穩定幣為一種錨定法定貨幣價值的虛擬貨幣，可在這動盪的市場中作為相對可靠的避險資產。
以美元為例，市場常見且流通性足夠的美元穩定幣就超過 3 種，每種的應用場景及背後的風險皆不相同，因而市場上產生了穩定幣之間互換的需求。
本文將探討 Curve 這個去中心化的穩定幣互換協議。先從 Balancer 出發，根據需求修改模型，一步步推導出 Curve 所使用的公式。再根據該模型的特性分析其優缺點及相關延伸應用。
穩定幣穩定嗎？
理想上，美元穩定幣的價值應恆等於 1 USD，但實際上卻常有著不小的波動，其中一個原因為每種穩定幣的發行機制不同，而對應了不一樣的風險。
發行機制可簡單分為下列三種：
- 法幣資產抵押型：
以實際美元做為抵押而發行，會有儲備金不足造成的擠兌風險。
最具代表性的為 Tether 發行的 USDT 及 Coinbase 與 Circle 發行的 USDC。 - 加密資產抵押型：
以加密資產作為抵押而發行，其穩定性會受該抵押品的價值而影響。
最具代表性的為 MakerDAO 抵押 ETH 發行的 DAI，及 Synthetix 抵押 SNX 發行的 sUSD。 - 合成資產型：
以各種穩定幣合成鑄造，只要其中一個幣種出問題就會連帶影響全部。
例如 mUSD 是由五種常見穩定幣合成而成的（理想上）。
此外，穩定幣也如同其他幣種一般，會因市場供需而產生不一樣的價格。如流動性挖礦熱潮中，不少農場以 DAI 做為農具，就使得 DAI 的價格迅速攀升。
由上圖可見，穩定幣其實不太穩定。
特別是在 312 慘案時，為避免 MakerDAO 中的抵押物 ETH 被清算而導致 DAI 的需求量突然大增使幣價大漲，當時在一些交易所甚至出現超過 10% 的溢價。
總合以上所述，價差源自於需求及風險的不同，價格則是在交易中產生，所以市場上需要一個能交換各種的環境。
如何交換穩定幣？
在 Balancer 建立資金池？
要想建立一個能交換多種穩定幣的環境，一個簡單的方式就是直接在 Balancer 中建立一個資金池，其中包含了各種穩定幣，且讓每個幣種有著相同的權重。
池內各資產數量會遵守以下方程式：
此模型稱作恆定乘積做市商 (Constant Product Market Maker)。
若對 Balancer 做市機制不熟悉的話可參考下文說明，此處僅簡單帶過重點：
《淺談自動做市商 (AMMs) 機制：從 Uniswap 理解 Balancer》
由於一次的互換僅與兩個變數有關，其他變數可暫時當作常數。
為方便說明，假設 x 為池內 USDC 總量，y 為 池內 DAI 總量，將方程式作圖如下：
圖中 A 點位置為池內兩個幣種存量相等時，此時互換的比率為 1 : 1，對於穩定幣來說是最理想的價格。
但由於 Balancer 曲線的特性，一旦有人交易使藍點移動後，價格就會明顯改變。
舉例來說，若有人賣出大量 USDC ，使池內 USDC 數量增加 30%（A 點移至 B 點），則價格會從 1 DAI/USDC 掉至 0.56 DAI/USDC，這對於穩定幣來說幾乎是不可能被接受的價格。
若希望價格波動能控制在 1 DAI/USDC ±2% 內，則一次交易的量必須小於池內資金量的 1%。這代表資金使用率極低，交易量非常小，所以手續費收入非常少，如此一來無法吸引人投入更多流動性，流動性低造成價格更不穩定，如此反覆產生了負面循環。
由以上分析可知，Balancer 並不適合作為穩定幣的交易所，此模型函數曲率過大，價格變化太快，因此我們需要更平滑的曲線。
以下將介紹另一種極端的狀況：幣幣等值。
幣幣等值：以 mStable 為例
在 mStable 這個協議中， 所有穩定幣都是等價的，可以任意以 1 : 1 做交換，永遠不會滑價，以數學來表示即為：
此模型稱作恆定總量做市商 (Constant Sum Market Maker)。
mStable 中有五種穩定幣，分別為：USDT、USDC、DAI、sUSD 及 TUSD。
由於一次穩定幣的交換僅與兩個幣種有關聯，因此也可暫時將其他變數視為常數，函數圖形如下：
由於價格不會因供需而改變，因此當外部市場的穩定幣間出現價差時，就會有人前來套利，直到其中一邊的資金池枯竭為止，會使這些幣種在池內失去流動性。
由上圖可知，本該由五種穩定幣組合而成的 mUSD，現在只剩下 USDC 及 TUSD 還有存量，其他幣種皆被洗劫一空。
備註：
此處僅以 mStable 的數據來舉例 Constant Sum Market Maker 會遇到的問題，並非在表達 mStable 是個全然失敗的協議。其實 mStable 還有提出自己的應用場景及相關解決方案，如治理代幣 Meta (MTA) 在穩定幣脫鉤時能起到保護資產的功能，至於實際效果如何……。
Curve 並非是為了改進 mStable 而出現的（實際上是先有 Curve，才有 mStable）。
Curve 模型設計
Curve 以一些數學技巧，結合了上述兩種模型的優點，以下將一步步推導，說明方程式怎麼來的。
藍線曲率太大，價格變化過快；綠線則太直，價格毫無彈性。
較理想的穩定幣交換模型是建構出介於兩者之間的函數。
P 點為兩曲線之交點，此時 USDC 與 DAI 的存量皆為 D/2。
將 P 點帶入方程式即可求出兩式之常數 k
想要建構出介於兩者之間的函數，最簡單的方式就是對兩式做加權平均。
但由於二式的因次 (Dimension，或稱單位) 不同，所以相加時除了分別設權重為 β 及 α 之外，還要在下式多乘上 D，使兩式的因次皆為 [數量×數量] 。
調整 α 及 β 的大小即可決定新函數的特性要偏向 Constant Product 還是 Constant Sum，但實際上真正決定新函數特性的是 α 及 β 的比例，因此我們可以將上式左右同除 β ，並將 α/β 設成 χ。
接著簡單分析一下權重大小對此函數的影響
當 α = 0 或者 α << β 時，χ ＝ 0，方程式退化回 Constant Product；
當 β = 0 或者 α >> β 時，χ ＝ ∞，方程式退化回 Constant Sum。
到目前這步，我們已經設計出一條曲線，能在價格為 1 : 1 的位置附近穩定價格，有效降低價格的波動，且能透過參數的調整決定價格變化的幅度。
但此模型目前仍有個缺陷。若我們希望價格越穩定，則曲線會越接近直線，此時就會面臨和 mStable 一樣的問題：一但出現較大的價差時，池內其中部分幣種可能會被掏空，出現只能賣無法買的局面，使池內流動性劇減。
這種情況不會發生在 Uniswap 或 Balancer 上，在 Constant Product 模型中無論幣價如何波動，池內永遠都會有幣能交易。
為達成類似效果，我們希望當池內資產存量偏離平衡點時，曲線能恢復成 Contant Product 的性質——也就是離平衡點越遠時，χ 要越小。
引入動態參數 (Dynamic Parameter)
為達成上述效果，我們首先觀察下圖：
上方虛線為 Constant Product 函數曲線的 xy 乘積，根據定義，該數值為常數。
而 Constant Sum 函數及其他合成函數則是一條開口向下的曲線，該數值離平衡點越遠會越小。
我們可以根據以上事實，重新定義 χ，使其成為動態的參數：
離平衡點越接近時，藍色項越接近 1，函數調製效果最佳；
離平衡點越遠離時，藍色項越接近 0，函數退化回 Constant Product。
A 則為放大係數 (Amplification Coefficent)，決定此曲線在平衡點附近的曲率——也就是價格的穩定程度：A 越大，越不容易滑價。
將此動態參數帶入後方程式變為：
經整理後：
再將其繪成圖：
由實線及虛線的比較可明顯看出，在加上了動態參數後，偏離平衡點位置的將如同 Uniswap，永遠都會存在一些些的流動性，池內資產不會歸零。
為了方便說明，以上皆以池內僅 2 個幣種做計算，理論上 Curve 池中一次能存入更多幣種，因此我們可直接將上式推廣至任意幣種數量 i：
終於，推導出 Curve 使用的公式了！
那 A 怎麼決定？
如前所述，A 為放大係數，決定曲線了價格在 $1 附近的穩定程度，A 越大越不容易滑價。
那越不容易滑價越好嗎？不盡然。
滑不滑價其實並非重點。
以流動性提供者的角度或協議收入角度來看，最大化手續費收入才是首要目標。
最大化手續費需要最大化交易量，因此決定 A 值時要考量的是池內幣價的波動率。若池內幣種錨定 $1 時常不太穩定的話，則要選擇較低的 A 值，以免一但波動出現，池內就會有幣種近乎被掏空，導致交易量大減。
初始的 A 值由開發團隊以歷史幣價回測，經模擬後決定最佳化的數值。
而服務上線後則可分析實際資金使用率，再經由 DAO 提案以調整 A 值*。
根據 Curve Founder & CEO Michael Egorov 的說法，A 值與幣價的關係為
approximately optimal A ~= 1 / stdev(prices)
為了驗證這個關係是否正確，我做了相關的計算：
首先要知道 Curve 做市模型恆等式上每個點的現價 (Spot Price, Mid Price)
此處假設了三種不同的 A 值，取樣平衡點附近 ±70% 的資料點去計算價格的標準差。
由圖上的資料可看出，計算結果與 Michael 的描述相當一致，因此我們只要觀察 A 值的大小，就能簡單判斷此池容許幣價波動的程度。
*調整 A 值的過程若不當，會創造出巨大風險，讓攻擊者有機會奪取池內資金，詳情可參考此篇文章：”Curve Vulnerability Report”。筆者認為此篇文章相當值得一讀，文中點出了 Curve 一個嚴重的漏洞，該漏洞經過數間專業公司的合約審計都沒被發現。這提醒了所有參與者要特別注意風險的控管，不要看到一審計過了就放心的梭哈。
滑價 (slippage) 分析
滑價探討的是一次交易使價格改變的程度，單筆交易的量體越大對價格的影響越大。
一般而言，池內資產越多則價格越不容易變化。除此之外，Curve 還透過 A 值來調整曲線在 $1 附近的形狀，「放大了」$1 附近的交易深度。
成交價格 (Trading Price, Effective Price) 的計算方式如下：
以上計算假設交易前池內各資產為平衡狀態（也就是 x_0 = y_0 = D/2），再計算大額交易導致的價格變化。
由圖可見，Uniswap 的模型很不適合做穩定幣交易，Curve 則可透過 A 值的調整有效的放大 $1 附近的交易深度。
如何吸引人增加流動性？
交易深度是交易所的根本，要有足夠的深度才能降低滑價，以提供更好的交易環境。為了吸引資金挹注提供流動性，Curve 提供了以下幾種獎勵作為誘因：
手續費收入
每筆交易都會收取 0.04% 的手續費，其中一半給流動性提供者，另一半為 admin fee 會分給 CRV 的持有者，實際分配分配方式由 DAO 決定。
借貸協議及收益聚合器
Curve 中有許多不同的資金池，有些池 (Compound Pool & USDT Pool) 會將資金放至 Compound 中，如此一來除了能賺取交易手續費之外，還可以收到 Compound 產生的借貸利息。
值得特別注意的是，有些池雖然會將資金放到 Compound 中，但目前這兩個 Compound 池無法領取 COMP，那些挖出來的 COMP 被永久的鎖在合約內（ Curve Dev 已開發完成能領取 COMP 的新合約，目前在審計中）。
除了 Compound 外還可選擇收益聚合器池 (如 Y Pool 或 PAX Pool)，此類池會在動態將資金放至的市場上收益最高的協議。
此類池以 DeFi 樂高的方式堆疊出了額外的收益，伴隨而來的是額外的風險，在 Curve Deposit 的頁面中都會特別說明每個池的潛在風險，使用上須審慎評估。
另外，由於任何資金的進出都需與其他協議互動，因此無論是存/取款或者交易，都需耗費較高的 gas fee，這對於流動性提供者或交易者也都是負面的影響。
CRV 獎勵
目前只要在 Curve 中提供流動性就能持續獲得 CRV 作為獎勵。
而 CRV 為 Curve 的治理代幣，持有者可參與 Curve 的治理及分潤協議收入。
網頁上顯示的 APY 為一個範圍「+16.28% to 40.70% CRV」，實際能領取的數字取決於個人 CRV 的鎖倉量與鎖倉時間。以圖上的例子來說，最低 APY 16.28%，經鎖倉後最高可變為 2.5 倍的 40.70% 。
為什麼要有這麼多種池？
Curve 的數學模式允許池內存在任意數量的幣種，那為什麼不把所有的幣都放到同個池子內，集中手續費收入呢？
因為這樣非常危險，設想以下情況真實發生：
要是因為任何可能原因使 USDT 與 USD 嚴重脫鉤，迅速貶值，那 Curve 池會發生什麼事？
由於 Curve 的 AMM 機制是強制讓價格穩定於 1 美元附近，會無視外部市場對 USDT 的定價，所以當 USDT 歸零時大家就會跑來 Curve 交易，把 USDT 換成其他仍具價值的穩定幣。這會使池內其他穩定幣近乎被掏空，只剩下大量的 USDT。如此一來，流動性提供者僅能換回大量且沒價值的 USDT，將承受極大的損失。
由上說明可知，池內一次存在太多種幣種是非常危險的，只要其中一個穩定幣崩盤，就會連帶影響池內其他幣種。簡單來說就是，一顆老鼠屎會壞了整個池。
此外還有個問題。以 Curve 目前的設計來說，流動池一但開啟，就無法增加/減少池內幣種，若想要上架一個新的穩定幣，則必須建立新合約，開啟新的資金池。
但開太多池會使 DAI、USDC、USDT 等常見穩定幣太過於分散，可能會使每個池的流動性都不佳，為解決這些問題， Curve 提出了 Base/MetaPools 這概念。
BasePools & MetaPools
先以示意圖來說明：
MetaPool 是一種依附於 Base Pool 的池，可與 Base Pool 共享部分流動性，且有效分割風險。這樣能在不直接稀釋主流穩定幣的情況下，替其他小幣創造交易深度。
目前 Curve 唯一的 Base Pool 為 3pool，由共識最強的三種穩定幣 DAI、USDC 及 USDT 所組成。
以下以數字說明該池如何運作：
假設現在 3pool 內共有 100 DAI + 100 USDC + 100 USDT，且共發行了 300 個 3CRV（此為 3pool 的 LP token）。
且我將手中的 30 個 3CRV （佔總體 10%）存入 HUSD Pool 這個 MetaPool 中，換取 husd3CRV (HUSD Pool 的 LP token)。
此時 HUSD Pool 內除了有 HUSD 之外，還會與 3pool 共享這 10% 的流動性（包含 30 DAI + 30 USDC + 30 USDT）。
對於 MetaPool 的流動性提供者來說，這種做法的優缺點如下：
優點：更高的收益
- 可以同時賺取 Base & MetaPools 雙邊的交易手續費。
(但無法同時賺取兩邊的 CRV， 因為要產生 CRV 獎勵必須將 LP token 質押至 Gauge。)
缺點：更大的風險
若是 HUSD 不幸崩盤，則 HUSD pool 中的 DAI、USDC 及 USDT 將被洗劫一空，僅剩 HUSD 在池內，如此一來 3pool 就會失去這 10% 的流動性。
但這並不會影響到另外 270 個 3CRV 的持有者，他們仍然握有另外 90% 的資金。
簡單來說就是 3CRV 的持有者可以自由選擇是否要曝險於其他的穩定幣上，以換取更高的收益，這種做法能讓較新或較小的穩定幣更容易地獲得流動性。
每個池的價格及深度都不同，要如何交易？
作為一個交易者，最重要的是成交於最好的價格。
在 Curve 中你僅需要簡單的選取自己要交易的幣種，並輸入自己想交易的數量即可。網頁前端會自動幫你在所有池中比價，並計算出最划算的交易方式，此做法與 Balancer 類似，當交易量較大時能同時在數個池做交換（見下圖）。
會有無常損失嗎？
而作為一個流動性提供者，最在乎的可能會是 Impermanent Loss，若該損失大於手續費收入及挖礦獎勵則會產生虧損。
對 Impermanent Loss 的概念不熟悉的話可參考下文說明：
《淺談無常損失 (Impermanent Loss) 及其避險方式》
Curve 只是個變形的 Uniswap，所以當幣價變化時，流動性提供者當然也需承受 Impermanent Loss，且與 Uniswap 相比，Curve 的 Impermanent Loss 很大，也很小。
很大是因為：
由於 A 值的放大效果，一但價格偏離 $1 時，幣價就會急速上升/下降，且兩幣種數量會急劇的變更不平衡。
很小是因為：
正常情況下穩定幣不會在 -100% ~ +300% 之間波動，±5% 會是較為合理的波動範圍，因此我們改以此區間重繪上圖：
由圖可看出，在 A=1000 時，僅管幣價 ±5% 波動，Impermanent Loss 仍不會超過 -2.5%，該損失以目前的總體收益來說，回本賺錢絕對不是夢。
注意，此處分析僅為粗估，供數字數量級做參考。以上計算要成立有兩個假設：
1. 池內僅有 2 種穩定幣。
2. 增加流動性時池內資產在平衡狀態，且等比例加入。
由於 Curve 的數學模型相對複雜，實際狀況會比上述計算複雜得多，因此較難計算出每個情況下精確的數值，此處僅提供一個概念作參考。
所以到底要注意什麼啦
實際在增加/移除流動性時確實也不需考量到上述數學，只要你相信穩定幣會在 $1 附近震盪，不會永遠折價或溢價，那僅需記得一個原則就夠了：
讓池內各個幣種數量越平衡越好。
若存入池內佔比較少的幣種，能立即獲得額外 bonus；若存入池內佔比較高的幣種，則會因滑價而導致些許虧損。
實際數字會顯示於存/取款介面下方：
以圖上例子來說，因為池內 DAI 存量較少，所以存入 DAI 會有 Bonus 0.732%。
此獎勵並不是額外發放的，產生原因為目前 DAI 在池內價值高於 $1，因此存入 DAI 相當於將手上部分的 DAI 高價賣成更多的 USDC 及 USDT，此即 Bonus 的來源。而存入另外兩種幣相當於在低點出售該幣種，會導致手上穩定幣總量減少。
額外補充：Curve 收益統計
由上圖統計表可看出，只要有人持續在交易，Curve 就能捕獲價值以累積收益。
藍線收益以 real price 做計算，計價單位為 USDC。
會上下震盪是由於池內穩定幣的比例改變導致的價格浮動。
黑線收益則是以 virtual price 做計算，該價格只漲不跌，且不隨幣價波動。
代表的是當池內回到平衡狀態時，每個 LP token 的價值。
以數學是來表達即為：virtual price = D/(amount of LP tokens)。
More than Stablecoins
任何錨定相同標地的幣種都適合在 Curve 上交易
Curve 的應用場景不僅限於穩定幣互換。
例如 renBTC、wBTC 及 sBTC 都是錨定 Bitcoin 價值的 ERC-20 代幣，有些是中心化託管發行，有些則是分散式的跨鏈協議，因發行方式的不同而有不同的風險，進而產生了互換的需求。
理想上這些不同的比特幣們要有相同的價值，只要理想上能以 1:1 互換，就適用 Curve 的數學模型。
結論
單以做市機制設計來說，Curve 是個相當優良的穩定幣互換協議，是一個有效率的穩定幣交換系統，能根據市場現況彈性的調整參數，更加完善了 DeFi 的世界。
後記
做研究寫文章的過程對我而言是相當有趣的，總能從中發現許多巧妙且聰明的機制設計，且還能以分散式、全自動的方式在以太坊上永續運行。
雖有趣但其實也相當不容易，寫文章寫到失眠、眼睛看螢幕看到發炎、私訊騷擾 Curve CEO 問問題、睡到半夜驚醒，起來算 Impermanent loss，連在夢中都還在算數學畫曲線⋯⋯最後總算是完成了這篇 Curve 白皮書的解析（翻譯）。
若文中有任何疏漏或錯誤還請不吝告知，有任何想法也都歡迎找我討論！
文章有幫助的話可以幫我拍個手 👏，也歡迎分享出去讓更多人了解 Curve 的美麗 🥺
References:
- Curve Whitepaper
其實白皮書中有詳細的推導過程，本篇文只是附加更詳細的說明。
