O Que é o Paradoxo de Russell?
John T. Baldwin e Olivier Lessmann, do Departamento de Matemática, Estatística e Ciência da Computação da Universidade de Illinois, em Chicago, oferecem a seguinte explicação.
O paradoxo de Russell é baseado em exemplos como este: considere um grupo de barbeiros que raspam apenas aqueles homens que não se barbeiam. Suponha que haja um barbeiro nessa coleção que não se barbeia; então pela definição da coleção, ele deve se barbear. Mas nenhum barbeiro na coleção pode se barbear. (Se sim, ele seria um homem que faz a barba de homens que se barbeiam.)
A descoberta de Bertrand Russell desse paradoxo em 1901 foi um golpe para um de seus colegas matemáticos. No final de 1800, Gottlob Frege tentou desenvolver uma base para toda a matemática usando a lógica simbólica. Ele estabeleceu uma correspondência entre expressões formais (como x = 2) e propriedades matemáticas (como números pares). No desenvolvimento de Frege, pode-se usar livremente qualquer propriedade para definir outras propriedades.
O paradoxo de Russell, publicado em Principles of Mathematics, em 1903, demonstrou uma limitação fundamental de tal sistema. Em termos modernos, esse tipo de sistema é melhor descrito em termos de conjuntos, usando a chamada notação set-builder. Por exemplo, podemos descrever a coleção de números 4, 5 e 6 dizendo que x é a coleção de números inteiros, representados por n, que são maiores que 3 e menores que 7. Escrevemos essa descrição do conjunto formalmente como x = {n: n é um inteiro e 3 <n <7}. Os objetos no conjunto não precisam ser números. Podemos dizer que y = {x: x é um residente masculino dos Estados Unidos }.
Aparentemente, qualquer descrição de x poderia preencher o espaço após os dois pontos. Mas Russell (e independentemente, Ernst Zermelo) percebeu que x = {a: a não está em a} leva a uma contradição da mesma maneira que a descrição da coleção de barbeiros. É o próprio x no conjunto x ? Qualquer resposta leva a uma contradição.
Quando Russell descobriu esse paradoxo, Frege viu imediatamente que isso tinha um efeito devastador em seu sistema. Mesmo assim, ele foi incapaz de resolvê-lo, e houve muitas tentativas no século passado para evitá-lo.
A resposta do próprio Russell ao quebra-cabeça veio na forma de uma “teoria dos tipos”. O problema no paradoxo, raciocinou ele, é que estamos confundindo uma descrição de conjuntos de números com uma descrição de conjuntos de conjuntos de números. Assim, Russell introduziu uma hierarquia de objetos: números, conjuntos de números, conjuntos de conjuntos de números etc. Esse sistema serviu de veículo para as primeiras formalizações dos fundamentos da matemática; ainda é usado em algumas investigações filosóficas e em ramos da ciência da computação.
A solução de Zermelo para o paradoxo de Russell foi substituir o axioma “para cada fórmula A(x) há um conjunto y = {x: A(x)} “pelo axioma para cada fórmula A(x) e cada conjunto b existe um conjunto y = {x: x está em b e A(x)}.”
O que aconteceu com o esforço de desenvolver uma base lógica para toda a matemática? Os matemáticos agora reconhecem que o campo pode ser formalizado usando a chamada teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. A linguagem formal contém símbolos como e para expressar “é um membro de”, = para igualdade e para denotar o conjunto sem elementos. Assim, pode-se escrever fórmulas tais como o B (x) : se y e x , em seguida, y está vazia. Na notação conjunto-construtor, poderíamos escrever isso como y = {x: x =} ou mais simplesmente como y = {}. O paradoxo de Russell se torna: seja y = {x: x não está em x} , y em y ?
A correspondência de Russell e Frege sobre a descoberta do paradoxo por Russell pode ser encontrada em From Frege to Godel, um livro de referência em lógica matemática, 1879–1931, editado por Jean van Heijenoort, Harvard University Press, 1967.