Фракталы правильных триангуляций

Crazy Mario
Aug 26, 2017 · 2 min read

При построении фракталов мы обращаемся к исходному объекту F(0), в отношении которого выполняем ряд дополнительных построений P. При этом получаемый нами объект F(1) обладает тем свойством, что и в его отношении можно выполнить построение P с получением нового объекта F(2), и т.д. Иными словами, построение P выполнимо для любого F(n), n = 0, 1, 2,…, при этом, исходя из F(0), каждый раз мы получаем объект F(n+1). Объекты F(n), n = 0, 1, 2,…, таким образом, могут быть названы фракталами порядка n. Так, исходя из треугольника, посредством добавления угла на каждом участке замкнутой ломаной получаются фракталы, называемые снежинками Коха (Рис.1).

Рисунок 1. Фрагменты снежинок Коха 1, 2 и 4 порядков

Пример фракталов, с которым мы познакомимся в данной статье, связан с несколько более любопытным построением. Сразу стоит отметить, что ввиду необходимости написания соответствующего программного обеспечения мы ограничимся рассмотрением лишь 1-го порядка (хотя уже здесь картины получаются интересными). Итак, обратим внимание на то, что высота, опущенная из прямого угла прямоугольного треугольника, приводит к образованию 2 новых треугольников, каждый из которых подобен исходному (Рис.2). Это сразу следует из того, что в каждом из новых треугольников имеется два угла, равных двум углам исходного треугольника (1-й признак подобия).

Рисунок 2. Высота, опущенная из прямого угла

Таким образом, посредством последующего проведения высот из прямых углов вновь получаемых треугольников мы можем задать некоторую триангуляцию начального треугольника, имея в результате совокупность подобных друг другу треугольников. Будем называть такую триангуляцию правильной (Рис.3).

Рисунок 3. Пример правильной триангуляции

Отсюда в качестве исходного объекта F(0) нами может быть выбрана некоторая правильная триангуляция Tr. При этом объектом F(1) будет считаться результат замены каждого из треугольников F(0) самой триангуляцией Tr. В силу подобия получаемых треугольников указанная замена может выполняться для любого F(n), n = 0, 1, 2, …, что позволяет говорить об этих объектах как о фракталах. Ниже изображён фрактал F(1), полученный из объекта Рис.3.

Рисунок 4. Фрактал 1-го порядка, полученный из правильной триангуляции на Рис.3

)

Written by

философия, психология, химия, математика, программирование, стихи

Welcome to a place where words matter. On Medium, smart voices and original ideas take center stage - with no ads in sight. Watch
Follow all the topics you care about, and we’ll deliver the best stories for you to your homepage and inbox. Explore
Get unlimited access to the best stories on Medium — and support writers while you’re at it. Just $5/month. Upgrade