從蝴蝶效應(Butterfly Effect)談起!

蝴蝶效應這個名詞現在已經充斥在我們日常生活中交談、報導與解釋各種現象之用,一般版本的表述類似下面這個例子:

一隻在巴西的蝴蝶擺動一下翅膀,可能會造成三個月後日本東京的一場暴風雪!

Butterfly Effect!

這個有點誇張的例子其實重點在表述現在一個微小的變化,隨著時間的推演,會對未來造成巨大而無法想像的改變。雖然這個通俗的例子讓一般大眾很容易的去理解與想像在我們身處的複雜社會群體中,小因並不意味著小果,輕輕一推,可能也有讓世界翻轉的效果,但在給予蝴蝶效應所真的代表的意義上,這樣的解釋無疑是失真的,也有點誤導了渾沌(Chaos)世界的真實面貌。

會誕生蝴蝶效應的這個版本的描述,大概是因為Lorentz在1963年發現混沌現象時,透過他著名的三條描述天氣變化的簡單方程式,不僅從中發現了微小的初始值變化會導致一段時間後天氣型態的巨大變化,更利用這三條方程式所展現出的狀態空間變化,劃出了如蝴蝶雙翼般結構的奇異吸子(Strange Attractor),又被稱為Lorentz Butterfly!

Lorentz Butterfly — Strange Attractor!

這個圖案其實是一個三度空間的圖形,線條上每一個點代表空間上一個點(X,Y,Z),相鄰的點代表時間的推移點的變化方向。這個結構有幾個特點:

  1. 如果系統的起始點不在這個結構上,不管在甚麼位置,經歷一段的時間,一定會被吸進這個結構裡,所以這種結構被稱為奇異吸子。
  2. 不管時間如何的推移,不斷變化的點的位置絕對不會相交,就好像一個毛線球一樣,線跟線之間可以非常接近,但永遠不會相交。
  3. 因為點永遠不重複,所以這個系統並不會是週期性的,但整個系統的結構看起來又像是週期性的,不斷重覆類似的型狀,因此被稱為半週期性的。

所以要解釋所謂的蝴蝶效應其實並不難,比如像Lorentz Butterfly這樣一個天氣系統,兩條線之間可以幾乎靠到無限的近,在兩條非常接近的線上最相鄰的兩個點,其狀態期只差一點點而已,差別就像蝴蝶拍動翅膀產生的擾動量那麼多,但如果把系統狀態從第一條線變異到第二條線的另一個相鄰點上,經過一端時間的演變後,兩個點位置後續的狀態變化就天差地遠了,這就是所謂蝴蝶效應的特殊現象。

隨著蝴蝶效應這個詞在大眾間的耳熟能詳,大家也常常也借用這個詞來描述一些從小大到大的連鎖變化,更被拍成了幾部好萊塢電影,但如果蝴蝶效應所代表的混沌現象是如此的淺顯明白,倒是低估與誤解了蝴蝶效應的真正意義。

蝴蝶效應的例子告訴我們甚麼事? 一隻在巴西的蝴蝶揮動一下翅膀造成的些微改變,的確有可能造成幾個月後東京的暴風雨,這樣的因果關係或許可以確立,但混沌理論真的要告訴我們的是,你永遠沒辦法知道是哪隻蝴蝶要為東京的暴風雨來負責!!!

回到Lorentz Butterfly, 若線上的其中一個狀態點代表著東京的暴風雨,把時間往回推到線上的另一個狀態點代表著當時蝴蝶揮動著翅膀,如果你能在線上明確的標出這兩個點,由於整個吸子的線條是一筆畫的,所以隨著時間的推移,系統狀態一定會從蝴蝶揮動翅膀一直演化到東京發生暴風雨,所以是決定性的(Determined),經典的因果律在這裡還是成立的。但問題是在蝴蝶揮動翅膀的附近,會有無限條與無限接近的線經過,由於這些線跟點都非常接近但又一定不會相交,實際上你根本就無法確認出真正蝴蝶揮動翅膀的位置,所以蝴蝶揮動翅膀與暴風雨之間的關係的確是無法預測的(Un-Predictable)。

  • 丟失一個釘子,壞了一隻蹄鐵;
  • 壞了一隻蹄鐵,折了一匹戰馬;
  • 折了一匹戰馬,傷了一位騎士;
  • 傷了一位騎士,輸了一場戰鬥;
  • 輸了一場戰鬥,亡了一個帝國。

一般人會認為上面這段西方民謠是蝴蝶效應的具體例子,但實際上並不是,丟了一根釘子跟亡了一個帝國或許是真正的因果關係,但在混沌系統中,你永遠沒辦法知道它們之間是真正有關係的….

Determined But Un-Predictable…… 這才是蝴蝶效應所要描寫的真諦!