía conhecimento sobre o assunto desde o século XIX.

Para entender melhor a diferença da aplicabilidade entre o controle convencional ou clássico em relação ao moderno, pode-se fazer a seguinte relação como é mostrado na tabela :

Nesta nova abordagem em análise de sistemas, existem algumas premissas que necessitam estarem bem definidas, as quais são:

  • Estado é a variável ou variáveis que se modificam a longo do tempo, onde estas variáveis são definidas em junto a entrada em , formando um conjunto de variáveis de estado.
  • Variáveis de Estado são as menores variáveis que podem identificar o estado do sistema, sendo dada a entrada e o estado inicial especificado em . A associação destas variáveis constituem o conjunto de variável de estado.
  • Vetor Estado, é o conjunto de estados que o sistema possuem representado na forma vetorial, no caso para sistemas com estados, sendo um definido de vetor estado.
  • Espaço de Estado, é o espaço n-dimensional cujos eixos são definidos pelas suas variáveis de estados do sistema, formando o espaço estado.
  • Equações do Espaço de Estado, são as equações que definem a estrutura do espaço de estado após a modelagem do sistema dinâmico, as quais são elas: variáveis de estado, variáveis de entrada e variáveis de saídas.

Uma característica importante do modelo de espaço de estado é que em sistemas continuo, só é possível trabalhar com equações diferencias de primeira ordem, que também podem ser chamada de equações na forma normal. Caso a modelagem resulte em equações de ordem dois ou maiores, se faz necessário a redução das ordens da mesma. Após a redução ou não destas equações diferenciais, é conveniente expressa-las na forma matricial como segue a equação :

Sendo a forma vetorial.

Logo, podemos representar as equações acima como,

Sendo,

  • A(t) , matriz de estado
  • B(t), matriz de entrada
  • C(t), matriz de saída
  • D(t), matriz de transmissão direta

Exemplo de aplicação de espaço estado: