Desvio padrão de uma população com duas instâncias
Simplificando a fórmula para quando N=2
Nota: Este post faz mais sentido dentro do contexto da discussão sobre Quando Bhaskara encontra a Estatística, onde é apresentado uma utilidade prática muito importante para as derivações abaixo.
Neste momento, o foco é apenas provar algumas relações matemáticas sem focar na motivação disso.
Abaixo temos a fórmula geral do desvio padrão. Por conveniência, começamos calculando o quadrado do desvio, σ², também conhecido como variância.
Um detalhe importante do ponto de vista da estatística é que, no contexto em que estamos trabalhando, podemos considerar que temos acesso à todos os elementos da nossa população X = {x₁, x₂}. Isso nos permite utilizar a fórmula como acima, ao invés de necessitar de outras manipulações estatísticas.
Agora podemos simplificar nossa fórmula para contemplar o caso específico onde N = 2.
Lembramos que a média μ nesse caso é:
Podemos começar isolando o divisor 2 para simplificar a notação:
A partir daqui, podemos seguir dois caminhos distintos, e cada uma nos levará a conclusões igualmente importantes.
Equivalência entre o Desvio padrão e o Desvio Absoluto Médio
Começando com as ideias acima, podemos escolher substituir μ, e seguir fazendo simplificações aritméticas.
Nas manipulações abaixo, destacamos em cada linha a região da equação que foi modificada, e também informamos no lado direito o tipo de mudança que fizemos em relação à linha anterior.
Por fim, chegamos à equivalência:
Por meio dessas manipulações, demonstramos que o Desvio padrão é igual ao Desvio Absoluto Médio quando temos uma população com apenas dois elementos.
Tecnicamente, a raiz quadrada nos permitiria também ter um equivalente negativo desse valor. Normalmente o desvio é medido como um número positivo, então podemos desconsiderar essa solução.
Simplificação do desvio padrão
Outra abordagem que podemos ter é expandir os quadrados antes de tentarmos substituir μ. Por meio dessa estratégia, podemos seguir como abaixo.
Novamente, destacamos em cada linha a região da equação que foi modificada, e também informamos no lado direito o tipo de mudança que fizemos.
Ou seja, podemos considerar que, quando N=2, o desvio padrão pode ser calculado a partir de uma relação entre a média dos elementos e o produto deles:
Esta propriedade foi especialmente útil para conectar a Fórmula de Bhaskara com as técnicas da Estatística Descritiva. Para entender o contexto de aplicação disso, leia o post "Quando Bhaskara encontra a Estatística".
