Фракталы правильных триангуляций
При построении фракталов мы обращаемся к исходному объекту F(0), в отношении которого выполняем ряд дополнительных построений P. При этом получаемый нами объект F(1) обладает тем свойством, что и в его отношении можно выполнить построение P с получением нового объекта F(2), и т.д. Иными словами, построение P выполнимо для любого F(n), n = 0, 1, 2,…, при этом, исходя из F(0), каждый раз мы получаем объект F(n+1). Объекты F(n), n = 0, 1, 2,…, таким образом, могут быть названы фракталами порядка n. Так, исходя из треугольника, посредством добавления угла на каждом участке замкнутой ломаной получаются фракталы, называемые снежинками Коха (Рис.1).

Пример фракталов, с которым мы познакомимся в данной статье, связан с несколько более любопытным построением. Сразу стоит отметить, что ввиду необходимости написания соответствующего программного обеспечения мы ограничимся рассмотрением лишь 1-го порядка (хотя уже здесь картины получаются интересными). Итак, обратим внимание на то, что высота, опущенная из прямого угла прямоугольного треугольника, приводит к образованию 2 новых треугольников, каждый из которых подобен исходному (Рис.2). Это сразу следует из того, что в каждом из новых треугольников имеется два угла, равных двум углам исходного треугольника (1-й признак подобия).

Таким образом, посредством последующего проведения высот из прямых углов вновь получаемых треугольников мы можем задать некоторую триангуляцию начального треугольника, имея в результате совокупность подобных друг другу треугольников. Будем называть такую триангуляцию правильной (Рис.3).

Отсюда в качестве исходного объекта F(0) нами может быть выбрана некоторая правильная триангуляция Tr. При этом объектом F(1) будет считаться результат замены каждого из треугольников F(0) самой триангуляцией Tr. В силу подобия получаемых треугольников указанная замена может выполняться для любого F(n), n = 0, 1, 2, …, что позволяет говорить об этих объектах как о фракталах. Ниже изображён фрактал F(1), полученный из объекта Рис.3.
