Fractais #02 — O conceito de infinito

O conceito de infinito, tal como o de indução e recursividade, apresentado no artigo anterior, já existe desde a antiguidade. E o filósofo mais relevante dessa época foi Zenão:

Paradoxo de Zenão aplicado a ideia da corrida entre Aquiles e a Tartaruga

Por muito tempo, as ideias de Zenão sobre o infinito, apesar de lutarem contra o bom senso (afinal Aquiles conseguiria ganhar da Tartaruga) perduraram por muito tempo até que se desenvolvesse o cálculo infinitesimal e discreto, mas principalmente teve nas ideias de Cantor uma nova repaginada e abertura para novas possibilidades de estudo (embora ainda hoje pensa-se em quebrar os limites do infinito, principalmente a de criá-lo, vide exemplo aqui).

Cantor foi um matemático russo e logo se mudou para a Alemanha com a família, o que lhe permitiu estudar teoria dos números e dos conjuntos, e começou a mergulhar na ideia de infinito, principalmente em relação aos números irracionais.

Na época de Cantor, alguns matemáticos mais tradicionais, como Leopold Kronecker (ex-professor de Cantor) desprezava estudos nessa área e movia certa campanha contra seu ex-aluno. Conforme artigo didático da revista Galileu: “Cantor acreditava que existiam vários níveis de infinito. O mais alto deles, o Absoluto e inatingível, era o próprio Deus. Seu caráter místico e sua mente conturbada devem tê-lo levado a se debruçar sobre tal tema tão profundo, revolucionário e ousado na matemática. Kronecker aproveitava o lado esotérico de Cantor para acusar suas teorias matemáticas de misticismo ficcional. Segundo o ex-mestre, cientistas não deveriam dar crédito ao seu ex-aluno, e seus trabalhos ‘subversivos’ deveriam ser rejeitados pelas revistas científicas renomadas.”

A ideia esotérica de Cantor é explicitada a seguir [apud Rucker, 1987]:

“O infinito sempre surge em três contextos: primeiro quando ele se apresenta em sua forma mais completa, em uma entidade sobrenatural completamente independente, in Deo, o qual denomina de Infinito absoluto ou simplesmente de Absoluto, segundo quando ele ocorre no eventual, mundo criado; terceiro quando a mente o entende em abstrato como uma magnitude matemática, um número ou tipo de ordenação .”

Cantor começou seu estudo de um modo diferente de outros do seu tempo: ele não queria saber quantos números existem, mas sim quais tipos de conjuntos de números existiam e quantos números cada conjunto tinha em relação ao outro.

O conceito de enumerabilidade é fundamental para as ideias de Cantor

E usou técnicas que uma pessoa que não sabia contar usaria: Cantor dividiu vários conjuntos de números (pares, ímpares, inteiros…) e começou a fazer emparelhamento entre eles, isto é, fazia uma relação entre um número de um conjunto com um número de outro conjunto. A falta de emparelhamento indicaria a maior cardinalidade de um conjunto em relação a outro. Nessa comparação, Cantor descobriu que não havia nenhum conjunto infinito com menor cardinalidade do que o conjunto dos inteiros (ou naturais), e atribui a cardinalidade desse conjunto como sendo representado pela letra Aleph zero (ℵ0) do alfabeto hebraico. Cantor percebeu que mesmo sendo ambos infinitos, a cardinalidade do conjunto dos reais, (denominado por ℵ1),, é maior que a do conjunto dos inteiros, provando então, que existem diferenças entre os infinitos.

Ilustrando didaticamente a descoberta de Cantor

Para comprovar isso, ele usou parte das ideias de Liouville, que em 1844 provou a existência de duas categorias de números irracionais: algébricos e transcendentes. Um número algébrico é aquele que pode ser raiz de uma equação algébrica, e como existem infinitas equações, há um número infinito de raízes também. Entretanto, não é possível ter números como 𝜋 (pi) que não podem ser raiz de uma equação algébrica. O número 𝜋, e todos os outros transfinitos, só podem ser raiz de funções não algébricas que não necessariamente terão raízes algébricas. Em uma das cartas enviadas de Cantor para Dedekind (apud Grattan, 1976), fica posto a diferença sutil de ideias entre os dois matemáticos:

“Uma multiplicidade é dita bem ordenada se ela atende a condição que cada submultiplicidade tenha um elemento inicial; tal como uma multiplicidade de uma pequena sequência. Agora eu contemplo o sistema de todos os números representado por Ω. O sistema Ω é naturalmente ordenado de acordo com sua magnitude, formando uma sequência. Agora adicionemos 0 como um elemento extra para esta sequência, e certamente colocaremos 0 na primeira posição então Ω* é ainda uma sequência da qual podemos facilmente nos convencer que cada número que ocorre nela é um número ordinal da sequência de todos seus elementos precedentes. Agora Ω* (e consequentemente também Ω) não pode ter uma multiplicidade consistente. Para que Ω* seja consistente, tal como um conjunto bem ordenado, um número Δ deve ser anexado para que ele se torne maior que todos os números do sistema Ω; o número Δ, contudo, também pertence ao sistema Ω, porque ele engloba todos os números. Portanto Δ deve ser maior que Δ, o que é uma 8 contradição. Portanto o sistema Ω de todos os números ordinais é uma inconsistência, multiplicidade infinita absoluta.”.
Hotel de Hilbert — O paradoxo de Zenao atualziado com os conceitos de Cantor

Vários outros matemáticos deram contribuições importantes para resolução de problemas com o conceito de infinito, mas não é objetivo desse post ficar alongando muito sobre o assunto. Entretanto, se estiver interessado em se aprofundar mais, procure por material de dois dos matemáticos mais célebres sobre o assunto são:

(i) Riemann

(ii) Ramanujan (indiano, teve biografia retratada em filme de 2016)

Este artigo é uma continuação do artigo sobre indução, e faz parte de uma série de artigos voltados a decifrar os mistérios dos fractais. O próximo assunto da série é o conceito de decidibilidade.