A Matemática Peculiar que Poderá Fundamentar as Leis da Natureza (Atualidade)
Novas descobertas estão alimentando uma antiga suspeita de que partículas e forças fundamentais brotam de um estranho número de oito partes chamado “octonions”.
E m 2014, uma estudante de pós-graduação da Universidade de Waterloo, no Canadá, chamada Cohl Furey, alugou um carro e dirigiu seis horas para o sul até a Pennsylvania State University, ansiosa para conversar com um professor de física chamado Murat Günaydin. Furey havia descoberto como se basear em uma descoberta de Günaydin de 40 anos antes — um resultado amplamente esquecido que sustentava uma forte suspeita sobre a física fundamental e sua relação com a matemática pura.
A suspeita, abrigada por muitos físicos e matemáticos ao longo das décadas, mas raramente perseguida ativamente, é que a panóplia peculiar de forças e partículas que compõem a realidade brota logicamente das propriedades dos números de oito dimensões chamados “octonions”.
À medida que os números vão, os números reais familiares — aqueles encontrados na linha numérica, como 1, π e -83.777 — apenas fazem as coisas começarem. Os números reais podem ser emparelhados de uma maneira particular para formar “números complexos”, estudados pela primeira vez na Itália do século XVI, que se comportam como coordenadas em um avião em 2-D. Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir é como traduzir e girar posições ao redor do plano. Números complexos, adequadamente emparelhados, formam quaternions 4-D, descobertos em 1843 pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton, que no local esculpiu a fórmula em Broome Bridge, em Dublin. John Graves, um advogado amigo de Hamilton, mostrou posteriormente que os pares de quatérnions fazem octonions: números que definem coordenadas em um espaço 8-D abstrato.
Lá o jogo pára. Em 1898, surgiu a prova de que os reais, números complexos, quatérnions e octonions são os únicos tipos de números que podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados e divididos. As primeiras três dessas “álgebras de divisão” logo estabeleceriam a base matemática da física do século XX, com números reais aparecendo de forma onipresente, números complexos fornecendo a matemática da mecânica quântica e quaternions subjacentes à teoria da relatividade especial de Albert Einstein. Isso levou muitos pesquisadores a se perguntarem sobre a última e menos compreendida álgebra da divisão. Poderão os octonions guardar segredos do universo?
“Octonions são para a física o que as sereias eram para Ulysses”, disse Pierre Ramond, um físico de partículas e teórico de cordas da Universidade da Flórida, em um e-mail.
Günaydin, o professor da Penn State, foi aluno de pós-graduação em Yale em 1973, quando ele e seu orientador Feza Gürsey encontraram uma ligação surpreendente entre os octonions e a força forte, que une os quarks dentro dos núcleos atômicos. Uma onda inicial de interesse pela descoberta não durou. Todos na época estavam intrigados com o Modelo Padrão da física de partículas — o conjunto de equações que descrevem as partículas elementares conhecidas e suas interações via força forte, fraca e eletromagnética (todas as forças fundamentais, exceto a gravidade). Mas, em vez de buscar respostas matemáticas aos mistérios do Modelo Padrão, a maioria dos físicos depositou suas esperanças em colisões de partículas de alta energia e outros experimentos, esperando que partículas adicionais aparecessem e liderassem o caminho além do Modelo Padrão até uma descrição mais profunda da realidade. Eles “imaginaram que o próximo progresso virá de algumas novas peças sendo jogadas na mesa”, disse Latham Boyle, físico teórico do Perimeter Institute of Theoretical Physics, em Waterloo, Canadá.
Décadas, sem partículas além das do Modelo Padrão foram encontradas. Enquanto isso, a estranha beleza das ocasiões continuou a atrair o ocasional pesquisador independente, incluindo Furey, a estudante de graduação canadense que visitou Günaydin há quatro anos. Parecendo uma viajante interplanetária, com franja prateada entrecortada que se afunila a um ponto entre penetrantes olhos azuis, Furey rabiscou símbolos esotéricos em um quadro negro, tentando explicar a Günaydin que ela havia estendido seu trabalho e de Gürsey construindo um modelo octoniônico de ambas forças: forte e eletromagnética.
“Comunicar os detalhes a ele acabou se revelando um pouco mais desafiador do que eu havia antecipado, enquanto eu lutava para conseguir uma palavra de lado”, lembrou Furey Günaydin continuou estudando os octonions desde os anos 70 por meio de suas profundas conexões com a teoria das cordas, teoria M e teorias relacionadas à supergravidade que tentam unificar a gravidade com as outras forças fundamentais. Mas suas atividades octoniônicas sempre estiveram fora do mainstream. Ele aconselhou Furey a encontrar outro projeto de pesquisa para seu Ph.D, uma vez que as ocasiões poderiam fechar as portas para ela, como ele achava que tinham para ele.
Mas Furey não — não pôde — desistir. Impulsionada por uma profunda intuição de que as observações e outras álgebras de divisão fundamentam as leis da natureza, ela disse a uma colega que, se não encontrasse trabalho na academia, planejava levar o acordeon a Nova Orleans e ocupar as ruas para apoiar seu hábito físico. Em vez disso, Furey conseguiu um pós-doutorado na Universidade de Cambridge, no Reino Unido. Desde então, ela produziu uma série de resultados ligando os octonions ao Modelo Padrão, que os especialistas chamam de intrigante, curioso, elegante e inovador. “Ela deu passos significativos para resolver alguns quebra-cabeças físicos realmente profundos”, disse Shadi Tahvildar-Zadeh, físico matemático da Universidade Rutgers que recentemente visitou Furey em Cambridge depois de assistir a uma série on-line de vídeos de palestras que ela fez sobre o seu trabalho.
Furey ainda tem que construir um modelo octoniônico simples de todas as partículas e forças do Modelo Padrão de uma só vez, e ela não tocou na gravidade. Ela enfatiza que as possibilidades matemáticas são muitas, e os especialistas dizem que é muito cedo para dizer que maneira de amalgamação dos octonions e outras álgebras de divisão (se houver) levarão ao sucesso.
“Ela encontrou alguns elos intrigantes”, disse Michael Duff, teórico pioneiro de cordas e professor do Imperial College London, que estudou o papel de octonions na teoria das cordas. “É certamente valido a pena, na minha opinião. Se será, em última análise, a maneira como o Modelo Padrão é descrito, é difícil dizer. Se fosse, qualificaria todos os superlativos — revolucionários e assim por diante”.
Números peculiares
Conheci Furey em junho, na loja do porteiro, na qual entramos no Trinity Hall, na margem do rio Cam. Pequena, musculosa e vestindo uma camiseta preta sem mangas (que revelava hematomas de artes marciais mistas), jeans enrolados, meias com desenhos aliens animados e sapatos vegetarianos — tênis de marca, em pessoa ela era mais vitoriana do que a figura do outro mundo em seus vídeos de palestras. Nós andamos pelos gramados da faculdade, passando pelas portas medievais dentro e fora do sol quente. Em um dia diferente, eu poderia tê-la visto fazendo física em um tapete de yoga roxo na grama.
Furey, que tem 39 anos, disse que foi atraída pela primeira vez pela física em um momento específico do ensino médio, na Colúmbia Britânica. Sua professora disse à turma que apenas quatro forças fundamentais estão por trás de toda a complexidade do mundo — e, além disso, que os físicos desde a década de 1970 vinham tentando unificar todas elas dentro de uma única estrutura teórica. “Isso foi apenas a coisa mais linda que eu já ouvi”, ela me disse, de olhos de aço. Ela teve um sentimento parecido alguns anos depois, como estudante de graduação na Simon Fraser University em Vancouver, ao aprender sobre as álgebras de quatro divisões. Um desses sistemas numéricos, ou infinitamente muitos, pareceria razoável. “Mas quatro?”, Ela se lembra de pensar. “Que peculiar.”
Após os intervalos da escola passarem uma temporada esquiando, fazendo bartending no exterior e intensamente treinando como um artista de artes marciais mistas, Furey mais tarde encontrou as álgebras da divisão novamente em um curso avançado de geometria e aprendeu o quão peculiar elas se tornaram em quatro tacadas. Quando você dobra as dimensões a cada passo, indo de números reais a números complexos, de quatérnios a octonions, ela explica: “em cada passo você perde uma propriedade.” Números reais podem ser ordenados do menor para o maior, por exemplo no plano complexo não existe tal conceito”. Em seguida, os quaternions perdem a comutatividade; para eles, a × b não é igual a b × a. Isso faz sentido, já que multiplicar números de maior dimensão envolve a rotação e, quando você alterna a ordem das rotações em mais de duas dimensões, você acaba em um lugar diferente. Muito mais bizarramente, os octonions são não-associativas, significando (a × b) × c não é igual a a × (b × c). “Coisas não-associativas são fortemente antipatizadas por matemáticos”, disseJohn Baez, físico matemático da Universidade da Califórnia, Riverside, e um dos principais especialistas em octonions. “Porque, embora seja muito fácil imaginar situações não-comutativas — calçar sapatos, meias é diferente de meias e sapatos — é muito difícil pensar em uma situação não associativa.” Se, em vez de colocar meias e sapatos, você coloca suas meias seus sapatos, tecnicamente você ainda deve ser capaz de colocar seus pés em ambos e obter o mesmo resultado. “Os parênteses parecem artificiais.”
A não-associação aparentemente não física dos octonions enfraqueceu os esforços de muitos físicos para explorá-los, mas Baez explicou que sua matemática peculiar sempre foi seu principal atrativo. A natureza, com suas quatro forças batendo em torno de algumas dúzias de partículas e antipartículas, é peculiar. O modelo padrão é “peculiar e idiossincrático”, disse ele.
No Modelo Padrão, as partículas elementares são manifestações de três “grupos de simetria” — essencialmente, formas de intercambiar subconjuntos das partículas que deixam as equações inalteradas. Esses três grupos de simetria, SU (3), SU (2) e U (1), correspondem às forças forte, fraca e eletromagnética, respectivamente, e “atuam” em seis tipos de quarks, dois tipos de léptons, além de suas antipartículas, com cada tipo de partícula chegando em três cópias, ou “gerações”, que são idênticas, exceto por suas massas. (A quarta força fundamental, a gravidade, é descrita separadamente e de forma incompatível pela teoria da relatividade geral de Einstein, que a define como uma curva na geometria do espaço-tempo.)
Conjuntos de partículas manifestam as simetrias do Modelo Padrão da mesma forma que quatro cantos de um quadrado devem existir para realizar uma simetria de rotações de 90 graus. A questão é: por que esse grupo de simetria — SU (3) × SU (2) × U (1)? E por que essa representação particular de partículas, com a divertida variedade de cargas das partículas observadas, a destreza curiosa e a redundância de três gerações? A atitude convencional em relação a tais questões tem sido tratar o Modelo Padrão como uma peça quebrada de alguma estrutura teórica mais completa. Mas uma tendência competitiva é tentar usar os octonions e “obter a estranheza das leis da lógica de alguma forma”, disse Baez.
Furey começou a perseguir seriamente essa possibilidade na pós-graduação, quando aprendeu que os quaternions capturam a maneira como as partículas traduzem e giram no espaço-tempo 4-D. Ela se perguntou sobre as propriedades internas das partículas, como sua carga. “Percebi que os oito graus de liberdade dos octonions poderiam corresponder a uma geração de partículas: um neutrino, um elétron, três quarks Up e três quarks Down”, disse ela — um pouco de numerologia que havia levantado as sobrancelhas antes. As coincidências proliferaram desde então. “Se este projeto de pesquisa fosse um mistério de assassinato”, ela disse, “eu diria que ainda estamos no processo de coletar pistas”.
A álgebra de Dixon
Para reconstruir a física de partículas, Furey usa o produto da álgebra de quatro divisões, ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 (ℝ para reais, ℂ para complexos, ℍ para quaternions, 𝕆 para octonions) — às vezes chamado de álgebra de Dixon, em homenagem a Geoffrey Dixon, um físico que primeiro adotou essa tática nos anos 70 e 80 antes de não conseguir um emprego no corpo docente e deixar o campo. (Dixon me enviou uma passagem de suas memórias: “O que eu tinha era uma intuição descontrolada de que essas álgebras eram fundamentais para entender a física de partículas, e eu estava disposto a seguir essa intuição de um penhasco, se necessário. Alguns diriam Eu fiz.”)
Enquanto Dixon e outros continuaram misturando as álgebras de divisão com maquinário matemático extra, Furey se restringe; em seu esquema, as álgebras “agem sobre si mesmas”. Combinadas como ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆, os quatro sistemas numéricos formam um espaço abstrato de 64 dimensões. Dentro deste espaço, no modelo de Furey, partículas são “ideais” matemáticos: elementos de um subespaço que, quando multiplicados por outros elementos, ficam nesse subespaço, permitindo que partículas permaneçam partículas enquanto se movem, giram, interagem e transformam. A ideia é que esses ideais matemáticos são as partículas da natureza e manifestam as simetrias de ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆
Como Dixon sabia, a álgebra se divide em duas partes: ℂ⊗ℍ e ℂ⊗𝕆 os produtos de números complexos com quaternions e octonions, respectivamente (números reais são triviais). No modelo de Furey, as simetrias associadas com a forma como as partículas se movem e giram no espaço-tempo, juntas conhecidas como o grupo de Lorentz, surgem do grupo quaterniônico ℂ⊗ℍ parte da álgebra. O grupo de simetria SU (3) × SU (2) × U (1), associado às propriedades internas das partículas e interações mútuas via força forte, fraca e eletromagnética, provém da parte octoniônica, ℂ⊗𝕆.
Günaydin e Gürsey, em seus primeiros trabalhos, já encontraram SU (3) dentro dos octonions. Considere o conjunto básico de octonions, 1, e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 e e7, que são distâncias unitárias em oito direções ortogonais diferentes: Eles respeitam um grupo de simetrias chamado G2, que Por acaso, é um dos raros “grupos excepcionais” que não podem ser classificados matematicamente em outras famílias de grupos de simetria existentes. A conexão íntima dos octonions com todos os grupos excepcionais e outros objetos matemáticos especiais agravou a crença em sua importância, convencendo o eminente medalhista Fields e o matemático ganhador do Prêmio Abel Michael Atiyah, por exemplo, que a teoria final da natureza deve ser octoniônica. “A teoria real a que gostaríamos de chegar”, disse ele em 2010, “deve incluir a gravidade com todas essas teorias de tal forma que a gravidade seja vista como uma consequência dos octonions e dos grupos excepcionais”. “Vai ser difícil porque sabemos que os octonions são difíceis, mas quando você encontrou, deveria ser uma bela teoria, e deveria ser única.”
Manter e7 constante enquanto transforma as outras unidades reduz as suas simetrias para o grupo SU (3). Günaydin e Gürsey usaram este fato para construir um modelo octoniônico da força forte atuando em uma única geração de quarks.
Furey foi mais longe. Em seu artigo publicado mais recente, que apareceu em maio no The European Journal Physical C, ela consolidou vários achados para a construção de todo o grupo simetria Modelo Padrão, SU (3) × SU (2) × U (1), por uma única geração de partículas, com a matemática produzindo a matriz correta de cargas elétricas e outros atributos para um elétron, um neutrino, três quarks Up, três quarks Down e suas antipartículas. A matemática também sugere uma razão pela qual a carga elétrica é quantizada em unidades discretas — essencialmente, porque os números inteiros são.
No entanto, na maneira desse modelo de organizar partículas, não está claro como estender naturalmente o modelo para cobrir as três gerações de partículas que existem na natureza. Mas em outro novo artigo que está circulando entre especialistas e sob revisão por Physical Letters B, Furey usa ℂ⊗𝕆 para construir as duas simetrias ininterruptas do Modelo Padrão, SU (3) e U (1). (Na natureza, SU (2) × U (1) é decomposto em U (1) pelo mecanismo de Higgs, um processo que impregna partículas com massa. Neste caso, as simetrias atuam em todas as três gerações de partículas e também permitem para a existência de partículas chamadas neutrinos estéreis — candidatos à matéria escura que os físicos estão procurando ativamente agora. “O modelo de três gerações tem apenas SU (3) × U (1), então é mais rudimentar,” Furey me disse, caneta posicionada em um quadro branco. “A questão é, existe um caminho óbvio para ir da imagem de uma geração para a imagem de três gerações? Eu acho que existe.”
Esta é a principal questão que ela está agora. Os físicos matemáticos Michel Dubois-Violette, Ivan Todorov e Svetla Drenska também estão tentando modelar as três gerações de partículas usando uma estrutura que incorpora octonions chamada a excepcional álgebra de Jordan. Depois de anos trabalhando sozinha, Furey está começando a colaborar com pesquisadores que adotam abordagens diferentes, mas ela prefere ficar com o produto das álgebras de quatro divisões, ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆, agindo sobre si mesmo. É complicado o suficiente e fornece flexibilidade nas várias maneiras que podem ser cortadas. O objetivo de Furey é encontrar o modelo que, em retrospectiva, parece inevitável e que inclui a massa, o mecanismo de Higgs, a gravidade e o espaço-tempo.
Já existe uma sensação de espaço-tempo na matemática. Ela acha que todas as cadeias multiplicativas de elementos de ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 pode ser gerado por 10 matrizes chamadas “geradores”. Nove dos geradores atuam como dimensões espaciais, e o décimo, que tem o sinal oposto, se comporta como o tempo. A teoria das cordas também prevê 10 dimensões espaço-temporais — e os octonions também estão envolvidos. Se ou como o trabalho de Furey se conecta com a teoria das cordas continua a ser confuso.
O mesmo acontece com o futuro dela. Ela está procurando um trabalho docente agora, mas, na falta disso, há sempre as pistas de esqui ou o acordeons. “Acordeons são as octonions do mundo da música”, disse ela — “tragicamente mal interpretada”. Ela acrescentou: “Mesmo que eu tenha buscado isso, sempre estaria trabalhando nesse projeto”.
A Teoria Final
Furey, em sua maioria, questionou minhas questões mais filosóficas sobre a relação entre física e matemática, como se, no fundo, elas são uma e a mesma coisa. Mas ela é tomada com o mistério de por que a propriedade da divisão é tão fundamental. Ela também tem um palpite, refletindo uma alergia comum ao infinito, que ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 é na verdade uma aproximação que será substituída, na teoria final, por outro sistema matemático relacionado que não envolve o contínuo infinito de números reais.
Isso é apenas intuição falando. Mas com o Modelo Padrão passando em testes de perfeição espantosa e sem novas partículas esclarecedoras se materializando no Grande Colisor de Hádrons na Europa, um novo sentimento está no ar, tanto inquietante quanto excitante, conduzindo a um retorno a quadros brancos e quadros-negros. Há o crescente sentimento de que “talvez ainda não tenhamos terminado o processo de encaixar as peças atuais”, disse Boyle, do Instituto Perimeter. Ele classifica essa possibilidade como “mais promissora do que muitas pessoas percebem”, e disse que “merece mais atenção do que está recebendo atualmente, por isso estou muito feliz que algumas pessoas como Cohl estejam realmente buscando isso”.
Boyle não escreveu sobre o possível relacionamento do Modelo Padrão com os octonions. Mas, como tantos outros, ele admite ouvir sua canção da sereia. “Compartilho a esperança”, disse ele, “e até mesmo a suspeita de que os octonions podem acabar tendo um papel, de alguma forma, na física fundamental, já que são muito bonitos”.