วิเคราะห์โจทย์ สอวน. (ศูนย์โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย) สาขา คณิตศาสตร์ เรื่อง พหุนามด้วยโปรแกรม R
Analysis POSN foundation Mathematic Olympiad problem at Suankularb Wittayalai school center in Thailand in Polynomial problem with R programming

การวิเคราะห์สมการพหุนามกำลัง 3 นั้นจะพิจารณาได้ยากลำบาก
ภาควิชาคณิตศาสตร์ Vanderbilt University มหาวิทยาลัยในแนชวิลล์ รัฐเทนเนสซีประเทศ สหรัฐอเมริกา ได้ทำการจัดรูปพหุนามกำลัง3 ไว้ ในหัวข้อเรื่อง “The Cubic Formula” link
พหุนามกำลัง3 อยู่ในรูป ax³+bx²+cx+d = 0
ซึ่งค่า x ที่เป็นรากของสมการ จะอยู่ในรูป

ซึ่งมีความซับซ้อนกว่า พหุนามกำลัง2 มาก ซึ่งลดความซับซ้อนของตัวแปรโดยการกำหนด ค่าที่อยู่นอกแบบสัมประสิทธิ์ทั่วไปของพหุนามกำลัง3 เพื่อง่ายต่อการวิเคราะห์

ซึ่งการ ตรวจสอบว่ามีรากของพหุนามกำลัง3 เป็นรากที่เป็นจำนวนจริง จากค่านี้ด้านล่าง

ต้องมีค่ามากกว่าเท่ากับ 0 ซึ่ง พจน์แรกมีค่ายกกำลัง 2 เป็นค่าบวกเสมอหรือกล่าวเชิงคณิตศาสตร์ คือ มีค่าเป็น 0 หรือ บวกเสมอ
จึงพิจารณาเฉพาะเพียง กรณีที่ติดลบ

จากโจทย์ a = 1
b =-4
c = 2
d = -3
หรือ พิจารณาเฉพาะ ค่า r ก็เพียงพอ มีค่า เท่ากับ (2/(3*(1)))-((-4)²/9*(1)²) = (2/3)-(16/9) = (6–16)/9 = -10/9
ซึ่งหากค่าเป็นบวกจะสามารถสรุปได้ แต่ค่าออกมาติดลบต้องทำการคำนวณต่อ
โดยการหาค่า q = pู³ + ((b*c)-(3*a*d))/(6*a²)
โดยที่ p = -b/(3*a)
ค่า p = -(-4)/(3*1) = 4/3
ค่า q = (64/27)+(-8+9)/(6) = (64/27)+(1/6) = 384+27/162 = 441/162
เห็นได้ชัดเจนว่า q มากกว่า q ชัดเจน จึงมีค่ารากที่เป็นจริงอย่างน้อย 1 ตัวอย่างแน่นอน
พหุนามกำลัง3 เขียนในรูปแบบทั่วไปได้ยาก ยากต่อการจำ และ การตรวจสอบก็มากพอที่ในสนามแข่งขันจะหมดเวลาในข้อนั้น คือ ทำไม่ทัน
เมื่อนำมาเขียนด้วยภาษา R เพื่อหาค่าราก x
โดยกำหนดตัวแปร ตามกำหนดตัวแปรของทางมหาวิทยาลัย Vanderbilt University

ได้ผลลัพธ์ คือ

เกิดปัญหากับค่าราก เพราะ เกิดจุดทศนิยม หากออกมาเป็นจำนวนเต็มจะไม่เกิดปัญหาอย่างแน่นอน ต้องทำการตรวจสอบย้อนกลับ(back-test) ด้วยภาษา R

เมื่อตรวจสอบรากจำนวนจริงด้วยทศนิยมตำแหน่งที่ 7

ได้ผลลัพธ์ คือ

พบว่าไม่ได้มีค่า = 0
จึงไม่ใช่รากที่แท้จริง จึงทำการตรวจสอบซ้ำด้วยค่าตัวแปรที่คอมพิวเตอร์ประมวลผล

ได้ผลลัพธ์ คือ

พบว่าไม่ใช่ค่ารากที่แท้จริง เช่นกัน
การพิจารณาค่าคลาดเคลื่อน(eror)สามารถทำได้โดยพิจารณาค่าบวกและลบ
กรณีซึ่งค่ารากจำนวนจริงที่ทศนิยม 6 ตำแหน่ง ได้ ค่าติดลบ
จากสมการ x³-4x²+2x-3
- -4x²-3 มีค่ามากกว่า x³+2x =x*(x²+2)
กรณีค่าตัวแปรประมวลผล ได้ค่าบวก
x³+2x = x*(x²+2) มีค่ามากกว่า -4x²-3
พิจาณาค่าสัมบูรณ์หรือขนาด จำได้เปรียบเทียบระหว่าง x*(x²+2) และ 4x²+3
แก้สมการหาค่าจุดเกิดเริ่มเกิดค่าคลาดเคลื่อน x³+2x = 4x²+3 = 0
x = (4x²+3)/(x²+2)
เขียนในรูปแบบที่ลดความผิดพลาดของการประมวลของคอมพิวเตอร์
ได้ log x = log(4x²+3)-log((x²+2))
เมื่อแก้สมการออกมาจะได้ว่า 0,sqrt(2)i,-sqrt(2)i ,sqrt(3)i/2 และ -sqrt(3)i/2 ตามลำดับ
แต่ทุกค่าแทนแล้วใช้ไม่ได้ทั้งหมด รากย่อยไม่มีความสัมพันธ์ดับรากจริง
จึงได้ว่า เป็นจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถตรวจสอบได้
ซึ่งใช้ library base v3.5.1
จาก https://www.rdocumentation.org/packages/base
ใน function polyplot()
ซึ่งนำมาหาค่ารากของสมการพหุนาม ในรูป

โดยใช้ Jenkins-Traub algorithm
ซึ่งมีทั้งสิ้น 3 ขั้นตอน
ซึ่งมีรูปแบบทั่วไป ในขั้นตอนที่ 3 คือ



ซึ่งจะนำมาเปรียบเทียบกับ Newton–Raphson iteration link
โดยใช้ library numDeriv v.2016.8–1
ซึ่งสร้างฟังก์ชั่นดังนี้ ที่การทำซ้ำ 1000 ครั้ง

โดยจะมี จุดแตกต่างกับ Jenkins-Traub algorithm ในขั้นตอนที่ 3 คือ



ได้ผลลัพธ์ คือ 3.6779934834833985717 ซึ่งหากเขียนในรูปทศนิยมหกตำแหน่งจะได้ 3.677993 ซึ่งตรงกับฟังก์ชั่น cubic ข้างต้น จึงมีความแม่นยำของรากระดับ 1/10⁵
ทดสอบด้วย tol = 0 ,n = 1,000,000 ในช่วง 3.67793 ถึง 3.6779935
6x1x5x10 ในช่วงทศนิยม 7 ตำแหน่ง พบว่าเพียง 300 ค่า
[โดยที่จะหยุดที่ 999,999 ตาม memory ]
ซึ่งอยู่ในขอบเขตของทศนิยม9ตำแหน่ง ที่เป็นจำนวนอตรรกยะ
ซึ่งทางผู้เขียนบทความได้ทดสอบแล้ว หากกำหนดช่วงให้ดีๆ จะทำ tol = 0 ได้และจะหยุด
จึงขอจบการพิจารณาพหุนามกำลัง3เบื้องต้นเพียงเท่านี้
และตรวจสอบด้วยโปรแกรม R แล้วพบว่าเป็นจำนวนอตรรกยะแน่นอนในช่วงทศนิยม 9 ตำแหน่งซึ่งใกล้เคียงกับสมมติฐานของผู้เขียนบทความ
หาคำตอบจากโจทยืโดยการกำหนดตัวแปร
ให้ค่าอัลฟ่า เบต้า แกรมม่า เป็น A,B และ C ตามลำดับเพื่อสะดวกต่อการเข้าใจ
A,B และ C เป็นรากของสมการ แสดงว่า (x-A)(x-B)(x-C) = 0 ……….(*)
x³-(A+B+C)x²+(AB+BC+CA)x-ABC =0
หา Q(AB) = Q(BC) = Q(CA) = 0 ……….(**)
ซึ่งจะได้ Q(x)+5 = P(x) ตามโจทย์
จาก (**) จะได ้ (x-AB)(x-BC)(x-CA) = 0
Q(x) = x³-(AB+BC+CA)x²+(A²BC+AB²C+ABC²)x -A²B²C² = 0
จากโจทย์ x³-4x²+2x-3
จาก (*) จะได้ A+B+C = 4
AB+BC+CA = 2
ABC = 3
จาก Q(x)
พบว่ามีปัญหาเพียงพจน์เดียว คือ
(A²BC+AB²C+ABC²) = ABC(A+B+C) =3*(4) = 12
แทนค่า Q(x) = x³-2x²+12x-9
เพราะ ฉะนั้นคำตอบ คือ P(x) = x³-2x²+12x-4
เมื่อทำการตรวจสอบค่า ABC จาก polyroot


จะได้จัดรูปอย่างง่ายจากโจทย์ (x-3.677935)(x²-0.3220066x+0.8156621)
ได้ x³ -0.3220066x²+0.8156621x
-3.677935x²+1.184319x-3
= x³-3.999942x²+1.999941x-3
แต่ก็ไม่ใช่ค่าที่ถูกต้องทั้งหมด ซึ่งกระทบต่อสัมประสิทธิ์ตัวอื่นในทศนิยมตำแหน่งที่ 5 และ 3 ก็ไม่ใช่ค่าจริงแต่สามารถอนุโลมได้ จบการวิเคราะห์โครงสร้างพหุนามกำลัง3เบื้องต้นเพียงเท่านี้
