[我見過霍金，我真的見過*] 淺談霍金學術成就（一）
*PS: 又如何？XD
(credit: Mitchell Toy)
這月中，近代物理學界偉人之一的霍金（Stephen Hawking）終於在睡夢中與世長辭，享年76歲。各媒體、普羅大眾紛紛一窩蜂跑去悼念這位繼愛因斯坦後最出名，最受大眾認識的宇宙學及理論物理學家。不過除了知道霍金為肌萎縮性脊髓側索硬化症（ALS）或簡稱凍人症患者，早年已飽受這罕見疾病折磨，甚至一開始被診斷只是剩餘兩年壽命，但直到最後他仍然不屈不撓繼續做研究，和這病搏鬥的勵志故事，或者看過但看完後也不懂，他一系列科普著作如《時間簡史》（《A brief history of time》）或電視節目外，你對他的學術成就又有多少認識呢？
小弟不才，希望為大家簡介一下霍金這近代其中一位最偉大理論物理學家的學術成就，以悼念霍金並表揚他對物理學作出的貢獻。有別於其他文章，小弟想先由他一些相對比較少人認識的學術成就談起。
尚在研究階段，未被學術界公認為對但劃時代的理論
歐氏量子重力，宇宙的波函數 (Euclidean quantum gravity, the wavefunction of the universe)
(Credit: Ron Salas)
在霍金學術生涯後期，他開始主力研究一個困擾近世紀理論物理學界的最大問題，就是融合廣義相對論（general relativity ）與量子力學（quantum mechanics）這兩大二十世紀最成功、但描述完全不同尺度的理論，創立一套可以同時描述重力在宇宙、經典物理學宏觀尺度和在微觀量子世界下的完整理論。
有別於其他近代大部分研究量子重力的理論物理學家，專注在弦理論（string theory）、超重力（supergravity）或者近年興起的迴圈量子重力（loop quantum gravity），他研發出一套少被大眾提及，較少理論物理學家追捧的理論 — 歐氏量子重力（Euclidean quantum gravity）並從這方向出發。要講霍金在這方面的成就，首先要簡單介紹一下甚麼是歐氏量子重力。不同於弦理論、超重力或者迴圈量子重力，需要在假設時空同所有基本粒子都是由細小的基本弦組成、有超對稱稱性（supersymmetry）或者假設時空本身並非連續（continuous ）而是離散（discrete ）的前題下研究量子重力，歐氏量子重力是一個比較沒特設前題下研究量子重力的方向。這理論用了理論物理學一個已知並成功，由理論物理學家威克（Gian-Carlo Wick）發明叫威克轉動（Wick rotation）的數學把戲。如下圖般，這方法將時間改寫成虛數，然後在這虛數時間系統中找動態系統的解，再對應回本身在真實時間（real time）的解。這方法本身的根據就是數學理論中的解析延拓（analytic continuation），即那個小弟之前提及過，網上被不少門外漢聲討「不對」，用來得出1+2+3+…=-1/12的數學方法。威克轉動其一成功例子包括將用統計力學（statistical mechanics）與量子力學兩個不同方法，代表著宏觀和微觀世界計算得出的可觀察量連結起來，譬如好像將統計力學中有關溫度的 1/k_B T 轉換成量子力學中的 it/ħ般（想了解多些請參考維基[3]、Quora上的解說[5]或其他教科書）。
這套方法在研究量子重力時有用是因爲在相對論中，屬於偽黎曼流形（pseudo-Riemannian manifold）的時空，一個運算上較麻煩的流形，在威克轉動後會變成黎曼流形（Riemannian manifold），一個相對運算上較容易，物理學與數學家比較熟識的流形。簡單例子就如狹義相對論（special relativity）中的4維閔可夫斯基時空（Minkowski space）在威克轉動後會變成大家都很熟識，中小學已經有教的歐幾里得空間（Euclidean space）般，只是由3維變了4維。歐氏量子重力便是一個廣義相對論經過威克轉動，然後再做量子化（quantisation）得出的量子場學（quantum field theory）重力模型。
這理論由霍金在1978年提出，而他在這方面最著名的研究是與另一位理論物理學家哈圖（James Hartle）循這方向，研究宇宙在接近大爆炸開始時的邊界條件（boundary conditions），提出了另一個被大眾媒體廣泛引述，被寫入個人科普著作《時間簡史》和他不時提起的劃時代理論 — 哈圖-霍金量子態（Hartle-Hawking state）。甚麼？沒聽過？換個名或講法，叫宇宙無邊界條件模型你應該聽過吧？這模型說的是假設如果我們可以如量子力學描述粒子狀態般用一個波函數（wavefunction）去描述宇宙，在歐氏量子重力框架下當你考慮並「加起」宇宙所有可能發生的歷史後#，會發現宇宙在大爆炸發生那刻的奇點（singularity），一個代表著理論失效的東西會被移除，而宇宙在那一刻時空亦沒所謂邊界，即不需要邊界條件（no boundary conditions）。宇宙和時間是沒所謂起點，所以談時間和空間在大爆炸前是怎麼樣是沒意思，因為定義不到。最常見，多人用的比喻就好像霍金所說，在2維地球表面上當你身處北極，問比北極還要北的是甚麼根本沒意思。由於這模型不需要設定最開始在大爆炸時的邊界條件為何，所以霍金在解釋他這模型時說過 “If the universe has no boundaries but is self-contained… then God would not have had any freedom to choose how the universe began.” ，亦在《時間簡史》裡說過「我們不一定需要神去解釋宇宙起源和大爆炸怎來」（the existence of God was not necessary to explain the origin of the universe）。
#這裡「加起」是一個量子場學概念，詳見路徑積分表述（path integral formulation）
雖然這理論與想法幾創新和劃時代，但歐氏量子重力與其他量子重力遇到的問題一樣多，更甚的是這方法對做量子重力場的理論運算，例如要計一粒重子（graviton）$和另一粒重子碰撞散射後的結果等沒甚幫助，甚至比弦論或超重力更差。上述提及這套理論應用在大爆炸奇點那方法亦不知怎樣應用在黑洞奇點上，所以這理論方法比較少量子重力學家研究，霍金提出的模型暫時還留在比較初期，假說比較有爭議的階段，未被學術界公認正確，對不對很難說
$重子即重力場的量子版本
黑洞資訊悖論（black hole information paradox）
另一個小弟想談的是一個較少人提及，但與霍金研究有密切關係的一個黑洞未解之謎。這嚴格說算不上霍金的學術成就，因為除了提出一些可能性和假說外，他其實沒有一套完整理論解答這問題 （雖然他可能知道正確答案，只是未能在生前寫下一套完整理論）。既然如此，這問題仍未有答案，物理學家還在爭論中，霍金生前更未有完整解答，為何小弟會說這是霍金其中一個「學術成就」呢？那是因為這個如此重大，幾肯定會為未來量子重力帶來新研究方向的謎團很大程度是因為霍金有關黑洞的理論才出現。這問題的答案很大機會會顛覆物理學界對量子力學或者黑洞的理解。
如字面般，這問題問的就是「當物件跌進黑洞後，物件本身的訊息去了那裡？」當然要理解這問題，我們首先要了解一下霍金花了很多時間探究，對範疇做出了很大貢獻，有關黑洞的理論。在黑洞研究早期，一般相信黑洞完全是黑暗一片，所有東西跌進黑洞後都逃不了，與事件視界（event horizon）外的世界完全隔絕。其後在1970–1973年間霍金與另外兩位理論物理學家巴甸（James.M Bardeen）和卡達（Brandon Carter）發表黑洞熱力學說（Black hole thermodynamics），四條有關黑洞，類似熱力學說（thermodynamics ）的四條黑洞力學定律（four laws of black hole mechanics）。雖然類似熱力學，現在被定名為黑洞熱力學說，但當時霍金等人認為這只是類比，黑洞仍是漆黑一片，和熱力學無關。不過後來當時還是博士生，在著名相對論學家惠拿（John Wheeler）膝下做研究的著名物理學家貝肯斯坦（Jacob Bekenstein）「斗膽」提出這套定律不是類比，如果這套定律真的對，那根據與量子力學有關的思想實驗推論黑洞應該有熵（entropy），真的與熱力學說有關。這套說法「震怒」了霍金，因為如果真的相關，那便即是說黑洞其實不是漆黑一片，他還有溫度，會發出黑體輻射（blackbody radiation）即是光嗎？這套看法和當時黑洞的理論有很大出入，而且在廣義相對論與麥斯威爾電磁學框架（Einstein-Maxwell equations）下，黑洞有一套由惠拿（John Wheeler）等人提出未經數學證實，但學界普遍相信為對的假說 — 黑洞無毛定理（no-hair theorem）[6,7]。
甚麼？黑洞原來是無毛，「禿頭」的？是喔，黑洞是「禿頭」，一個「光頭佬」來的！當然這只是形象化的比喻，這假說指的是無論黑洞本身一開始由甚麼組成，你放甚麼東西進去，我們最後只是需要用質量、電荷和角動量這三個參數去完全描述一個黑洞。霍金等人提出的黑洞力學定律都乎合並完全支持這套假說，那何來黑洞會有溫度這個與熱力學有關的參數呢？為了推番貝肯斯坦的說法，霍金開始研究量子力學和量子重力，考慮量子場學在黑洞視界這種極端重力環境下的情況。當然大家也知道後來結果是霍金「認輸」，他發現貝肯斯坦的看法才是對的，黑洞真的不是全黑，有溫度而且會發光，這就是霍金在物理學最為人所共知的霍金輻射（Hawking radiation）。（詳細霍金有關黑洞及他其他早期的研究有機會下一篇再談，有興趣可以先重溫小弟之前有提及霍金的文章 https://godfreyleungcosmo.wordpress.com/tag/霍金stephen-hawking/）
好啦，說了這麼久，為何黑洞會有資訊悖論問題呢？那是因為霍金輻射雖然表示黑洞有溫度，會發光，甚至會因為這樣損耗能量而最終蒸發掉，但霍金輻射是一種黑體輻射，即只是與溫度有關。而霍金輻射所對應的溫度亦只是與黑洞視界上的表面重力，即只與黑洞質量有關。所以黑洞無毛定理仍然通用，無論你放甚麼進去，黑洞都只需要用三個參數表達。換句話說即是不論我放進黑洞的是普通物質抑或是反物質也好，只要質量、電荷和角動量一樣，最終得到的黑洞完全無分別，而且最後那黑洞還會蒸發掉變成一堆一模一樣的輻射。那一開始放進黑洞前物質本身有別於質量/電荷/角動量的資訊去了那裡呢？這就是黑洞資訊悖論所提出的問題。這由理論推導出的「結論」完全違反物理學甚至科學界一直堅信的概念 — 資訊守恆定理，一個即便在量子世界一樣通用的定理。詳細有關這悖論的討論可以看以下短片
https://youtu.be/LwcrRjCRraA （英文）
https://youtu.be/yWO-cvGETRQ （有中文字幕）
幾十年來理論物理學界仍然為這悖論爭論中，提出了很多不同假說解答這問題，其中一個近年興起的說法是「防火牆」，黑洞火牆論（black hole firewalls），有興趣了解多些可以看以下短片（英文）
霍金自己亦從一開始相信自己的運算，打賭堅信自己是對，認為資訊真的會消失掉，轉為後來在2004年因為一系列根據ADS/CFT對偶（ADS/CFT correspondence）的發現改口認輸說資訊會被保存，有方法在黑洞裡逃出來。後來甚至因爲黑洞火牆論，在2014年改口說黑洞其實應該叫灰洞（grey holes），事件視界其實並不存在，只有貌似事件視界（apparent event horizon）。有興趣可以看下面短片的討論（英文）
雖然霍金在這問題上沒一套完整答案，但比起他一系列理論，因他留下的這未解之謎可能才是他對物理學界最有意義和最佳的禮物[8]。今次說到這裡，在結尾前分享一下其他理論物理學家對霍金的評價與有關他們和他的一些生活逸事[1,2,4]
最後，祝願霍金安息，如愛因斯坦和他所願，在另一個世界（如果存在）找到一套可以解釋宇宙一切的真理theory of everything，亦希望大家可以如他所願記得和認識他在宇宙學與黑洞範疇的學術成就，而不是只記得他的勵志故事與一系列科普演出。
引伸延讀：
[1] https://amp.theguardian.com/science/2018/mar/14/stephen-hawking-obituary
[2] https://www.preposterousuniverse.com/blog/2018/03/16/stephen-hawkings-scientific-legacy/#more-13150
[3] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation
[5] https://www.quora.com/What-is-imaginary-time-and-how-does-it-work
[6] https://www.quora.com/What-is-the-No-Hair-Theorem
[7] https://en.m.wikipedia.org/wiki/No-hair_theorem
[8] https://www.nytimes.com/2018/03/15/opinion/stephen-hawking-quantum-gravity.html
