物理學的真·額外維度

11 min readJul 28, 2019

話說在約十年前，當YouTube剛開始盛行的時候，網上出現了一短片，由Rob Bryanton（一位不知是誰，沒讀過物理的音樂人）上傳，講解高維度空間，教大家如何「visualise」物理學如弦論等所談的10/11維時空。那影片講解得好像「頭頭是道」，在短時間內被網民瘋傳。小弟當年還是碩士的時候，友人（非物理系）也推介過，問過小弟意見。時至今日，該影片還不時流傳在網上討論區，尤其是在討論時間旅行，甚至外星生物（？）的時候。不過事實上這影片中所講的又對不對呢？

PS: 想看那影片的請自行google，小弟不想在這裡分享那垃圾片…

「3+1 =/= 4」，時間是一維，時空是3+1維

(Credits: 足球員維度 by Getty Images. 圖文不符系列）

物理學所講的真·額外維度當然不是這樣子的啦！Rob Bryanton那影片中最大的問題，是他把時間想成如3維空間完全一模一樣的維度。他還把量子力學中的某些概念加進去，胡扯到物質可以通過額外維度，隨意在時間線上穿梭，甚至改變歷史…不懂物理的New Age撚，很喜歡這概念。整天腦洞大開的想像高維度（外星）生物，「他們」看到的世界會因此完全不同，甚至等同「神」般存在…（詳細有關Rob Bryanton那影片有多錯、不物理的討論，可以看[1]）

時間維度=/=空間維度

雖然在物理學中，時間是一個維度，時間+3維空間在相對論統稱做時空，時間與空間可以互相影響，但時間和空間的維度在本質上仍然是有區別的。就如雖然同樣是足球員，同樣叫維度（Vidal），也效力過巴塞，但西班牙那位維度跟智利那位始終是不一樣的。另外物理學亦沒甚麼所謂第四維度、第三維度。因為維度本身是分不到次序的。

想像一個載住3杯水份量+1杯油份量的瓶罐，你有方法分辨出當中第一杯水、第二/三杯水在哪？只有物理特性不一樣的液體，我們才能分辨出來。時間、空間維度就如瓶中的油和水，雖然它們互相影響著，但本質上始終有一定的區別，是不可以互換，完全混為一談的。

詳細的講解可以看以下《minutephysics》的短片（殘體字幕）https://youtu.be/M9sbdrPVfOQ

相對論中的3+1時空

根據相對論，用專門的數學或物理學術詞彙來說，我們身處的3+1維時空，屬勞倫茲流形（Lorentzian manifold）。閔可夫斯基時空（Minkowski spacetime）是勞倫茲流形的特例，是狹義相對論（special relativity）中的勞倫茲協變性時空，即不考慮重力時的真空環境；而更廣義、扭曲變形的勞倫茲流形則為廣義相對論（general relativity）中的時空，是把重力一拼考慮時的情況。時間和3維空間不是絕對、永恆不變，完全獨立於物質之外的舞台背景；相反，它們是相對的，而且還會互相影響。

閔可夫斯基時空

(Credits: Space Time Globe, designed by Henry Reich from《minutephysics》)

跟最簡單，一般人所認識，形容平直空間的歐幾里德幾何（Euclidean geometry）相似，閔可夫斯基時空也是平直的。在這3+1維時空中，兩點/兩件事情的3+1維距離（spacetime interval）是絕對的，「可以用」畢氏定理（Pythagoras’ theorem）計算出來。不同的只是：閔可夫斯基時空比平直的3維立體空間多了1維，是3+1維的，光速c x 時間 t 為第4個坐標，即(x,y,z) -> (ct,x,y,z)；應用畢氏定理時，公式中時間ct那1維，前面的系數要變-1（相對於空間維度），即如下

透過以上的公式，我們可以定義出絕對於任何觀察者的固有長度（proper length）及固有時間/原時（proper time）；亦可以容易地計算出時間膨脹或長度收縮這些效應。詳細的講解可以看以下《minutephysics》的短片（英文）及[2]

https://youtu.be/WFAEHKAR5hU

廣義相對論中的時空

當把重力一拼考慮時，3+1維時空的幾何結構會變得更複雜。根據廣義相對論，重力會將時空扭曲：時空就如彈床般，局部地區的能量會將其扭曲，令時空變成彎曲、非類歐幾里德幾何的結構。除了相對運動會影響測量出的時間、長度外，物件附近的重力場一樣會影響到。經典例子：電影《Interstellar》中，相對於地球上的觀察者，位處黑洞附近的時間會流逝得慢很多。不過如在地球表面上，地球看起來是平直般：除非時空扭曲異常龐大，強到必須考慮量子重力，否則局部範圍的時空，我們一樣可以把它看作是平直的閔可夫斯基時空。

物理學中的真·額外維度理論

雖然我們只看到3維空間，感受到時間，但這不一定代表現實世界的時空必須是3+1維。物理學家有時也會問如「為何世界時空是3+1維呢？為甚麼時間只得1維？」這些問題，並探討現實世界是否存在額外維度的可能性。

(“We may have the dimensions wrong.” Credits: JEFFREY PHILLIP)

最早涉及額外維度的物理理論

物理學歷史上，最早研究額外維度理論的應該是芬蘭理論物理學家、愛因斯坦當年「最大嘅挑戰者（研究重力理論上）」諾特斯特倫（Gunnar Nordström）。他早於1914年便發現當增加一個空間維度時，理論上4+1維的重力理論方程是可以分拆出來，分別同時描述3+1維時空的重力及電磁學*。

*這裡指用麥斯威爾方程（Maxwell equations）描述的電磁學

（圖擷取自：《The Elegant Universe》documentary）

不過最為人所認識，早期研究額外維度理論的必定是卡魯沙（Theodor Kaluza）及克萊因（Oskar Klein）。他們於上世紀20年代，廣義相對論發表後不久，提出了著名卡魯沙-克萊因理論（Kaluza-Klein theory），嘗試將廣義相對論推廣至4+1維。他們發現如果額外的空間維度是有限，而且卷起來形成一個很細小的圓時#，4+1維的愛因斯坦場方程是可以分拆變成3+1維的麥斯威爾方程+愛因斯坦場方程。雖然理論後來被實驗推翻，但這可以說是物理學史上第一個「萬有理論」，並深深影響後來如弦論等的發展。

#比喻就如紙上面的一點/一條線：只用肉眼看的話，它們沒錯是0維/1維；但當放大很多倍再看時，便會發現其實不然

額外維度通常是指空間維度

你或許會問「那時間維度呢？時間有沒有可能多過1維？」答案是沒甚麼可能。因為在絕大多數情況下，增加額外的時間維度，是會很容易地破壞因果關係結構，令理論變得沒任何可預測性可言，帶來會造成前後矛盾的時間旅行（如Rob Bryanton那腦洞大開片，變到前後矛盾、不倫不類般）。所以事實上，絕大部分的額外維度理論，包括弦論（string theory），當中的額外維度都是指空間維度。

詳細有關額外時間維度的討論，可以看以下理論物理學家哥斯（David Gross）在諾貝爾獎官方YouTube頻道的短片和[3]

https://youtu.be/kwI-nIXMa5M

弦論中的額外維度

隨著時間演進，理論物理學出現愈來愈多的額外維度理論研究。當中弦論的興起，更令這方面的研究和討論熱烈起來。跟其他額外維度理論不同，弦論中維度總數必須是某一特定整數，不是可以任意設定的假設來。如果理論要前後一致，物理學家發現超對稱（supersymmetry）版本的超弦理論（superstring theory）其時空必須為9+1維；而非超對稱版本，只得玻色子（bosons）的弦論時空則必須為25+1維。