[有趣數學系列] 甚麼是e？

7 min readDec 5, 2018

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e 是甚麼？不就是英文字母中的第五個！也是的，不過小弟今日想談的是另一種「文科」 — 數學中的「字母」e，又叫歐拉常數 Euler’s number*

*以「神人」瑞士數學兼物理學家里昂哈特．歐拉(Leonhard Euler)命名的數字和理論其實還有很多，請不要搞混e與另一個「字母」歐拉-馬斯卓朗尼#常數 γ (Euler-Mascheroni constant)

#不是踢波那個馬斯卓蘭奴

e這個「數學字母」大家高中讀數學或許見過 (香港現在DSE 好像只有額外加修課程才有修讀，在必修課程之外，不像以前理科班CE/A-level屬接近必修課程。真的不知還有多少學生會讀…)，但除了知道它是一個不循環、無限長、寫不盡，數值大概為2.7182…的小數外，大家對e這個無理數又有多少認識和了解呢？π 大家就知是圓周率，與計算圓形的圓周、面積等有關，那e呢？為何要無緣無故「發明」一個「字母」去代表這個無理數？以下小弟這個「偽．數學家」會嘗試解答一下這些問題。

歐拉常數的「生平」

在開始談甚麼是e與它的應用前，小弟想先介紹一下歐拉常數的「生平」。歷史上第一次「提到」e這個常數的其實是另一位數學家約翰‧拿皮爾(John Napier)。他在1618年出版關於對數(logarithm) 的數學著作中的附錄裡有一個數表寫了一堆數字與它們自然對數(natural logarithm) 對應的值。為何要用「提到」？因為拿皮爾其實沒有明確地指出e這個數與對數的base是甚麼，而且在那時人們對對數的概念跟現在很不同。雖然後來e在對數相關研究文獻中都有被間中應用與「提及到」，但真正發現e這個數的公認是瑞士數學家雅各布·伯奴利(Jacob Bernoulli)。他在1683年去銀行時無意中因為嘗試計算自己户口有多少錢時發現的 (去銀行那部份是小弟的創作，勿認真）。歐拉常數e是與極限和無限有關，數學上定義為下面公式

後來數學家歐拉做了不少和這個無理常數相關的研究，包括找出並證明這個無理常數的冪級數（power series）是甚麼，用這個無理常數去表達虛數(imaginary number) 等，同時間他為了方便書寫和通訊開始用字母e去代表這個無理常數。由那時開始用e代表這個無理數逐漸成為標準與潮流，亦因為這樣e這個數後來被命名為歐拉常數 (雖然後人好像不大重視與留意歐拉的事蹟、貢獻，還拿他來開玩笑，好像是，見下圖 )

好啦，說回數學，e這個數其實甚為特別，與其他數學「字母」π或黃金比例φ (golden ratio)不同，它本身定義上是與幾何形狀無關。e定義上是和變化率(rate of change)有關，而且它其實起源於一個和日常生活息息相關的經典經濟學問題。

歐拉常數有甚麼用？

相信大家小學、初中應該都學過甚麼是利息，尤其是複利率 (compound interest)。複利率這種計息方法就是指除了本身本金外，本金所衍生出來的利息一樣會計息，「利疊利」就好像滾雪球，電影《食神》發達大計「上市集資，然後分拆公司再上市再集資」般。假設銀行年利率是100% (小弟都想有)，你存入一元本金，那在單利息的情況下一年後你會得到的金錢包括本金就是2元；但在複利率計息下，如果計息期拆做半年，而利率改為50%，咁你最後得到的金錢就會是 (1+0.5)²=2.25。說了這麼久，那究竟e與複利率有甚麼關係呢？聰明的你/妳或許由e的數學定義已經看出來了吧！試想像複利率中的計息期越縮越短，例如由一年減至一個月，一日甚至無限小，但收息年期不變，那你最終得到的利息是多少？無限大？

不對，這問題答案其實就是e。雖然計息期無限小代表你收息次數有無限多次，但同一時間每次計息時的利率都會變得無限小。兩者某程度上會抵消，所以雖然計息期不斷分拆縮短會增加年期完結後最終的利息收入，但增幅是有極限，而這個極限就是e，如下圖般