Nattawat Piansakul
Sep 5, 2018 · 4 min read

วิเคราะห์โจทย์ สอวน. (ศูนย์โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย) สาขา คณิตศาสตร์ เรื่อง พหุนามด้วยโปรแกรม R

Analysis POSN foundation Mathematic Olympiad problem at Suankularb Wittayalai school center in Thailand in Polynomial problem with R programming

การวิเคราะห์สมการพหุนามกำลัง 3 นั้นจะพิจารณาได้ยากลำบาก

ภาควิชาคณิตศาสตร์ Vanderbilt University มหาวิทยาลัยในแนชวิลล์ รัฐเทนเนสซีประเทศ สหรัฐอเมริกา ได้ทำการจัดรูปพหุนามกำลัง3 ไว้ ในหัวข้อเรื่อง “The Cubic Formula” link

พหุนามกำลัง3 อยู่ในรูป ax³+bx²+cx+d = 0

ซึ่งค่า x ที่เป็นรากของสมการ จะอยู่ในรูป

ซึ่งมีความซับซ้อนกว่า พหุนามกำลัง2 มาก ซึ่งลดความซับซ้อนของตัวแปรโดยการกำหนด ค่าที่อยู่นอกแบบสัมประสิทธิ์ทั่วไปของพหุนามกำลัง3 เพื่อง่ายต่อการวิเคราะห์

ซึ่งการ ตรวจสอบว่ามีรากของพหุนามกำลัง3 เป็นรากที่เป็นจำนวนจริง จากค่านี้ด้านล่าง

ต้องมีค่ามากกว่าเท่ากับ 0 ซึ่ง พจน์แรกมีค่ายกกำลัง 2 เป็นค่าบวกเสมอหรือกล่าวเชิงคณิตศาสตร์ คือ มีค่าเป็น 0 หรือ บวกเสมอ

จึงพิจารณาเฉพาะเพียง กรณีที่ติดลบ

จากโจทย์ a = 1

b =-4

c = 2

d = -3

หรือ พิจารณาเฉพาะ ค่า r ก็เพียงพอ มีค่า เท่ากับ (2/(3*(1)))-((-4)²/9*(1)²) = (2/3)-(16/9) = (6–16)/9 = -10/9

ซึ่งหากค่าเป็นบวกจะสามารถสรุปได้ แต่ค่าออกมาติดลบต้องทำการคำนวณต่อ

โดยการหาค่า q = pู³ + ((b*c)-(3*a*d))/(6*a²)

โดยที่ p = -b/(3*a)

ค่า p = -(-4)/(3*1) = 4/3

ค่า q = (64/27)+(-8+9)/(6) = (64/27)+(1/6) = 384+27/162 = 441/162

เห็นได้ชัดเจนว่า q มากกว่า q ชัดเจน จึงมีค่ารากที่เป็นจริงอย่างน้อย 1 ตัวอย่างแน่นอน

พหุนามกำลัง3 เขียนในรูปแบบทั่วไปได้ยาก ยากต่อการจำ และ การตรวจสอบก็มากพอที่ในสนามแข่งขันจะหมดเวลาในข้อนั้น คือ ทำไม่ทัน

เมื่อนำมาเขียนด้วยภาษา R เพื่อหาค่าราก x

โดยกำหนดตัวแปร ตามกำหนดตัวแปรของทางมหาวิทยาลัย Vanderbilt University

ได้ผลลัพธ์ คือ

เกิดปัญหากับค่าราก เพราะ เกิดจุดทศนิยม หากออกมาเป็นจำนวนเต็มจะไม่เกิดปัญหาอย่างแน่นอน ต้องทำการตรวจสอบย้อนกลับ(back-test) ด้วยภาษา R

เมื่อตรวจสอบรากจำนวนจริงด้วยทศนิยมตำแหน่งที่ 7

ได้ผลลัพธ์ คือ

พบว่าไม่ได้มีค่า = 0

จึงไม่ใช่รากที่แท้จริง จึงทำการตรวจสอบซ้ำด้วยค่าตัวแปรที่คอมพิวเตอร์ประมวลผล

ได้ผลลัพธ์ คือ

พบว่าไม่ใช่ค่ารากที่แท้จริง เช่นกัน

การพิจารณาค่าคลาดเคลื่อน(eror)สามารถทำได้โดยพิจารณาค่าบวกและลบ

กรณีซึ่งค่ารากจำนวนจริงที่ทศนิยม 6 ตำแหน่ง ได้ ค่าติดลบ

จากสมการ x³-4x²+2x-3

  • -4x²-3 มีค่ามากกว่า x³+2x =x*(x²+2)

กรณีค่าตัวแปรประมวลผล ได้ค่าบวก

x³+2x = x*(x²+2) มีค่ามากกว่า -4x²-3

พิจาณาค่าสัมบูรณ์หรือขนาด จำได้เปรียบเทียบระหว่าง x*(x²+2) และ 4x²+3

แก้สมการหาค่าจุดเกิดเริ่มเกิดค่าคลาดเคลื่อน x³+2x = 4x²+3 = 0

x = (4x²+3)/(x²+2)

เขียนในรูปแบบที่ลดความผิดพลาดของการประมวลของคอมพิวเตอร์

ได้ log x = log(4x²+3)-log((x²+2))

เมื่อแก้สมการออกมาจะได้ว่า 0,sqrt(2)i,-sqrt(2)i ,sqrt(3)i/2 และ -sqrt(3)i/2 ตามลำดับ

แต่ทุกค่าแทนแล้วใช้ไม่ได้ทั้งหมด รากย่อยไม่มีความสัมพันธ์ดับรากจริง

จึงได้ว่า เป็นจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถตรวจสอบได้

ซึ่งใช้ library base v3.5.1

จาก https://www.rdocumentation.org/packages/base

ใน function polyplot()

ซึ่งนำมาหาค่ารากของสมการพหุนาม ในรูป

โดยใช้ Jenkins-Traub algorithm

ซึ่งมีทั้งสิ้น 3 ขั้นตอน

ซึ่งมีรูปแบบทั่วไป ในขั้นตอนที่ 3 คือ

ซึ่งจะนำมาเปรียบเทียบกับ Newton–Raphson iteration link

โดยใช้ library numDeriv v.2016.8–1

ซึ่งสร้างฟังก์ชั่นดังนี้ ที่การทำซ้ำ 1000 ครั้ง

โดยจะมี จุดแตกต่างกับ Jenkins-Traub algorithm ในขั้นตอนที่ 3 คือ

ได้ผลลัพธ์ คือ 3.6779934834833985717 ซึ่งหากเขียนในรูปทศนิยมหกตำแหน่งจะได้ 3.677993 ซึ่งตรงกับฟังก์ชั่น cubic ข้างต้น จึงมีความแม่นยำของรากระดับ 1/10⁵

ทดสอบด้วย tol = 0 ,n = 1,000,000 ในช่วง 3.67793 ถึง 3.6779935

6x1x5x10 ในช่วงทศนิยม 7 ตำแหน่ง พบว่าเพียง 300 ค่า

[โดยที่จะหยุดที่ 999,999 ตาม memory ]

ซึ่งอยู่ในขอบเขตของทศนิยม9ตำแหน่ง ที่เป็นจำนวนอตรรกยะ

ซึ่งทางผู้เขียนบทความได้ทดสอบแล้ว หากกำหนดช่วงให้ดีๆ จะทำ tol = 0 ได้และจะหยุด

จึงขอจบการพิจารณาพหุนามกำลัง3เบื้องต้นเพียงเท่านี้

และตรวจสอบด้วยโปรแกรม R แล้วพบว่าเป็นจำนวนอตรรกยะแน่นอนในช่วงทศนิยม 9 ตำแหน่งซึ่งใกล้เคียงกับสมมติฐานของผู้เขียนบทความ

หาคำตอบจากโจทยืโดยการกำหนดตัวแปร

ให้ค่าอัลฟ่า เบต้า แกรมม่า เป็น A,B และ C ตามลำดับเพื่อสะดวกต่อการเข้าใจ

A,B และ C เป็นรากของสมการ แสดงว่า (x-A)(x-B)(x-C) = 0 ……….(*)

x³-(A+B+C)x²+(AB+BC+CA)x-ABC =0

หา Q(AB) = Q(BC) = Q(CA) = 0 ……….(**)

ซึ่งจะได้ Q(x)+5 = P(x) ตามโจทย์

จาก (**) จะได ้ (x-AB)(x-BC)(x-CA) = 0

Q(x) = x³-(AB+BC+CA)x²+(A²BC+AB²C+ABC²)x -A²B²C² = 0

จากโจทย์ x³-4x²+2x-3

จาก (*) จะได้ A+B+C = 4

AB+BC+CA = 2

ABC = 3

จาก Q(x)

พบว่ามีปัญหาเพียงพจน์เดียว คือ

(A²BC+AB²C+ABC²) = ABC(A+B+C) =3*(4) = 12

แทนค่า Q(x) = x³-2x²+12x-9

เพราะ ฉะนั้นคำตอบ คือ P(x) = x³-2x²+12x-4

เมื่อทำการตรวจสอบค่า ABC จาก polyroot

จะได้จัดรูปอย่างง่ายจากโจทย์ (x-3.677935)(x²-0.3220066x+0.8156621)

ได้ x³ -0.3220066x²+0.8156621x

-3.677935x²+1.184319x-3

= x³-3.999942x²+1.999941x-3

แต่ก็ไม่ใช่ค่าที่ถูกต้องทั้งหมด ซึ่งกระทบต่อสัมประสิทธิ์ตัวอื่นในทศนิยมตำแหน่งที่ 5 และ 3 ก็ไม่ใช่ค่าจริงแต่สามารถอนุโลมได้ จบการวิเคราะห์โครงสร้างพหุนามกำลัง3เบื้องต้นเพียงเท่านี้

Nattawat Piansakul

Written by

Mathematician Suankularb Wittayalai 128 (OSK128) interesting in Data mathematical analysis

Welcome to a place where words matter. On Medium, smart voices and original ideas take center stage - with no ads in sight. Watch
Follow all the topics you care about, and we’ll deliver the best stories for you to your homepage and inbox. Explore
Get unlimited access to the best stories on Medium — and support writers while you’re at it. Just $5/month. Upgrade