Bir matematikçinin savaşı: Abraham Wald, hiç atış yapmadan II. Dünya Savaşı’nın kazanılmasına nasıl yardımcı oldu? #SurvivorshipBias
Herkes kurtulanı sever…
Düşman dalgasından sonra dalgayı göğüsleyen ve yenen kaslı bir Russell Crowe’un ayakta durduğu Gladiator gibi filmler izlemeyi seviyoruz.
Bununla birlikte, hayatta kalma ve buna dayanma gerçeğine öylesine odaklanıyoruz ve bilinen her şeyi gözden kaçırıyoruz. Bu, psikologların “hayatta kalma önyargısı” olarak adlandırdığı bir bilişsel önyargıdır.
Basitçe söylemek gerekirse, hayatta kalma önyargısı, gladyatör çukurlarında gerçek anlamda hayatta kalma veya standart bir testten mükemmel bir puan alma ve diğer önemli faktörleri unutarak, insanlara veya bazı seçim süreçlerinden geçen şeylere odaklanma eğilimi gibi.
Hayatta kalma önyargısı, insanların neden 50 yıl önce yapılan arabaların bugün yapılanlardan daha uzun süre dayandıklarına inandığını açıklıyor — bu fikirler ampirik olarak yanlış olsa da zihnimizde örüntü eşleştirmeyi ve nedensellik ile korelasyonu birleştirmeyi kolaylaştırıyor — Hayatta kalma önyargısına düşme eğilimimiz, kararlarımızı bulanıklaştırırken bizi kişisel yaşamımızdaki, ekibimiz veya ürünlerimizdeki bir sorunun asıl nedenini anlamamızdan alıkoyuyor ve uzaklaştırıyor.
Hayatta kalma önyargısını ve bunun kararlarımızı nasıl berbat edebildiğini anlamak, daha keskin ve daha eleştirel düşünceye sahip olmanın anahtarıdır. Bu, daha iyi bir takım kararı verilmesine, daha iyi bir ürün üretilmesine veya bir bilim insanı gibi veri odaklı kararlar vermeye yardımcı olur.
II. Dünya Savaşı’nın Seyrini Değiştiren Matematikçi Abraham Wald’ın müthiş sezgisi “Survivorship Bias” örneğini ve hikâyesine kulak verelim.
Hasar gören İkinci Dünya Savaşı uçakları hakkındaki bu hikâyeyi biliyor olabilirsiniz, çünkü hayatta kalma önyargısının en popüler örneklerinden biridir.
Bu, II. Dünya Savaşı boyunca sadece sayısız hayat kurtarmayıp, aynı zamanda hem askeri ortamda hem de ötesinde operasyonel analizin ayrılmaz bir parçası olarak “hayatta kalma önyargısının” kurulmasına yardımcı olan alçakgönüllü Abraham Wald hikâyesi.
Savaş hikâyelerini anlatırken, cepheye, drama eylemine odaklanma konusunda doğal bir eğilimimiz var. Kahramanların, kötü adamların ve şiddetin çoğu insanın gördüğünün aksine, bizi kendi kahramanlık özlemleriyle ya da dünyadaki kötüleşmeyle ilgili insanın kendi korkularına derinlemesine çekmenin kendine has bir yolu vardır. Ancak kesin olan bir şey var: savaş çabaları hepimizin büyük ekranda görmekten ve kitap okumaktan hoşlandığımız bir tür kahramanlık gerektiriyor, ancak çoğu zaman, zafer, yalnızca beraberinde olan tüm ihtişam ve ihtişamın birleşimini kaldırarak geliyor. Wald ve diğer matematikçiler savaşlarını diğerlerinden farklı bir şekilde loş bir ofis binasında, defter sayfalarında kaplanmış bir masanın etrafında oturmuş, harcanan akademik bir çabayla, sıradan şeylerin, sıra dışı köklerinde aradılar ve savaşın seyrini değiştirdiler. Nasıl mı?
İkinci Dünya Savaşı’nda, İngiliz pilotları, Alman pilotları karşısında çaresizdi. Savaşın en başarılı ve en korkulan pilotları Alman pilotlardı ve bunun acısını en çok çeken de İngiliz pilotları oldu. İngiliz Ordusu pilot yeteneğindeki çaresizliğini, teknolojide ve uçaklarını güçlendirmede aradı. İngiliz Ordusu, üstte geri dönen ve mermi delikleriyle süzgece dönmüş uçaklarından topladığı bilgilerle, mermi deliklerinin yoğunlaştığı yerlere daha fazla zırh koyarak, onları savaşmak için geri gönderdi fakat bu yöntem pek de bir işe yaramadı.
II. Dünya Savaşı sırasında, ülkeler savaşta başarılı olabilmek için pek çok matematiksel ve stratejik problemle başa çıkmak zorunda kaldı. En zorlu görevlerden biri, uçakların düşman ateşi karşısında daha dayanıklı hale getirilmesiydi.
Ordu, uçaklarını korumak için zırha ihtiyaç duyulduğunu biliyordu ama soru “Nereye koymalılar?” Sorusuydu.
Bir grup istatistikçiden, uçakların düşman ateşinden aldıkları hasarı en aza indirgemek için uçağın hangi bölümlerinin zırhlanması gerektiğine dair bir değerlendirme istendi.
İstatistikçiler uçakları korumanın en iyi yolunu bulmak konusunda zorluk çekerken, Macar matematikçi Abraham Wald, başlangıçta diğerlerinin katılmadığı dâhice bir fikre sahipti.
Birçok istatistikçi gibi, o güne kadar karşılaşılmamış teknik sorunların çözümü için II. Dünya Savaşı sırasında oluşturulan büyük çaplı yöneylem araştırma takımlarında bulunan Wald, istatistik yeteneğini, II. Dünya Savaşı’nda düşman ateşiyle kaybedilen bombardıman uçakları sorununa uyguladı.
Programa dâhil olan tüm takım üyeleri ve mühendisler yeni bir görevle uğraşmak zorunda kaldı — bu en yaygın hasar görmüş alanları korumak için yeni yollar aradılar. Geri dönen uçaklardaki hasar üzerine bir çalışma yapılmış ve en fazla hasar alan yerlerin zırhla kaplanması önerilmişti. Bunun üzerine, uçakların en çok hasar aldığı noktaları (kanatlar ve gövde) gösteren bir şema hazırlandı.
Ancak Abraham Wald, plana tamamen katılmıyor ve planlanan şemanın tam aksini yapmaları gerektiğini düşünüyordu. İlk sorunu düşünelim. Bize bazı datalar veriliyor, örneğin sadece dönen uçakların vurulma sayısı gibi. Wald’ın sorduğu soru, veya belki de bakması istenen soru, “Bu verilen datalarla, vuruluş sayısı verildiğinde bir uçağın kurtulma ihtimali hakkında neler söyleyebiliriz?” Bu karışık bir soru değil, fakat karışık bir cevabı var. “Geri dönmeyen uçaklar hakkında tüm bildiğimiz sey….geri dönmedikleri” olduğunu ifade eden Wald Hava Savunma Bakanlığı’nı “hayatta kalma önyargısı “na düşmekten alıkoyuyordu.
Gerçekte, bunun birçok nedeni olabilir, çünkü savaşlarda bazı ölümcül kazaların nedeni mekanik aksamalardı. Elbette Wald bu konuda çok dikkatliydi. Çünkü, teoride de olsa tüm uçakların düşme nedeni yakıtlarının bitmesi olabilirdi. Fakat bu çok düşük bir olasılıktan başkası olamazdı Wald’ın nazarında. Başka bir deyişle, sorunun cevabı düşen uçaklar hakkındaki yetersiz bilgi nedeniyle karmaşıklaşmıştır. Ancak Wald, tüm ilgisini uçakların mermi delikleri olmayan kısımlarına yoğunlaştırdı. Çünkü, Abraham Wald’a göre, ölümcül olan kısım buralardı. Zira, bu kısımlardan hasar alan uçaklar geri dahi dönememişlerdi.
Aslında buradaki problem Abraham Wald’ın bulduğu” Survivorship Bias” olarak bildiğimiz bir tür mantık hatasıydı.
Bu çalışma, o zamanlar yeni ortaya çıkan yöneylem araştırması alanında ufuk açan bir çalışmaya konu olmuş ve çalışmanın kuramsal temellerini de içeren teknik rapor 1980’de erişime açılmıştır. *
Wald’in bu gelen veriler üzerinden nasıl ilerlediğine bir bakalım isterseniz
Wald hangi data ile çalışmak zorundaydı? Bu durum zamanla farklılık gösteriyordu ama en azından bu problem çerçevesinde, göreve gönderilen uçaklar, görevden dönen uçaklar ve geri dönen her uçağın vuruş sayısı Wald’a verilmişti. Wald’i izleyen Mangel ve Samaniego tarafından yapılan örnekte;
Gruptaki N uçak sayısı, S (Survivor-Kurtulan) ve L (Losers-düşen) olmak üzere ikiye ayrılmıştır. Sonrasında bu gruplar tekrar vuruluş sayılarına göre gruplara ayrılmıştır. Bu durumda;
Ni = i kere vurulan toplam uçak sayısını
Si = i kere vurulup kurtulan toplam uçak sayısını
Li = i kere vurulup düşen uçak sayısını
göstermektedir.
Bu durumda
(1) L=∑Li=N−S,
(2) Li+Si=NiLi+Si=Ni,
(3) L0=0L0=0,
denklemleri kullanılabilir çünkü, kaybolan her uçağın vurularak düşürüldüğü kabul edilmektedir.
Let N≥i olsun. Bu durumda,
N=N<i+N≥i
Bu biraz çılgınlık olarak görülebilir. Fakat bizim anlamaya çalıştığımız kayıp uçak sayısını (Li) bulmak veya en azından makul bir şekilde tahmin etmektir. Bu durum ise ilk başta bunun bir matematikçi yerine bir sihirbazın işi olduğu düşünülebilir.
Eğer, Mangel ve Samniego sizden bu problemi kendi başınıza çözmenizi isteseydi, muhtemelen çözümünüz oldukça karışık olacaktı. Fakat Wald’in çözümü ise oldukça basittir. Wald’in en iyi fikirlerinden biri biraz olsun tahmin etme şansımız olan değişkenler tanımlamasıdır. Böylece denklemin kalanı kendiliğinden çözülebilir.
Pi’nin, i kere vurulan (ve i-1 kere vurulmasına rağmen düşmeyen) uçağın düşmesinin şartlı olasılığı olduğunu kabul edelim. Bu durumda, P1 bir kere vurulan uçağın düşme ihtimalini ve Pi ise ≥i kere vurulan fakat i’ninci vuruluşta düşen uçağın oranını gösterecektir.
Bu durumu, Pi = Li / N≥i
olarak da yazabiliriz. Bu denklem ayrıca,
Li = pi⋅(∑j≥iNj)
= pi⋅(N−∑j<iNj)
= pi⋅(N−∑j<iSj−∑j<iLj) şeklinde de yazılabilir.
İşte sihir burada meydan gelmektedir. Si’nin ne olduğunu bilmekteyiz. Bu yüzden Li için olan son denklem Li için çözülebilir. Çünkü, Lo=0 olduğunu biliyoruz. Bu durumda, Pi’yi bulabiliriz.
L0 = 0
L1=p1⋅(N−S0)
L2=p2⋅(N−S0−S1−L1)…
olur.
Bu durumda Pi’yi nasıl bulabiliriz? Bu sorunun kısa cevabı, bulamayız. Fakat Wald bununla ilgili çeşitli tahminlerde bulunmayı başardı. Bunu yaparken kullandığı argüman ise anlamaya çalıştıkça bana daha ustaca yapıldığı izlenimini verdi.
qi=1−pi olsun. Bu durum i kere vurulan uçağın hayatta kalmasının şartlı olasılığıdır. Bu durum Wald’in basit denkleminin (n∑m=1 Smq1q2…qm=1−S0) temel içeriğidir.
Bu ilişkinin açıkça görülmese de nereden geldiğini açıklamaya çalışacağım. Bu denklemi kurmak zor değildir. Ayrıca bu denklemin bizi nereye götüreceği de çok açık değildir. Bu birkaç bilinmeyeni olan tek bir denklemdir. Bu yüzden birçok çözümü olabilir. Wald’in yaklaşımı bu büyük çözüm kümesinde hangi çözümün büyük olasılık olduğunu bulmaktır.
Fakat ilk olarak gelin size bu denklemin bize nasıl Pi’nin yaklaşık değerini verebileceğini göstereyim. İlk olarak Wald ve Mangel-Samaniego’yu takip ederek, gerçek olamayacak kadar basit bir durumu düşünelim. Biz vurulmanın uçağı zayıflattığını kabul ediyoruz veya en azından yaşama şansını artırmadığını düşünüyoruz. Bu yüzden
q1≥q2≥…,’dir.
Fakat kaba bir yaklaşık değer olarak bütün qi’lerin eşit olduğunu kabul edersek,
paydaların
q1q2…qi=qi (üssel) olduğunu kabul edebiliriz.
Bu durum bize vurulmanın bir uçağı zayıflatmadığını kabul etmektedir ki bu durum gerçeklerden çok uzak değildir. Bu kabul edişle Wald’in basit denklemi
s1/ q+s2/q2+⋯+sn/ qn=1−s0 olmaktadır.
Bizim örneğimizde ise,
0.080/q+0.050/q2+0.010/q3++0.005/q4+0.005/q5=0.20
olmaktadır.
Bu durum bize q’nın oldukça basit bir denklemin kökü olduğunu göstermektedir. Bu fonksiyonun grafiği 0.2 seviyesi çizilmiş şekilde aşağıda verilmektedir. Bu durumda q değerinin yaklaşık olarak 0.85 olduğunu bulmaktayız.
Bu noktadan itibaren, Wald’in yazımları bu temel denklemin qi değeri için yaklaşık değerlerini bulma için uygulamalarını anlatmaktadır. Bundan sonra Wald, uçaklardaki en ölümcül vuruşları bulabilmek için benzer teknikler kullanmıştır. Wald ölüleri konuşturabilen büyük bir sihirbaz değildi belki ama şapkadan tavşan çıkartabilen küçük sihirler yapabiliyordu.
Basit bir gözleme dayanarak yüzlerce askerin hayatını kurtaran Abraham Wald gibi, kendinizi hayal kırıklığından kurtarmak ve işinizin başarısız olmasını önlemek için yapmanız gereken tek şey “Survivorship Bias”ın önüne geçmek. Hayatta kalanları geride bırakan herhangi bir olaydan sonra, hayatta kalanlar genellikle yok edilir veya yok olur. Zira başarısızlık görünmez olursa, doğal olarak başarıya odaklanırız. Bu mantıksal hata modern toplumda oldukça gündemde ve hala popülerliğini de korumakta.
Bu tür bir düşüncenin bize unutturduğu şey, iş yapmayan tonlarca benzer iş modelinin olduğu ve hâlihazırda bulunan modelleri düzeltmeye ve iyileştirmeye çalışmak yerine artık piyasada olmamalarının nedenlerin ne olduğunu düşünmemizde yatıyor.
Bu yüzden Wald’ın Donanma’ya sunduğu şeyleri tekrar gözden geçirirsek, hayati derecede hasarlı uçağın eve geri dönmediğini ve sadece kurtulanlara baktıklarını düşünmek gerekir.
Savaşın akışını değiştiren matematiğin gücünü kullanan Wald’ın cevabına ulaşabilmek için bazen “iyi bildiklerimizi” unutmamız gerekir. Visa kart sisteminin kurucusu Dee Ward Hock’un da dediği gibi. “Sorun yeni ve inovatif bir şey öğrenmek değil, asıl sorun eski bildiklerimizi unutabilmek”, eski kavram bagajlarımızdan ve yüklerimizden kurtulabilmek.
“Tarih kazananlar tarafından yazılmıştır”. — Winston Churchill
Zafer söz konusu olduğunda, bu ünlü İngiliz politikacısının haklı olduğunu söyleyebilir misiniz?
Sevgiler,
Fatma ÇINAR
Veri Analisti
Bu çalışma için büyük ölçüde faydalanılan kaynaklar:
1. Morgenstern, Oskar (1951). “Abraham Wald, 1902–1950”. Econometric, 19 (4): 361–367.
2. O’Connor, John J.;Robertson, Edmund F., “Abraham Wald”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
3. Mangel, Marc; Samaniego, Francisco (June 1984) “Abraham Wald’s work on aircraft survivability”, Journal of the American Statistical Association, 79 (386): 259–267.
4. Wald, Abraham. (1943) “A Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors”, Statistical Research Group, Columbia University. CRC 432 — reprint from July 1980. Center for Naval Analyses.
5. Fisher, Ronald (1955) “Statistical methods and scientific induction”, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 17 (1): 69–78.
6. Neyman, Jerzy (1956) “Note on an Article by Sir Ronald Fisher”, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18 (2): 288–294.
7. Robbins, Herbert (1951) “Review: A. Wald, Statistical decision functions”, Bulletin of the American Mathematical Society, 57 (5): 383–384.
8. Wolfowitz, Jacob (1952) “Abraham Wald, 1902–1950”, Annals of Mathematical Statistics, 23 (1): 1–13.
9. “The Publications of Abraham Wald”. Annals of Mathematical Statistics, 23 (1): 29–33. 1952.
10. The Legend of Abraham Wald http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2016-06#wald
11. Abraham Wald’s Work on Aircraft Survivability. A survey of Wald’s work on aircraft damage by Marc Mangel and Francisco Samaniego. Originally appeared in volume 79 of the Journal of the American Statistical Association. https://people.ucsc.edu/~msmangel/Wald.pdf
