Diagram Tiga Dimensi, Diagram Kontur, dan Vektor Gradien

Artikel berikut adalah salah satu alternatif penjelasan dari hubungan diagram tiga dimensi, diagram kontur, dan vektor gradien.

Pembuka

Ada banyak cara dalam memahami sebuah permasalahan. Salah satunya adalah dengan memodelkan permasalahan ke dalam persamaan matematis. Selanjutnya, kita dapat menvisualisasikan persamaan matematis tersebut menjadi sebuah diagram agar mudah dipahami. Sebagai contoh, bagian perencanaan di sebuah perusahaan memodelkan pendapatan (disimbolkan oleh R) dari sebuah lini bisnis berdasarkan berapa ton baja yang diproses (disimbolkan oleh s) dan berapa jam pekerja beraktivitas (disimbolkan oleh h). Pada persamaan tersebut, C adalah sebuah nilai atau konstanta.

Kita dapat menvisualisasikan persamaan matematis tersebut ke dalam plot tiga dimensi. Contoh diagram di bawah menggunakan C=1 agar bentuk 3D dapat terlihat.

Dari gambar tersebut, terlihat bahwa pendapatan perusahaan semakin meningkat ketika jam kerja dan jumlah baja yang diproses bertambah. Pertambahan jam kerja memberikan efek yang lebih curam kepada pendapatan dibandingkan jumlah baja yang diproses. Hal ini membuktikan bahwa visualisasi memudahkan interpretasi dari sebuah permasalahan yang dimodelkan ke dalam persamaan matematis.

Diagram Tiga Dimensi (3D)

Pada alenia sebelumnya, kita telah membuktikan bahwa persamaan matematis lebih mudah diinterpretasikan dengan menvisualisasikannya ke sebuah diagram. Bilamana terdapat tiga variabel bebas, maka kita dapat menggunakan diagram tiga dimensi. Gambar di di bawah adalah suatu contoh diagram 3 dimensi untuk persamaan f(x,y) = xy. Pada persamaan tersebut terdapat dua variabel bebas yaitu x dan y. Gambar terlihat seperti pelana kuda.

Diagram Kontur

Sebuah diagram tiga dimensi dapat ditampilkan sebagai sebuah gambar diam atau animasi yang dapat diputar-putar. Diagram tiga dimensi yang ditampilkan sebagai sebuah gambar statis atau diam, memiliki keterbatasan. Gambar statis hanya mengijinkan kita untuk melihat dari satu sisi saja. Sementara itu, visualisasi pada sisi yang lain bisa jadi tertutup oleh grafik yang telah digambarkan. Diagram kontur menjadi salah satu alternatif untuk menvisualisasikan fungsi dengan dua variabel bebas.

Diagram kontur biasanya menggunakan sudut pandang yang tegak lurus dengan bidang. Artinya kita akan melihat permukaan dari bidang baik dari atas atau bawah. Gambar di bawah adalah contoh diagram kontur dari persamaan f(x,y) = xy.

Kecerahan warna dapat menandakan nilai dari fungsi f(x,y). Pada gambar tersebut, warna yang semakin cerah menandakan permukaan bidang yang semakin tinggi, begitu juga sebaliknya. Garis-garis pada diagram kontur menandakan titik-titik yang memiliki nilai fungsi yang sama. Garis-garis tersebut biasanya hanya digambarkan ketika f(x,y) adalah bilangan bulat. Hal ini dilakukan agar gambar garis tidak terlalu berdekatan, sehingga gambar sulit dipahami. Visual lain diagram kontur yang lebih sederhana dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Vektor Gradien

Salah satu fitur tambahan dari diagram kontur adalah vektor gradien. Bidang dengan permukaan yang tidak rata pasti memiliki kemiringan. Pada model matematis, kemiringan dapat dijelaskan oleh gradien. Gradien adalah nilai yang menunjukkan kemiringan suatu garis lurus. Sebagai contoh gambar di bawah adalah diagram tiga dimensi untuk persamaan f(x,y) = x²+ y². Visualisasi f(x,y) menggunakan warna merah. Pada salah satu permukaan f(x,y) dipilih salah satu titik yang diberi label P. Gambar bidang dengan warna kuning adalah visualisasi dari kemiringan atau gradien dari titik P.

Dengan menggunakan diagram kontur, maka gambar di atas berubah menjadi gambar di bawah ini.

Selanjutnya, kita tambahkan fitur vektor gradien dari diagram kontur. Gambar di bawah adalah diagram kontur dengan tambahan vektor gradien. Kita dapat melihat bahwa diagram kontur tersebut menvisualisasikan vektor gradien pada hampir semua titik pada permukaan f(x,y). Hal ini berbeda dengan diagram 3D. Pada diagram 3D, bila gradien diperlihatkan di seluruh titik maka gambar akan sulit untuk dipahami.

Arah panah menggambarkan vektor gradien. Interpretasi mudah dari panah tersebut adalah arah kemiringan yang menanjak. Gambar di bawah adalah diagram kontur dengan vektor gradien dari f(x,y) = xy. Informasi vektor gradien menunjukkan bahwa kemiringan menanjak menuju titik pusat (x=0, y=0) pada kuadran kiri atas dan kanan bawah. Sedangkan pada kuadran kiri bawah dan kanan atas, kemiringan menanjak menjauhi titik pusat. Cara lain untuk membayangkannya adalah kita mendaki dari bawah ke atas sesuai dengan arah panah vektor gradien.

Penutup

Pemodelan matematis merupakan salah satu cara untuk membantu mempermudah penyelesaian masalah. Kita dapat lebih mudah menginterpretasikan model matematis dengan bantuan visual. Salah satu jenis visual untuk menggambarkan model atau persamaan matematis adalah diagram tiga dimensi. Diagram tiga dimensi mampu menvisualisasikan fungsi dengan dua variabel bebas dengan cantik. Sayangnya, gambar statis diagram tiga dimensi hanya memberikan satu sudut pandang. Keterbatasan ini menghalangi mata manusia untuk menyerap seluruh informasi dari diagram tiga dimensi.

Diagram kontur mensolusikan permsalahan tersebut agar mata manusia dapat melihat permukaan bidang yang menampilkan informasi ketinggian dari satu sudut pandang yang tegak lurus dengan bidang. Selanjutnya, vektor gradien melengkapi diagram kontur untuk memberikan informasi arah kemiringan pada setiap titik permukaan bidang.

Diagram kontur dengan vektor diagaram sering digunakan untuk menjelaskan beberapa model matematis. Salah satunya adalah diagram kontur dengan vektor gradien tersebut bermanfaat bagi mata manusia ketika menyelesaikan permasalahan optimasi. Khususnya adalah permasalahan optimasi bersyarat.