Mengenal Matriks

Bagi beberapa orang, matriks merupakan istilah yang jarang didengar. Dalam artikel kali ini mari kita berkenalan dengan matriks, karena seperti kata pepatah, “tak kenal maka tak sayang”.

Matriks merupakan sekumpulan bilangan yang disusun secara 2 dimensi dalam baris dan kolom sehingga membentuk jajaran persegi atau persegi panjang, serta ditempatkan di dalam tanda kurung biasa “( )” atau tanda kurung siku “[ ]”. Sekumpulan bilangan yang merupakan isi dari matriks disebut sebagai elemen. Umumnya sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan elemen dalam matriks dinyatakan dengan huruf kecil dan memiliki indeks, yaitu i untuk menyatakan posisi baris dan j untuk menyatakan posisi kolom. Baris merupakan susunan bilangan-bilangan yang mendatar (horizontal). Kolom merupakan susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal).

Terdapat operasi dasar yang dapat dilakukan pada matriks yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product), perkalian hadamard, dan matriks negatif.

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan pada matriks dapat dilakukan jika terdapat dua matriks yang berordo sama, yang berarti jumlah kolom dan baris pada matriks-matriks yang akan dijumlahkan adalah sama, sehingga elemen-elemen pada posisi yang sama di masing-masing matriks bisa dijumlahkan. Pada penjumlahan matriks, berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Sifat komutatif: sifat yang memenuhi A + B = B + A.
2. Sifat asosiatif: sifat yang memenuhi A + (B + C) = (A + B) + C.
3. Matriks nol: sifat yang memenuhi A + 0 = A.

Penjumlahan matriks

Pengurangan Matriks

Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan pada matriks juga hanya bisa dilakukan pada dua matriks dengan ordo yang sama. Namun sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan tidak berlaku pada operasi pengurangan, kecuali sifat matriks nol, yaitu A + 0 = A.

Pengurangan Matriks

Perkalian matriks dengan skalar

Pada operasi perkalian ini, seluruh elemen pada sebuah matriks akan dikalikan dengan sebuah bilangan skalar yang merupakan sebuah konstanta, sehingga menghasilkan suatu matriks baru.

Perkalian matriks dengan skalar

Perkalian titik (dot) vektor

Pada operasi perkalian dot, perkalian antara 2 vektor akan menghasilkan product berupa skalar. Perkalian ini dapat dilakukan dengan mengalikan bilangan vektor satuan yang sejenis dari kedua vektor. Perkalian antara dua vektor satuan yang sejenis, misalnya vektor satuan i dengan vektor satuan i, hasilnya akan sama dengan 1. Sebaliknya, jika perkalian dilakukan pada dua vektor satuan yang berbeda jenis, misalnya mengalikan verktor satuan i dengan vektor satuan j, maka hasilnya akan sama dengan 0.

Perkalian dot dua vektor

Perkalian silang (cross) vektor

Pada operasi perkalian silang, perkalian antara 2 vektor akan menghasilkan product berupa vektor. Perkalian silang antara 2 vektor akan menghasilkan vektor baru yang saling tegak lurus dengan vektor yang dioperasikan.

Perkalian silang dua vektor

Matriks negatif

Matriks negatif merupakan sebuah matriks dengan elemen bernilai negatif. Matriks ini dapat diperoleh dengan mengalikan seluruh elemen pada sebuah matriks dengan nilai -1. Alhasil, matriks baru yang merupakan hasil dari perkalian tersebut memiliki elemen yang berlawanan dengan matriks sebelumnya.

Matriks negatif

Perkalian hadamard (element wise matrix multiplication)

Operasi perkalian hadamard disebut juga dengan “element wise matrix multiplication”. Operasi ini dapat dilakukan jika matriks yang akan dikalikan berordo sama, yang berarti jumlah kolom dan baris pada masing-masing matriks sama. Operasi ini dilakukan dengan mengalikan elemen-elemen pada posisi yang sama di masing-masing matriks.

Perkalian Hadamard

Determinan matriks

Determinan matriks merupakan nilai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan elemen-elemen pada diagonal sekunder. Suatu matriks dapat memiliki determinan jiks matriks tersebut memiliki jumlah baris dan kolom yang sama (matriks persegi).

Untuk matriks A dengan ordo 2x2, determinan dapat diperoleh dengan cara berikut.

Determinan matriks ordo 2x2

Untuk matriks A dengan ordo 3x3, determinan dapat diperoleh dengan cara berikut.

Determinan matriks ordo 3x3

Invers matriks

Matriks invers merupakan matriks yang berkebalikan dari matrik asalnya. Jika suatu matriks dikalikan dengan invers matriksnya, maka akan dihasilkan matriks identitas. Suatu matriks dapat memiliki invers jika memenuhi beberapa syarat, yaitu matriks merupakan matriks persegi, dan determinan dari matriks tersebut tidak bernilai nol.

Rumus invers matriks

Invers matriks seringkali digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier (SPL)

Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan matriks

Sistem persamaan linier dua variabel dengan invers matriks

Berikut adalah langkah-langkah untuk melakukan penyelesaian pada sistem persamaan linier dua variabel dengan invers matriks.

1. Ubah persamaan menjadi bentuk matriks.
2. Ubah matriks menjadi bentuk invers matriks X = A^(-1)B.
3. Selesaikan persamaan matriks tersebut.

Agar lebih terbayang, mari kita gunakan contoh. Misal ada persamaan linier dua variabel 2x + 5y = −2 dan x + 2y = −3. Berikut adalah penyelesaiannya.

Implementasi matriks pada fisika

Setelah mengenal matriks, tentunya kita bertanta-tanya, apa sih kegunaan matriks dalam bidang-bidang tertentu? Bagaimana pengaplikasiannya? Kali ini, kita akan bahas pengaplikasian matriks dalam bidang fisika.

Salah satu contoh pengaplikasian matriks dalam bidang fisika yaitu pada relativitas khusus dan umum Einstein. Dalam relativitas khusus, terdapat transformasi Lorentz. Transformasi Lorentz merupakan transformasi koordinat untuk gerak partikel yang sangat cepat hingga mendekati kecepatan cahaya. Transformasi Loretz ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Berikut adalah matriks untuk peningkatan gaya Lorentz dalam arah X.