Como eu consegui 942,9 pontos em Matemática no ENEM

Gustavo Mello
Nov 3 · 24 min read
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65º de 70 países. É essa a posição do Brasil em matemática no último Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA). O resultado apresentado em 2016 e relativo ao ano de 2015 revelou um quadro ainda mais preocupante do que se imaginava: pioramos no índice em relação a 2012, sua aplicação anterior.

Qual a sua estimativa para a porcentagem de alunos que aprendem matemática satisfatoriamente após saírem do terceiro ano do ensino médio em escolas privadas? Se chutou mais de 50%, tá sendo muito otimista. São apenas 39,3%. É como se, da sua turma de 30 alunos, apenas 11 soubessem o básico do que precisavam aprender até aí. Isto para não mencionar os ínfimos 4% quando falamos da rede pública. Se a turma possuir menos que 25 alunos, as chances são de que ninguém saia dela preparado.

E por que você, vestibulando, deveria se preocupar a nível individual com isto? Porque a probabilidade maior é de que faça parte desse grupo. Já se sentiu frustrado estudando matemática como se fosse incapaz de progredir, resolver as questões sozinho? Já olhou para um colega habilidoso e se sentiu como se o que ele fazia fosse mágica incompreensível? Se se identifica com essas situações (ou é o colega mágico), este artigo é para você.

Apesar da queda no número de inscritos na prova do ENEM ano após ano, que já chegou a 8 milhões e hoje está no patamar dos 5, o mercado de educação privada no Brasil é o que mais cresce no país a incríveis taxas de 37,5%. Instituições de Ensino como Colégios e Cursinhos nascem e se fortalecem todos os dias. Isto demonstra o que nós estudantes enxergamos nas notas de corte crescentes e sentimos quanto à competitividade do ENEM: aumenta ano após ano.

É aí que a Matemática se torna um grande ponto de interesse. Priorizada pela TRI como a prova objetiva que mais confere pontos ao vestibulando (saiba o porquê lendo este artigo: Entenda a TRI e aprenda a estimar sua nota), tornou-se um dos principais gargalos do ENEM que por vezes determinará quem é aprovado e quem não é. Some isto ao fato de que para realizar uma boa prova de Ciências da Natureza e suas Tecnologias é necessário dominar seus fundamentos e estará comprovada sua relevância, em especial para aqueles que desejam cursar Medicina ou Engenharia.

Como uma vez disse Einstein:

“Se eu tivesse uma hora para resolver um problema e minha vida dependesse da solução, eu passaria os primeiros 55 minutos determinando a pergunta certa a se fazer… porque assim que eu soubesse a pergunta certa, eu poderia resolver o problema em menos de 5 minutos.”

E a pergunta é: O que tem de errado com a aprendizagem brasileira em matemática?

Se mesmo em ambientes de abundância de recursos, como as escolas particulares, a aprendizagem efetiva é tão precária, o que falta para fazer funcionar?

A resposta é simples, mas não é, e dá para entender em bem menos que 5 minutos (para resolver é que toma um bocadinho a mais): nós não desenvolvemos intuição matemática.

Enquanto estudante do ensino médio, adorava buscar entender o que acontecia por trás de cada conta, cada equação e cada desenho e por vezes me via perdido em algum vídeo aleatório no YouTube sobre a presença de fractais na natureza. Curiosidade e afinidade com teoria me beneficiaram muito nesse sentido e me privilegiaram na formação de uma forte intuição matemática. Conseguia enxergar questões de diferentes ângulos e ver caminhos que os outros não viam, desconfiando e despriorizando fórmulas prontas.

Foi quando comecei a dar monitoria no colégio onde estudava que percebi o quão diferente dos meus colegas era este modo de ver a matemática. Agora, como Mentor de Sistemas na S2S (mas que ainda resolve questões com alunos por puro fascínio), presencio e visualizo com mais clareza como a maioria, com poucas exceções, aborda a matemática: um jogo onde você deve acertar o encaixe das fórmulas para chegar a um resultado pré-estabelecido. “Qual equação eu uso aqui?”, “Essa questão é de trigonometria, não?”, “Eu usei regra de 3 e deu certo” e “Esqueci a fórmula! Não sei fazer!” são frases beeem comuns, não é mesmo?

Estas frases delineam um modo de pensar a matemática que identifico não como pior ou melhor, mas incompleto em si mesmo. Assim é mais chato, cansativo e difícil de aprender porque é quase como os computadores o fazem. Aliás, vamos entender as duas abordagens:

Intuição VS Algoritmo

Intuição operando

A intuição é o resultado do processamento inconsciente de informações que subitamente te trazem um insight, ideia ou conceito.

Algoritmo funcionando

Um algoritmo é uma sequência bem definida de passos que se utiliza para alcançar um resultado desejado. Por exemplo, se eu pedir que você calcule agora 53 x 24 à mão, você provavelmente:

  • Desenhará um número por cima do outro;
  • Desenhará um sinal de multiplicação à esquerda do número de baixo;
  • Desenhará uma linha embaixo do número 24;
  • Multiplicará 4 por 53 e 2 por 53 para depois adicioná-los, acrescentando uma casa decimal (o espaço que se dá na parcela de baixo) ao segundo produto.

porque esse é o algoritmo da multiplicação!

Abordar uma questão com um olhar intuitivo exige que você seja criativo e inteligente usando o que o Daniel Kahneman, autor de Rápido e Devagar: Duas Formas de Pensar, categorizaria como um processo do Sistema 1: rápido, inconsciente e sem esforço (como o seu colega matemágico).

Abordar uma questão com um olhar algorítmico exige que você seja cuidadoso e prático usando um processo do Sistema 2: devagar, deliberado e cansativo.

Usar apenas a intuição te levaria a ter que deduzir de novo tudo o que fosse necessário para resolver a questão e usar apenas algoritmos te levaria a aplicar cegamente fórmulas sem saber como prosseguir (e se sentir uma máquina no meio do caminho).

Mais intuição do que algoritmos

Na minha visão, o ideal é equilibrar 80% de intuição com 20% de algoritmo. Assim você tem o prazer de compreender e desenvolver questões de maneiras criativas e essencialmente humanas tomando atalhos com as fórmulas e manhas que conhece.

Profundo > Superficial

Desenvolver fortes intuições matemáticas é a melhor maneira de se aprofundar nos conteúdos sem exigir os esforços tremendos que normalmente são demandados. No entanto, nas minhas experiências enquanto mentor, deparei-me diversas vezes com alunos que tinham receio de se aprofundar nos assuntos de matemática. A questão é que aprofundar é quase sempre melhor que aprender por cima, especialmente quando ainda se dispõe de bastante tempo (mais de 2 meses já é o suficiente). Chegará um ponto em que o aluno que apenas nada na superfície atingirá um teto de performance (entre 33 e 37 questões) do qual raramente é capaz de sair uma vez que significativa parte dos seus erros se devem a falhas de compreensão e raciocínio dos conceitos trabalhados nas provas.

DESENVOLVENDO INTUIÇÃO

Quando fiz o ENEM em 2015, estava estudando para a prova do ITA. Além da afinidade com a matéria, este é o fator que mais me fez aprofundar na matemática. No entanto, não teria escrito este texto para você se não fossem algumas conversas que tive com Maxwell e Nayane (também mentores da S2S :D). Eles estudaram para o ENEM, passaram no curso dos sonhos e também adotaram a abordagem intuitiva como principal forma de aprender e resolver questões de exatas. Nayane é brilhante e tem suas próprias concepções e formas de usar este método, dentre as quais a visão da matemática como uma linguagem — conceito que emprestarei mais a frente na forma de analogia, e Maxwell, que, sem ensino médio e após 5 anos sem estudar, entrou em Medicina com um ano e meio de cursinho. Ele sempre comenta quantas vezes teve que voltar para conceitos que não entendia (como contas com fração) e quantas vezes parou explicações em vídeo, voltou, reviu, seguiu, anotou para entender passo-a-passo do raciocínio e da lógica implícita a quem resolvia.

Roger Bannister, maratonista olímpico, foi o primeiro homem a correr uma milha em 4 minutos: um marco que era considerado como “além das capacidades físicas do homem”. Acontece que depois que ele quebrou essa barreira, várias outras pessoas alcançaram o mesmo feito.

Citando Albert Einstein mais uma vez:

“Um problema não pode ser resolvido no mesmo nível de consciência que o gerou”

Meu objetivo aqui é te trazer para um novo nível de consciência onde enxergar a matemática como algo intrinsecamente humano através da intuição te fará superar as barreiras que, assim como Roger Bannister, Eu, Nayane e Maxwell superamos.

Matemática é uma Linguagem

Palavras descrevem objetos e conceitos e devem respeitar seus significados

Uma linguagem é um conjunto de regras e símbolos usados para comunicar significados entre pessoas. Comunicar é o ato de tornar comum, fazer com que outra pessoa também conheça. Dizer que a matemática é uma linguagem nada mais é do que elucidar sua verdadeira natureza: a de transmitir a compreensão de padrões entre pessoas.

Exemplo: Teorema de Pitágoras

Tome o Teorema de Pitágoras como exemplo, o que a equação:

a² = b² + c²

realmente comunica?

Ela nos transmite a existência de um padrão em todos os triângulos retângulos: sempre que você elevar o comprimento do maior lado (hipotenusa) ao quadrado isto irá equivaler à soma dos quadrados dos dois lados menores (catetos).

Toda sentença matemática transmite a compreensão de um padrão.

Como é extremamente relevante para nos seres humanos entender padrões para sobreviver e prosperar, criamos uma linguagem universal para comunicá-los: a matemática. Ela tem seus próprios símbolos, estruturas, significados, etc… Como qualquer outra!

Quando você usa um algoritmo, está agindo como a assistente do Google ou a Siri: usando uma resposta pronta que lhe foi ensinada. Não está interagindo com outro ser humano que tem algo a te dizer; isto exigiria um bom entendimento da linguagem, isto é, uma boa intuição.

Lógica

Toda linguagem precisa de um nexo lógico sob o qual se sustentar. A lógica provê alguns fundamentos tais quais a certeza de que as coisas são o que elas são (já imaginou se a palavra “elefante” pudesse significar qualquer coisa? Incluindo “rato”, “gente”, “cachorro”, etc…).

Com a matemática não é diferente. Na verdade, o único princípio definitivo da matemática é o uso da lógica para descrever e comprovar padrões.

Lógica como fonte da intuição matemática

Desta forma, a lógica é o pilar essencial da construção de uma forte intuição matemática.

Tive o privilégio de poder estudar toda a matemática do Ensino Médio através do incomparável Noções de Matemática do Aref Antar Neto, vendido pela editora VestSeller. O primeiro capítulo do livro 1 é uma introdução à lógica. E o primeiro parágrafo é uma reflexão sobre o jeito certo de se estudar.

Também tive o privilégio de herdar de um tio-avô uma coleção com os melhores livros do mundo ocidental. O primeiro deles era um índice para fazer estudos guiados. Aproveitei e fiz um estudo guiado sobre a lógica lendo Platão, Aristóteles, Epíteto, Descartes, Bacon, etc…

Para você que foca em fazer a prova do ENEM, não é preciso ir tão longe. Recomendo que estude bem a parte do conteúdo de filosofia que fala sobre lógica e argumentação (fraca, válida, sólida) em algum livro ou através de uma vídeo-aula, é o melhor ponto de partida.

Em seguida, busque estudar os princípios da lógica formal, isto é, o que é uma sentença, como determinar se ela é verdadeira ou falsa, operadores lógicos (e, ou, se…então…, se e somente se) e estrutura de sentenças matemáticas. De repente, aqueles símbolos estranhos e aparentemente desconexos como “x = y | y = 2k, k e N”, que comunica a ideia de que x é um número par natural, começarão a fazer sentido.

A boa parte de desenvolver intuição é que não toma muito tempo uma vez que o foco não é resolver questões, mas entender conceitos simples que se combinam de forma lógica até parecerem mais complexos. Confie em mim quando digo que, quando você não entende algum conceito matemático, na verdade só falta algo bastante simples que não te ensinaram ou que você deixou passar.

Após estudar lógica, estude bem conjuntos. Se a matemática é uma linguagem, os conjuntos são seus alfabetos. Eles determinam quais letras irá usar.

Perspectiva

Vocabulário

Quando uma pessoa tem bastante vocabulário, ela consegue se expressar melhor e com mais clareza. Também consegue perceber e entender o mundo a sua volta de uma maneira mais complexa, rica e variada.

Vocabulário muito rico em crianças pode até ser sinal de superdotação.

De maneira análoga, quando você desenvolve perspectiva matemática, ampliam-se suas possibilidades e jeitos de comunicar padrões. Você passa a ver um número não apenas como um número, mas como uma ação, uma entidade, uma referência… e por aí vai!

Ampliar perspectiva te torna melhor em reconhecer padrões
Como abrir perspectivas para o concreto

Se você desenvolve sua intuição matemática para ampliar perspectiva nas coisas concretas, você passa a enxergar possibilidades. Quando você se familiariza com possibilidades, estará pronto para avaliar suas probabilidades. Dominando as probabilidades pode trabalhar com a análise de fatos da realidade, sua categorização e modelos de previsão do futuro com a estatística.

No Noções de Matemática Vol. 4, aprendi dois conceitos que mudaram a forma como eu entendia Analise Combinatória e Probabilidade: os diagramas de árvore e o Princípio Fundamental da Contagem.

PFC e Diagramas de Árvore

Os diagramas de árvore são representações das possibilidades de resultados de um certo evento. Imagine o ato de lançar uma moeda para o alto duas vezes. Esta é sua representação em diagrama de árvore:

Diagrama de árvore para dois lançamentos consecutivos de uma moeda

Através desse raciocínio, podemos resolver qualquer problema de contagem, isto é, determinar o número de possíveis resultados de um evento. Imagine, no entanto, o problema de contar quantas placas de carro existem no padrão brasileiro AAA-0000. Não seria prático usar um diagrama de árvore para resolvê-lo (apesar de ser possível). Para isso podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem que basicamente nos diz que o total de resultados é o produto do número de possibilidades de eventos independentes. No caso da moeda, como um lançamento não depende do outro, temos 2 * 2 = 4 possibilidades.

Todos os conceitos (e suas fórmulas) como Permutação, Arranjos, Combinações e suas variações nascem do uso em conjunto de diagramas de árvore e do princípio fundamental da contagem.

As probabilidades nada mais são do que a chance de cada resultado aparecer em decorrência do evento. Por exemplo, no diagrama de lançamento consecutivo da moeda, vemos que em dois casos obtemos coroa como último resultado. São 2 casos dentro de 4, logo a chance de acontecer é de 50%.

Quando você elabora seus conceitos de contagem de possibilidades e estudo de probabilidades para analisar padrões de dados que são do seu interesse, surge a estatística. Confesso que a estudei muito pouco além do básico que vi no colégio, porém voltei a estudá-la com profundidade quando comecei a trabalhar.

Para você que está interessado no ENEM, sugiro que comece a desenvolver sua intuição nessa área entendendo os conceitos de Diagrama de Árvore e do Princípio Fundamental da Contagem para amarrar a eles o seu raciocínio em questões de Análise Combinatória e Probabilidade. Quando for estudar Estatística, certifique-se de entender as definições básicas de tendências centrais e, em especial, o significado real do desvio-padrão. Acredito que só entendi de fato o que era quando estudei Curvas de Distribuição Normal ainda no ensino médio. Recomendo que façam o mesmo através de vídeo-aulas que sejam simples de entender. O canal Matemática Rio me ajudou muito nestes tópicos.

A estatística é aarte de dominar a compreensão da realidade e de seus eventos
Como abrir perspectiva para o abstrato

Se você desenvolve sua intuição matemática para ampliar perspectiva em conceitos abstratos, você passa a ver a mesma coisa por diferentes pontos de vista. Um número não é mais apenas um instrumento de contagem: é também um ponto numa reta, uma ação que a movimenta ou deforma seu comprimento, um produto de outros números, uma fração, uma propriedade de um sólido geométrico, etc, etc…

Ampliando as formas de visualizar conceitos

Na minha opinião, está é a parte da sua intuição matemática mais importante de ser desenvolvida. É a que te possibilitará enxergar contextos de forma mais rica, pensar em abordagens que as pessoas normalmente não pensariam e encontrar os caminhos menos sofridos para responder as questões.

Escolhendo a melhor abordagem para resolver

Quando estudava para o ITA, comprei um livro direcionado para estudantes empenhados em se sair bem nas Olimpíadas de Matemática chamado “Teoria dos Números”. Estudá-lo foi fascinante. Ele me permitiu entender como os números estão relacionados entre si. Você já ouviu falar do Teorema Fundamental dos Números? Ele afirma que todo número é, na verdade, um produto de seus fatores primos. Neste sentido, números primos se tornam os blocos através dos quais se constroem qualquer outro número. As formas como isto pode simplificar a divisão e a multiplicação são infinitas.

Imagine que você queira multiplicar 250 x 88. Trabalhoso, não? Depende. Como aprendi teoria dos números, sei que o 88 pode ser escrito como 4 x 22. Então 250 x 88 pode ser visto (isto é ampliar perspectiva) como 250 x 4 x 22. Como 250 x 4 = 1000, fica bem fácil uma vez que 1000 x 22 é simplesmente 22.000.

Seguindo a Teoria dos Números, aprendi Teoria dos Grupos. Ela te ensina a ver números a partir de grupos (aditivo, multiplicativo) e suas respectivas ações (deslizar uma reta, esticá-la). E para que isto serve?

Imagine que nós estamos tentando entender o significado da sentença:

2 + 3 = 5

Toda compreensão passa pela ligação entre um significado e um conceito, isto é, passa por associar o que te dizem a algo que você conhece. Por isso que na matemática usamos sempre um sinal de igualdade: “Essas duas coisas aqui, quando juntas, ficam iguais a essa outra coisa aqui que você já conhece”. Em outras palavras, você usa uma intuição para compreender aquilo.

No caso da soma, somos ensinados desde crianças a pensar com os dedos. Se eu tenho dois dedos levantados e levanto mais três, acabo com cinco. Massa, significado associado a conceito. É como se tivéssemos um conjunto com 2 elementos e outro com 3 elementos e afirmássemos que um conjunto com 5 elementos pode formar pares 1 a 1 com os elementos dos dois primeiros (imagine encostar as pontas dos 5 dedos de uma mão com 2 e então 3 dedos da outra).

Mas e o que significaria então dizer que:

2 + 1,5 = 3,5

O modelo dos dedos já não funciona mais aqui e nem o do associação de elementos de conjuntos (já que não existe meio elemento em um conjunto). Sua professora pode ter tentado te explicar mostrando que, se você tem duas maçãs e junta com uma maçã e meia, acaba com três maçãs e meia. Ok, até funciona, mas e com esse caso:

2 + √2 = ?

Não é simples compreender o que acontece neste caso (aqui é o limite de compreensão do modelo das maçãs), porém, se você executa operações apenas porque foi ensinado sem entender o que está fazendo, em nada difere de um computador programado para tal que realiza milhares de comandos sem ter consciência alguma do que faz.

Imagine então que o 2 representa uma ação: a de deslizar uma reta do 0 até o ponto 2. De maneira análoga, o √2 representa a ação de deslizar uma reta do 0 até o ponto √2.

Qual é a ação análoga à aplicação dessas duas ações em sequência?

Se eu executar a ação de deslizar uma reta do 0 até o 2 e depois executar a ação equivalente ao número 3 (deslizar a reta 3 unidades para direita), produzo o mesmo efeito do que uma única ação de deslizar a reta para o 5. Esse é um conceito ao qual posso atribuir o significado da sentença 2 + 3 = 5.

Fazendo o mesmo para o caso 2 + √2, dá para ver que o resultado se parece muito com o de deslizar o 0 até o ponto 3,4142135…

Quando se trata de Álgebra Linear, confesso que trabalhava com matrizes, determinantes e sistemas de equações de uma maneira meio que sombria. Tinha intuições primitivas, mas me parecia que tudo aquilo era bruxaria (especialmente determinantes, aí não entendia mesmo). Só depois do ENEM foi que descobri por acaso uma série de vídeos excelentes que explica de maneira visual todos os conceitos essenciais dessa área.

Entenda: ampliar suas perspectivas de conceitos abstratos da matemática (números, operações, sistemas, matrizes, determinantes) é o que te possibilita compreender, por exemplo, como dá para existir números negativos. Quanto mais você abre seu campo de visão, mais fácil será, em todos assuntos, resolver as questões.

Como você pode criar intuições nestes assuntos? É importante entender que o que proponho aqui não é que você estude a fundo a Álgebra Linear, a Teoria dos Grupos ou a Teoria dos Números. São campos muito vastos e, em geral, sem ligação direta com o ENEM. Faça o que todo bom aprendedor faz: domine os primeiros princípios e os use para gerar compreensão.

Você pode começar estudando os fundamentos da Teoria dos Números, tem muitos vídeos legais na internet sobre este assunto. Depois recomendo fortemente que assista a este vídeo do canal 3Blue1Brown que vai te apresentar os principais conceitos da Teoria dos Grupos. Na verdade, assista ao máximo de vídeos desse canal que puder (boa parte tem legenda em português) uma vez que a proposta dele é falar de matemática usando animações com pouca ou nenhuma conta. Para Álgebra Linear, assista a série Essência da Álgebra Linear. Você não pega em um lápis, aprende muito e ainda aproveita a música original que o dono do canal compôs para estes vídeos em específico (só vi vantagem).

Para fechar com chave de ouro as recomendações, indico o O Sentimento de Inventar Matemática. A melhor explicação que já vi de como a matemática evolui como uma linguagem.

Estruturas

Estruturas são formas de se conectar elementos

Você provavelmente já estudou sintaxe. Sintaxe é:

O componente do sistema linguístico que determina as relações formais que interligam os constituintes da sentença, atribuindo-lhe uma estrutura.

Estudar sintaxe é aprender sobre sujeito, predicado, concordância, subordinação, etc, etc…

Em resumo, é aprender o jeito como as palavras se combinam para comunicar ideias.

Desenvolver intuições matemáticas relacionadas a estruturas é, então, como estudar sintaxe. Você aprende como organizar os conceitos em uma sentença, a usar conectivos, a fazer com que suas frases se comuniquem entre si, aprende a elaborar cada vez mais a forma como você se expressa para gerar mais clareza, entendimento, veracidade.

Voltemos a nosso exemplo:

2 + 3 = 5

2 e 3 são como letras, enquanto “+” e “=” são como conectivos. Faria sentido reescrever desta maneira:

2 3 + = 5?

É como reescrever “Eu gosto de nadar” assim: “Eu nadar de gosto”.

Entender estruturas é importante para canalizar o raciocínio através de encadeamentos lógicos de pensamento. Veja a diferença em clareza e efetividade de comunicar um padrão entre os dois exemplos a seguir:

x² + 3 = 7, x² = 7–3/ x=2

— — — — — — — — —

x² + 3 = 7 ⇔

x² = 7–3 = 4 ⇔

x = ± 2

Embora ambos comuniquem a mesma coisa, o segundo tem, além de uma melhor apresentação, um encadeamento lógico preciso. As setas denotam o fluxo do raciocínio:

  • “ x² + 3 = 7 ⇔ x² = 7–3 = 4” mostra que eu posso tanto ir de “ x² + 3 = 7” para “x² = 7–3 = 4” quanto de “x² = 7–3 = 4” para “ x² + 3 = 7”.

Reparem que eu não poderia escrever sem o sinal de ±: “x² = 4 ⇔ x = 2”, uma vez que “x = 2” implica em “x² = 4”, mas “x² = 4” não implica necessariamente em “x = 2” (já que “x = -2” também satisfaz a primeira condição). O jeito certo seria então:

x = 2 ⇒ x² = 4

Com a setinha apontando em uma única direção. O único caminho correto por onde o raciocínio pode fluir logicamente.

Como compreender estruturas concretas
Estruturas concretas

Formar intuições sobre as estruturas da realidade, isto é, concretas é entender como comunicar os padrões do mundo físico. A gente costuma aprender isso em Geometria.

Quando estudei geometria pela primeira vez, não me interessei tanto. Fiquei só no que o professor passou na sala de aula.

A princípio, não entendia nada daquelas fórmulas loucas que pareciam ser completamente arbitrárias, quase como se dissessem “É isso porque é assim e pronto, aceite.”. Aí me encontrei no Volume 5 do Noções de Matemática (que poderia muito bem se chamar Intuições de Matemática) e comecei pela geometria euclidiana. É aquela parte que estudamos os conceitos de pontos, retas e planos, suas intersecções e as relações entre si. Com uma explicação toda baseada em lógica, consegui entender de onde surgiam aqueles conceitos e como eles se encaixavam com a realidade.

A partir daí ficou mais fácil entender as relações geométricas entre figuras planas. Assim que se compreende a geometria plana, a geometria espacial segue quase que como uma consequência.

Dentre todas as formas de desenvolver intuição que aqui apresento, essa é, com certeza, a que mais precisa de prática. Você precisa fazer questões até chegar ao nível em que consegue imaginar sólidos geométricos girarem livremente na sua consciência. E, acredite, eu saí de uma pessoa com zero senso espacial para alguém que pode com relativa facilidade visualizar um cubo sendo cortado por um plano inclinado. Desenhar ajuda bastante. É, eu também não sabia. Aprendi o básico em duas aulas do YouTube e daí já consegui evoluir bastante praticando.

Sugiro que comece entendendo de verdade os conceitos de ponto, reta, plano e suas relações. Daí estude triângulos até secar suas fontes de conhecimento já que eles são os blocos fundamentais de construção de qualquer outra figura plana. Quando passar pela trigonometria, aprenda a entender o círculo trigonométrico para não ter que decorar tabelinha de ângulos. Aprenda como se chega nas fórmulas de área de todos os polígonos partindo de triângulos (até mesmo a área do círculo — tem vídeo no YouTube explicando) e então siga para geometria espacial.

Antes de começar de fato em Geometria Espacial, revise razão e proporção em figuras geométricas. Um dos mais fundamentais aprendizados ao trabalhar com 1, 2 e 3 dimensões simultaneamente é que onde você multiplica uma dimensão linear (como o comprimento de uma aresta) por k, você multiplica uma dimensão plana (como a área de base) por k² e aumenta o volume em k³ vezes. Comece entendendo de verdade o conceito de volume, especialmente do cubo, do paralelepípedo e dos prismas, nesta ordem. Quando se der por satisfeito, aprenda sobre o Princípio de Cavalieri e entenda como chegar no volume da pirâmide, cone, esfera e afins a partir dele.

Lembrem que praticamente metade da prova do ENEM de matemática é geometria então não poupem esforços para entendê-la a fundo.

Como compreender estruturas abstratas

Desenvolver intuição para trabalhar com estruturas abstratas é entender a fundo como equações funcionam, como conjuntos estão relacionados (funções), como podemos representar estas relações através de desenhos (gráficos) e como podemos percorrer o caminho inverso: mexer nos desenhos e entender como isso muda as relações que eles representam (transformação de gráficos).

Todo o livro 1 do Noções de Matemática é direcionado para te proporcionar este tipo de intuição. É indescritível o nível de clareza com o qual ele me fez desenvolver essa vertical (área) do pensamento matemático.

Equações são sentenças que identificam (verbo que vem de idêntico; igual) padrões. Identificar aqui está usado no sentido de descrever.

A sentença:

Tomar água relaxa o corpo

Traz uma relação de causa e consequência. É como se dissesse “O ato de tomar água causa o efeito de relaxar o corpo”.

As funções são formas de capturar estas relações de causalidade (que são padrões) quando elas ocorrem de uma maneira particular. É como se ao dizer:

y = f(x)

Você dissesse que “Relaxar o corpo” (y) é causado por “água” (x).

Mas porque tomar água relaxa o corpo? Ora, porque ingerir, ou tomar, líquidos alivia a sede! Este é o jeito em particular com o qual a água relaxa o corpo. O mecanismo por detrás da causa e efeito.

Então, quando você diz:

y = f(x) = x² -3x +2

É o mesmo que dizer que “Relaxar o corpo” (y) é causado por “água” (x) na medida em que você a “Toma” (x² -3x +2)

Este (x² -3x +2) é o jeito em particular com o qual (x) causa (y)

Todos os “x”s que podem funcionar de uma maneira “f” para causar algum “y” caracterizam o que se convencionou chamar de Domínio de uma função.

Ou seja, todos os líquidos (x) de se “Tomar” (f). Ex: Suco, Energético e Água. Repare que esses elementos constituem um conjunto.

Todos os “y”s que podem ser causados de uma maneira “f” a partir de algum “x” caracterizam o que se convencionou chamar de Imagem de uma função. Imagine o caso em que x é “Energético”, f ainda é a ação de “Tomar”; assim o efeito (y) será agitar o corpo! Não mais relaxar. Ambos “Relaxar o corpo” e “Agitar o corpo” fazem parte da imagem de f.

Gráficos são maneiras visuais de apresentar os padrões de causalidade que as funções identificam.

Se eu descobrisse, por exemplo, que o potencial de agitação do corpo de uma bebida fosse proporcional à concentração de açúcar, poderia representar da seguinte forma:

Representação gráfica da função y = f(x)

Eu fortemente recomendo a qualquer um que esteja lendo este artigo a estudar o Noções de Matemática Vol. 1 uma vez que todo o seu conteúdo é relevante e basilar para o ensino médio. Todas as intuições sobre estruturas abstratas são passadas de maneira muito fácil e mastigadinha.

Quanto a Polinômios, é essencial que conheça os conceitos de fatoração e divisão, mas, no que tdiz respeito à aplicação no ENEM, não vale a pena o esforço. Para aqueles que, ainda assim, quiserem desenvolver uma intuição específica, basta que notem a similaridade com a Teoria dos Números. Acredito também ser importante compreender o Teorema Fundamental da Álgebra, provado por Carl Friedrich Gauss. Quanto a números complexos, assistir a esta playlist é uma das melhores formas de entendê-los.

Geometria Analítica: encontro das estruturas abstratas com as concretas

Quando você une suas intuições geométricas com as de manipulação de gráficos, funções e equações, está pronto para compreender Geometria Analítica.

Simples assim.

Cálculo Infinitesimal

O cálculo é uma ferramenta para ser aplicada no mundo real

Quando você desenvolver todas as verticais (áreas) anteriores da sua intuição matemática, estará pronto para construir as intuições do cálculo infinitesimal (ou só cálculo, como chamamos na faculdade).

O cálculo trabalha com modelos de aproximação da realidade a partir da intuição matemática e leva para o próximo nível sua habilidade de trabalhar com gráficos, funções, estatística, geometria e quase tudo que você já sabe. É como se matemática no ensino médio fosse cavar um buraco com uma colher e, quando você entra na faculdade, eles te dessem uma pá. Você normalmente divide a Física entre AC e DC. Antes e depois de entender cálculo. O mesmo vale para a química, embora em menor escala.

Antes de prosseguir, um aviso: não recomendo que você saia integrando e derivando por aí (muito embora isso não fosse te trazer perda alguma, pelo contrário), mas que construa as intuições necessárias para isso.

Não parece um pouco demais, Gustavo?

Vai por mim, o ganho é muito grande para a quantidade de esforço que você tem. E nem é tanto esforço assim, basta assistir essa incrível série: Essência do Cálculo que traz apenas intuições visuais que exigem um total de 0 contas. Velocidade, Aceleração, Movimento, Trabalho, Energia e centenas de outros conceitos farão muito mais sentido depois que tiver essa intuição bem desenvolvida.

Considerações Finais

Ao longo do artigo, expliquei como a matemática é uma linguagem que comunica padrões. Na base da matemática, está a lógica. O curioso é que a lógica foi pela primeira vez formalizada no livro Organon (do latim: ferramenta) do Aristóteles. A lógica é uma ferramenta cuja função é identificar a realidade de maneira não-contraditória. Em outras palavras, é garantir que pensemos corretamente e claramente, que haja sentido naquilo que falamos e entendemos e que este sentido esteja de acordo com o mundo real.

O que acontece quando você afia uma ferramenta? Ela se torna mais e mais precisa.

Encadeamento lógico na hora de resolver questões

Quando fiz o ENEM, não estudei para Humanas e nem Linguagens. Nada, nada mesmo. À época, minha prioridade era a prova do ITA na qual estas disciplinas quase não são cobradas. No entanto, acertei 36 e 39 questões respectivamente. Por ter uma lógica muito afiada e precisa, conseguia compreender com clareza os conceitos que as questões trabalhavam e isto fazia com que fosse muito mais fácil resolvê-las.

Em suma, dominar matemática é dominar lógica. Dominar lógica é se tornar muito bom na inteligência priorizada e premiada pelo nosso sistema de ensino: a lógico-matemática (dá uma olhada na Teoria das Múltiplas Inteligências de Howard Gardner).

E olha que eu adoro Humanas! Depois do vestibular, tornou-se a área do conhecimento que mais estudo. Ela é muito útil para viver; para fazer provas, nem tanto.

Para que fique claro, não caia naquele mito de que “Matemática é só fazer muita questão” porque não é bem assim que funciona.

Se você pegar uma lista com 200 questões de Combinatória, por exemplo, e resolver todinha, provavelmente vai acertar mais questões parecidas com as que você já fez. Porém, Combinatória é uma área em que dá para ser bem criativo: as questões não tem padrões tão claros. Logo, isto por si só não fará com que seja capaz de acertar mais questões deste assunto da próxima vez.

O que funciona então?

  • Estudar os conceitos básicos e resoluções comentadas
  • Refletir sobre os caminhos que você tomou nas questões que resolveu

Curiosamente, os momentos em que mais aprendia enquanto estudante era quando estava viajando nas questões que já tinha feito para entender a fundo cada abordagem aplicada. É nessas horas que sua intuição se solidifica.

Mente organizando aprendizado

Quem nunca foi deitar e levantou da cama porque finalmente descobriu como resolver aquela questão difícil?

Eu espero que você escolha seguir as recomendações que te passei até aqui não apenas por trazerem mais resultado em menos tempo, mas também por ser desejável e prazeroso ser capaz de exercitar sua curiosidade e aplicar sua criatividade. A matemática é a linguagem natural da mente lógica e nada é tão bom quanto se sentir competente e capaz de compreender o mundo.

A alternativa é se frustar achando que nunca vai sair da estagnação e que você simplesmente não foi feito para matemática. Bem, deixa eu contar um segredo:

A matemática é que foi feita para você!

Com muita consideração, Gustavo Mello

Gustavo Mello

Written by

Mentor de Sistemas e Chefe de Operações na S2S Educação Exponencial

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