邏輯白話談(一)

命題邏輯:導論

如果今天下過雨,那麼地板就會是濕的。如果今天地板是濕的,代表剛剛下過雨嗎?

不一定喔!也有可能是剛剛有掃街車經過,在路上灑水了呀!我們只知道下雨就會地濕,但是我們不知道,是不是有其他事發生時,地板也會濕。所以,如果我們知道地是濕的,我們最多只能說,剛剛可能下過雨,但是不能確定。

這樣聽起來應該滿合理的吧!不過,那如果再問,如果今天地板是乾的,代表剛剛沒下過雨嗎?

答案是正確的喔!因為呀,如果地板是乾的,下雨就不合理了,所以他必然沒發生;不然,地板應該是濕的吧!所以,如果在這個情況,說有下雨不合理,那麽勢必是沒下過雨。從這裡,我們同時也可以判斷,剛剛應該也沒有掃街車經過。

覺得剛剛這段論證有趣嗎?你會發現,從短短一句「如果今天下過雨,那麼地板就會是濕的」可以引出這麼多討論。討論像這樣的事,基本上就是邏輯學家們的主業,而他們也在探究的過程中,發展出很多套做這類論證的系統,來協助系統性的思考。我們今天要討論的主題,就是其中相當重要的命題邏輯(propositional logic)。

命題

他既然叫做命題邏輯,你可能馬上就想問,那啥是命題(proposition)?命題就是我們討論的東西。而在邏輯裡面,我們關心的是,某句話是真還是假。因此,命題就是那些可以被討論是真還是假的句子。有點模糊嗎?看點例子:

「地球是圓的」跟「太陽從西邊出來」這兩句話,在現實中,一句是真的,一句是假的,我們可以說他真或說他假,所以他們是命題;注意我們也可以討論例如「地球不是圓的」或「太陽不從西邊出來」的真假,在現實情況就是前假後真。「明天會下雨」不一定是真的或假的,但是我們可以討論他是真或是假,所以他也是命題。

「小明」是個名字,根本不是句子,「課本」是物品,也不是句子,這兩個都不是命題。「捷運站在哪?」是在問一件事,他本身沒有真假,「哈哈」只是表達情緒,也沒真假可以討論,所以這兩個也都不是命題。

符號

要進入正題前,我們還得先看一件事,就是符號。符號(symbol)是用來表達想法的載具,你現在在讀的這些中文字是符號。你在學校學數學時,用來寫方程式變數的 x, y, z 這些英文字母也是符號;我們大可選擇甲乙丙甚至是 #, %, $ 來當符號,實際選擇都是習慣與慣例而已,而在邏輯裡面,我們也有一套符號的慣例,表達命題就是用希臘符號 φ 跟 ψ,發音是 phi(ㄈㄞ)跟 psi(ㄙㄞ)。

回到一開始的例子。為了討論方便以及嚴謹,我們想要把這句話「如果今天下過雨,那麼地板就會是濕的」簡化以及抽象化,轉換成符號的表達法。分析一下這句話的內容,可以發現他的結構大概是這樣的:「如果 (__),那麼 (__)」,其中空格前項是「今天下過雨」,後項是「地板就會是濕的」。

看到這裡,你應該知道我們要幹嘛了吧?我們可以把「今天下過雨」用 φ 替代,把「地板就會是濕的」用 ψ 替代。而「如果 (__),那麼 (__)」的結構則用一個箭頭的符號「→」寫在空格之間來替代,所以結構變成這樣「(__) → (__)」。寫出來就是「φ → ψ」。

另外,我們用 T 跟 F 分別來代表真跟假這兩個值,英文原本是代表 True 跟 False。

蘊涵

其實我們從剛開始討論到現在,一直用的這個結構「如果 (__),那麼 (__)」(現在你知道是「→」)在邏輯裡面非常常見。正確來說,他的名字叫做「蘊含(implication)」,剛剛說的「φ → ψ」就是 φ 蘊含 ψ。如果覺得這樣講很陌生,可以看看他的英文原文「imply」的意思;如果你不知道,也不用緊張,我剛剛也查了一下 Google 翻譯。總之,他就是「意味著」的意思。套回去剛剛的範例再想想看:「(今天下過雨)意味著(地板就會是濕的)」有沒有覺得合理多了呢?(為了慣例起見,以下我還是會用「蘊含」這二字)

知道了蘊含的概念,我們可以正式來定義他的結果。這是要幹嘛?還記得我們剛剛說命題就是真或假的句子,「今天下過雨」跟「地板就會是濕的」這兩個句子可以討論真假沒問題,我們就去窗外看看就好。但是往上一個層級,我們可以討論「如果今天下過雨,那麼地板就會是濕的」是真或假。

討論蘊含語句的真假的方式,是先檢查他裡面包的內容,就是那些下一層級的子語句的真假,再藉由一套定義好的規則,決定整句話的結果。對於 φ → ψ,他裡面子語句組件就是 φ 跟 ψ。

雖然 φ 跟 ψ 不一定是代表下雨跟地濕,但是 → 的意義是不會變的。以下表格是對於任意命題 φ 跟 ψ 來說,φ → ψ 的真假值:

這個表格是這樣:標頭中,右邊列出我最後要的結果,左邊列出他裡面有哪些東西;下面的每一行,左邊是每個組件的可能真假值的所有排列,右邊是當我的組件在這樣的情況時,最後結果的真假值為何。例如第一行寫的「T T T」意思就是:當 φ 是 T 而且 ψ 也是 T 時,φ → ψ 是 T。

因此這樣解讀下來,你會發現,唯有當 φ 是真而且 ψ 是假的時候,φ → ψ 才是假的。覺得這樣的定義有點奇怪嗎?別著急,我們再次拿出範例來想想看!

「如果今天下過雨,那麼地板就會是濕的」這句話的意思是,如果情況是今天下過雨,那麼同時,在這個情況,地板會是濕的。注意到他的「如果」侷限了這句話的力量,因為這代表不管他後面「那麼」要說什麼,都只是在「如果」的情況下的描述。

換句話說,要檢查這句話有沒有成立,我們只要檢查一件事:在今天下過雨的情況,地板是否為濕的?如果是濕的,那這就是圖裡第一行的狀況,當 φ 跟 ψ 皆為 T,φ → ψ 就是 T,因為 φ 跟 ψ 的真假值符合 φ → ψ 描述的限制。如下圖:

同理,如果在今天下過雨的情況,地板是乾的,那自然整句蘊含語句就是假的。因為在今天下過雨的情況裡,如果地板不是濕的,那就違反了整句話的描述。這對應到圖裡第二行的狀況,也就是當 φ 是 T 而 ψ 是 F 的情況,我們認為 φ → ψ 是假。如下圖:

最後,我們考慮另外一方面,如果今天根本沒下過雨,這個情況就沒有違反「如果今天下過雨,那麼地板就會是濕的」這句話的描述,因為他根本沒有符合他的「如果」。在命題邏輯裡面,命題要嘛真,要嘛就是假,沒有其他選擇,也沒有灰色地帶(有其他的邏輯系統會討論那些)。因此,既然他沒有違反,所以他不是假,那勢必他就是真啦!這對應到圖裡第三、第四行的情況,當 φ 是 F,不管 ψ 是 T 還是 F,φ → ψ 都是真。如下圖:

回到原點

把定義搞懂了後,我們回到最一開始的一些問題,來看看這可以怎麼用。考慮「如果今天下過雨,那麼地板就會是濕的」成立時,我們問「如果今天地板是濕的,代表剛剛下過雨嗎?」跟「如果今天地板是乾的,代表剛剛沒下過雨嗎?」的答案是什麼。先通通換成符號,然後再來對照剛剛的定義圖研究。

考慮當 φ → ψ 是 T 時,如果 ψ 是 T,φ 是 T 嗎?在圖中有兩行是 ψ 跟 φ → ψ 都是 T 的情況,也就是第一、第三行,在這兩行中,φ 分別是 T 跟 F,代表他都有可能,因此答案是不一定。如下圖:

考慮當 φ → ψ 是 T 時,如果 ψ 是 F,φ 是 F 嗎?在圖中只有第四行是這樣的情況,而在這行 φ 是 F,因此答案是對的,φ 只有可能是 F。如下圖:

結語

目前為止,應該已經對命題、符號以及蘊含語句有個大概的概念了。不過我們離命題邏輯的完整基礎還有些距離,我估計應該會在二到三篇內講完,請敬啟期待~

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