一個關鍵,培養出數學能力
若以武術比擬數學,那麼數學能力就是武者的內功,數學知識則是前人傳下來的招法。內功越強,便可駕馭越強的招法。是故,培養深厚的數學能力,便是學好數學的關鍵。
但內功要如何培養?
要培養強大的數學能力,所需要的便是不斷進行邏輯思考與預測。反覆的思考會強化腦大腦的推斷能力。而這樣的練習未必需要算數學,經由許多棋類、遊戲、程式均可學習的到。
小學的時候我曾學過圍棋,圍棋班總一個奇怪的現象:在我圍棋班的同學,每一個都是班上課業的前幾名。我們花了很多時間在下圍棋,但學校成績卻絲毫不見退步。
當時不覺得奇怪,但現在回想起來,才知道透過圍棋,其實我們的數學能力正迅速的成長。圍棋的每一步都牽涉到複雜又龐大的計算與預測,無形間刺激了數學能力的增長。
而做為一個學生或是考生,你可以怎樣培養自己的數學能力?
以下是關鍵:
研究每一道數學練習題
研究,不是單單解出題目,而是去理解題目的意義。
一個問題不只是一個問題,他背後有許多我們可以去思考的問題。我舉出最重要的兩個問題:
- 題目為什麼這樣出?
- 我為什麼要這樣解題?
可能對你來說,這兩個問題是很奇怪的問題。但當我們思考這些問題,常常我們會發現題目不一樣的一面。
舉一個例子:三角形ABC中,角A=60度,AB=5,AC=7。問BC長多少?

這是高一常見的幾何問題,許多人可能一眼就看出要使用餘弦定理。但我們多問一些問題:
Q1:題目為什麼這樣出?
在題目的條件下,題目憑什麼問我們BC長度是多少?會不會其實BC根本求不出來?或是BC不只有一個可能?
我們可以這樣思考:
想像一下AB跟AC是兩根木棍,其中一端(A)接在一起,在角A的角度還沒有給定的情況下,兩根木棒皆可以自由旋轉。此時BC長度顯然不能求,因為隨著兩木棒AB、AC的移動,BC的長度根本不固定。
但是題目給了一個條件:角A=60度,咦!突然間兩木棒不能隨便轉動了,此時三角形ABC的形狀被固定下來,BC的長度變成固定了!
上面的過程,是否讓你聯想到什麼?
沒錯,國中學的SAS三角形全等!
三角形只要一個角與兩個夾邊長都被固定,三角形的形狀就被固定住了。
因此我們得到一個結論:
結論1:因為國中學的 SAS全等條件,題目才可以合理的問我們 BC是多長。
合理
接著我們問下一個問題:
我為什麼要這樣解題?
利用餘弦定理,我們很快地算出答案:
BC² = AB² + AC² -2*AB*AC*cosA
=25+49–2*5*7*(1/2)
=39
所以BC長度=根號39。
但是,餘弦定理是個從天而降的公式,它並沒有解釋為什麼可以這樣算。我們得重新思考一下,到底我們要怎麼求出BC?
回想國中時,我們要算長度,通常只有一個辦法:利用直角三角形的畢氏定理。有用嗎?我們試試看:
從B往AC做垂線,假設D是垂足。

此時我們發現三角形ABD是一個常見的30-60-90直角三角形,我們都知道它的邊長比例是 1:根號 3:2,又因為題目給我們AB=5,因此我們可以算出
AD=5/2=2.5
BD=2.5*根號3
CD=7–2.5=4.5
咦,我們發現右邊的直角三角形BDC兩股都被我們求出來了,那BC就容易了!由畢氏定理
BC² = 4.5²+(2.5*根號3)² =39
BC=根號39,完成。
我們總算知道要怎麼求出BC長度了。大功告成!!
等等
如果今天題目換個數字,例如AB=11,AC=24?用同樣的方法還求得出答案來嗎?我們不妨試試看更一般的情形:
給定三角形ABC,AB=x,AC=y,角A= t,求BC長度?
我們試著用同樣的方法:畫B到AC的垂直線BD。

第一個困難出現了,三角形ABD不再是我們熟悉的30-60-90直角三角形了,這樣我們要怎麼知道AD是多少?
不要擔心,雖然我們不知道AD是多少,但AD就在那裏!我的意思是,因為已經給定了角A=t度,所以直角三角形ABD的形狀是固定的,也就是AD一定有一個長度。這個長度,數學家用 cos(t)表示:
AD=AB*cos(t)=x*cos(t)
因此仿照之前的算法,我們就得到了:
BD²=(AB²-AD² )= x²-x²*cos²(t),
CD=y-x*cos(t),
接著看右邊的三角形BCD,用畢氏定理就會得到:
BC²=BD²+CD²
=[x²-x²*cos²(t)]+[y-x*cos(t)]²
=x²+y²-2xy*cos(t)
也就是
BC²=x²+y²-2xy*cos(t)
大功告成!等等,再仔細看一下,這公式不就是所謂的餘弦定理嗎,我們題目算一算,竟然就不小心把餘弦定理給證明出來了,不可思議!原來餘弦定理就是這樣來的!
囿於篇幅,研究的過程就寫到這,但實際上你還可以再問很多問題:例如角A不固定的話,BC的長度有沒有一個範圍?如果題目改給AB、BC、角A,有辦法求到AC的長度嗎?……把這些問題想一想,你還會有更多發現!
結論
相信經過這一翻的研究之後,你對此道數學練習題已有更深的了解。更棒的是,餘弦定理對你來說不再是從天而降的定理,你清楚知道它的來龍去脈:它是建立在SAS全等三角形以及畢氏定理之上的定理。
你從此不會忘記餘弦公式,就算忘了,也知道怎麼把它再導出來。因為你已經明白怎麼去思考這個問題、怎麼去理解、切入、分析、推論。
這就是研究題目的好處。
相比之下,若您只是死背餘弦定理的條件與公式,雖然你可能很快就解出這個問題,但是它只會在你的腦袋裡留下淺薄的印象,並且無法處裡其他的變化。甚至當進入下一個單元時,可能就忘得一乾二淨。
研究題目會強化你解題的思維,並將你的各樣數學知識築成一個有系統的架構。
花同樣的時間研究一道題目,你的收穫將會比寫一堆類似的練習題,來的豐富許多。
