到底什么是商群？

当你听到“商群”这个词的时候，你会想到什么？

点进来的估计会是对近世代数刚入门的新手，以下是定义：

定义：G是群，N是G的正规子群。那么G/N={gN : g∈G}是所有N的左陪集构成的集合。称为N在G中的商集。

“什么是商集？”的答案只是“所有陪集的集合”。

准确但没有人情味。

以下是我认为更加符合直觉的答案：

G/N= 所有在G中不属于N的元素。（差不多）

“差不多”的原因是G/N中存在N中的元素，N本身是G/N的单位元。这么想的原因是比较方便。进一步解释一下这个答案。把你本人想象成一个元素，你住在N这个房子（子群）中，意味着你得满足一些特征：

• nZ⊂Z：你住在nZ中， iff（当且仅当）你是个整数，每隔n个数出现一次。
• ker(φ)⊂G：你住在ker(φ)中， iff 通过同态φ:GH你会被传送到H的单位元e上。
• Z(G)⊂G：你住在Z(G)中， iff 你和G中每一个元素都可交换。
• 等等…

所以当你看到“商群G/N中…”或者“N在G上的商群…”，背后的意思其实是“考虑所有G上不符合N的特征的元素”。

但是，无法满足N中的属性的元素也有强弱之分。我们可以想象G中所有元素被叫进一个教室做调查问卷：

1. 你满足N的特征吗？

• 满足
• 不满足

2. 如果你选择“不满足”，你有多不满足？用数字表示

• 1
• 2
• 3

[数学家走进教室，所有G中的元素叽叽喳喳]

哈喽同学们好，好了好了别吵了。麻烦在第一题中选择了“满足”的同学把手举起来，很好。请你们聚成一团，过来这里。对，做得很好。现在你们属于的团体叫“N”，或者叫“平凡陪集”(trivial coset)。但是我不会再关心你们作为单个元素时的性质。你们从此就结伴出行了。行了别抱怨了，闭嘴。

[数学家转过头]

哈喽剩下的同学。请再第二题中选择了“1”的同学过来，聚在这个角落。okok。从此以后我也不再关心你们每个个体，你们对我来说都没有区别，我只关心你们身上的性质。现在你们属于的团体叫“1N”。

[数学家转过头]

哈喽剩下的，我们以此类推吧。选择了“2”的站左边，选择了“3”的站右边。你们叫“2N”，你们叫“3N”。从此你们不要再分开。

[数学家离开教室]

[“真是c了。”G中的元素叽叽喳喳。]

理解不，我们从此就可以按照元素与N有”多不相关”来组织他们。有些元素离N也不远，于是他们是”1N”。有些元素离N非常远，于是他们是”3N”。

我们分析得更深一些。整个调查其实就是自然同态(natural homomorphism)在做的事。 φ : G → G/N 。我们在学数学时可以有一种思考方式：函数就是动词。f(x)=2x是放大，f(x)=(½)x是缩小。

自然同态呢？这是组织。将G中的元素组织成不同的类别，组织的根据是什么？就是N的性质。一旦被切割成不同陪集后，一切元素个体都不重要了。我们知道这个元素属于这个陪集，于是我们只需关注这个陪集的性质。

简单的例子：同余类 Z/5Z

• {…, -9, -4,1, 6, 11, …}不在5Z中，因为他们模5余1，我们叫他们[1]。
• {…, -8, -3,2, 7, 12, …}余2，我们叫他们[2]。
• {…, -7, -2,3, 8, 13, …}是[3]。
• {…, -6, -1,4, 9, 14, …}是[4]。
• {…, -5, 0,5, 10, 15, …}是[0]，唯一符合整除5性质的集合。

通过组织Z中的元素成不同的集合，使得我们只需要关注集合，而不用关心个体数字。