Capital & Trabajo

¿Cómo se llega a la función de Cobb Douglas a través de ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales (ecuaciones que involucran al operador d/dx ó ∂/∂xᵢ) se utilizan para modelar fenómenos del mundo real. Veamos la función de Cobb Douglas.

Y=F(K,L)= AKᵅL¹⁻ᵅ, 0≤ɑ≤1 Con A el avance tecnológico, K el capital y L el trabajo. ɑ es la contribución de K y L a la producción.

Brief history: en la década del ’30 Cobb y Douglas observaron que, históricamente en los Estados Unidos, a medida que el PBI crecía el ingreso de los trabajadores y capitalistas crecían en la misma proporción (la renta se distribuía en 70% para los trabajadores y 30% para los capitalistas, i.e., α = 0,3). Sí, la función también sirve para ver la distribución del ingreso, lo explico al final.

¿Cómo encontrar la función?

Con esos datos empíricos asumieron que:

i) Sin trabajo o capital no puede haber producción.
ii) La productividad marginal del trabajo y del capital son proporcionales a la producción por unidad de mano de obra (P/L) y capital (P/K), respectivamente.

Supongamos que la función de producción es Y=F(K,L). Por ende, PMK = ∂Y/∂K y PML = ∂Y/∂L. El supuesto ii) se traduce como:

A) ∂Y/∂L = ɑ(P/L)
B) ∂Y/∂K = β(P/K),
para algunas constantes ɑ y β (la proporción).

Caso A). Busquemos una función Y que cumpla con la ecuación. Para ello mantengamos como constante el K=K₀ para usar derivadas de una sola variable, i.e., Y=F(K₀,L). Despejemos la ecuación,

dY/dL = ɑP/L
dY(1/Y) = ɑ dL(1/L)
∫dY(1/Y) = ɑ ∫dL (1/L)
ln |Y| = ɑ ln |L|
ln |Y| = ln |Lᵅ|+t
exp(ln |Y|) = exp(ln |Lᵅ|+t)
Y = Lᵅ eᵗ
{sea C₁(K₀) una función que depende de K₀}
Y = LᵅC₁(K₀)

Caso B). Busquemos una función Y que cumpla con la ecuación. Usamos el mismo razonamiento que en A) y llegamos a Y=F(K,L₀) =KᵝC₂(L₀).

Combinadas A) y B): Y = F(K,L) = AKᵝLᵅ, para alguna constante independiente A.

Tenemos que por el supuesto i) ɑ, β > 0. Para algún λ constante, vemos que F(λK,λL) = A(λK)ᵝ(λL)ᵅ=λᵅ⁺ᵝF(K,L) (es una función homogénea entonces tenemos rendimientos de escala). Si ɑ+ β = 1 entonces F(λK,λL) = λF(K,L).

Concluímos que Y= AKᵅL¹⁻ᵅ ☐

¿Por qué la función explica la renta del capital y del trabajo?

En la teoría económica el salario real (es decir, el salario en unidades de producción) está determinado por su productivdad marginal (PML). Lo ocurre con el capital (PMK).

Usando la función de Cobb-Douglas y derivando parcialmente tenemos que,

PMK = ∂Y/∂K ⇒ PMK = ɑY/K
PML = ∂Y/∂L ⇒ PML = (1-ɑ)Y/L

Recordemos que el PIB puede ser calculado como el ingreso de una economía. Podemos ve a Y como Y = PMK *K + PML*L (es decir, la producción es el ingreso del trabajo más el ingreso del capital), sustituyendo tenemos que Y= ɑY + (1-ɑ)Y. ☐

Gráfico tridimensional de la función en GeoGebra.

¿Cómo es la participación del trabajo y el capital en la producción en Argentina?

No encontré muchos datos más que estos de la CEPAL:

Fuente: https://repositorio.cepal.org/bitstream/handle/11362/37435/1/RVE114Amaranteetal_es.pdf
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