三角函數與它反函數的微分
相信微積分曾經是大家上大學時害怕的科目之一，尤其配上三角函數，每個長得都很像的東西微分出來卻完全不一樣。大學時的我就有過這種煩惱，所以就花了一些時間好好鑽研其中有什麼規則可循。結果發現在了解三角函數的微分之後，反三角函數的微分也就變得信守拈來，並且到最後其實只需要記得 sin x 和 cos x 微分出來是誰就好了，原本可怕的12個微分關係式也就變得很簡單了！
從三角函數的微分開始好了
上面這個表是六個三角函數的微分，看起來很可怕沒什麼規則可循，感覺就只能死背，但是其實只要記住最基本的sin x和cos x就可以把剩下的四個都推出來，用到的就只是乘法跟除法在微分上的鏈鎖律(chain rule)就可以推出來了，就是用三角函數的定義將後面四個都用 sin x 和 cos x 展開，剩下的就直接使用 chain rule 暴力展開就可以了，聽起來要算很久但其實過程意外簡單。我希望放多一點篇幅在介紹怎麼記反三角函數的微分所以這邊就不細講怎麼使用 chain rule 來推那些關係，大家可以自己推推看。
那接下來怎麼進展到反三角函數呢？
在進到反三角函數的微分之前，在這裡要先介紹一個跟反函數微分有關的關係式，它說穿了其實也是一個 chain rule 的應用而已：
乍看之下非常複雜但是其實不然，我們可以這樣理解上面那條關係式：
一個函數的微分等於它的反函數的微分放分母，再把微分出來的東西用反函數表示。
這樣講好像有點抽象，我們看個例子會比較清楚。
一個例子：arcsin x 的微分
arcsin x 的反函數就是 sin x，而 sin x 的微分就是 cos x，所以依照上面的關係式，我們會猜 arcsin x 的微分其實就是cos x 的倒數。但是千萬別忽略了分母括號當中的參數並不是 x 而是 sin x！
這時候我們要將反函數的微分用反函數表示。
在上面那個例子當中 f 其實就是 sin，但是我們微分出來的結果卻是cos，這時候就要使用 sin² x + cos² x = 1 的關係式將 cos 利用 sin 來表示，最後再把這個 sin x 通通都帶換成 x 就大功告成了。整個流程就像是
反函數微分放分母 => 換成反函數表示 => 反函數換成 x
再一個例子：arcsec x的微分
其實道理一樣，我們可以利用之前推導得到的 sec x的微分以及三角函數的一些關係式，我們可以就可以得到答案。
這裡比較需要注意的是那個絕對值，因為我們是用簡化的記法，所以會很難理解為什麼那邊會有一個絕對值。如果想要知道原因的話就得用反函數的定義去推了，相信大家的微積分老師都會寫一段落落長的證明給你，這邊就不再贅述了。
反三角函數的微分
這邊的表格就是把上面的規則用六次就可以得到所有反三角函數的微分的長相，不過其實那個規則用三次就好，因為正弦和餘弦反三角函數加起來要是零，所以它們兩個的微分就差一個負號而已，腦袋容量又省了一半！
總結
所以其實到頭來12個關係式只要記兩個，剩下的十個都可以馬上推出來，三角函數的微分頓時變得似乎沒那麼可怕了(對呀因為真正可怕的是它們的積分)。而且說實在的 sin x 跟 cos x 的微分根本忘不掉吧，所以其實只要善用一點小技巧，就算很久沒有碰這些東西也能夠在短時間內回憶起來(像我現在這樣ＸＤ)。至於三角函數的積分，我就找不太到這種很漂亮的規則了。
