Probabilidade - Propriedades e Regras
Propriedades
- A probabilidade de qualquer evento A é um valor entre 0 e 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis de um experimento é 1.
Cálculo de Probabilidades
- A probabilidade de A é a soma das probabilidades dos resultados em A.
- Quando todos os resultados de um experimento tem a mesma chance de ocorrer dizemos que os resultados são igualmente prováveis. Para tal experimento, a probabilidade de um evento A é:
Exemplo
Na tabela abaixo, temos dados referentes a 4 linguagens de programação usadas por homens e mulheres na faculdade.
Iremos indicar por P o evento que ocorre quando, escolhido ao acaso, o aluno utilize python. C, J, R, H e F possuem significados análogos. Podemos dizer que P(R) = 30/200 e P(F) = 85/200, visto que no todo, 30 alunos utilizam R e 85 são mulheres, em um total de 200 alunos.
Dados os eventos R e F, podemos considerar dois novos eventos:
- R∪F, chamado de reunião de R e F, quando pelo menos um dos eventos ocorre
- R∩F, chamado de intersecção de R e F, quando R e F ocorrem simultaneamente
Dito isso, é fácil visualizar que R∩F = 10/200, pois o aluno escolhido tem que utilizar R e ser do sexo feminino.
Agora, vemos que P(R) = 30/200 e P(F) = 85/200, suponha que nosso cálculo para a reunião dos dois seja:
P(R∪F) = P(R) + P(F) = 30/200 + 85/200 = 115/200
Se fizessémos dessa forma, estaríamos contando duas vezes as alunas que são do sexo feminino e utilizam a linguagem R. Portanto, pela definição, a resposta correta é:
P(R∪F) = P(R) + P(F) - P(R∩F)
Por outro lado, considerando os eventos C e J, vemos que P(C) = 30/200, P(J) = 30/200 e P(C∪J) = 60/200. Nesse caso, os eventos C e J são mutamente exclusivos ou disjuntos, pois se C ocorre, então J não ocorre e vice-versa. No nosso exemplo, não tem como o aluno utilizar Java e C++. Então, C∩J = Ø e P(C∩J) = 0.
Adição
Com isso, sendo A e B dois eventos quaisquer, a probabilidade de que o evento A ou B ocorra, ou de que pelo menos um desses eventos ocorra é:
P(A) + P(B) — P(A∩B)
Se os eventos A e B foram mutuamente exclusivos, temos:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Se A e B são mutuamente exclusivos, então A ∩ B é vazio, então P(A∩B) = 0.
Complemento
Agora, imagine que estamos interessado em saber se o estudante utiliza python, java ou c++, não interessando se é homem ou mulher. Seja o evento X = P ∪ J ∪ C. Então R ∪ X= Ω e R ∩ X= Ø. Dizemos que X e R são complementares e P(R) = 30/200, P(X) = 110/200 + 30/200 + 30/200 = 170/200, portanto P(X) + P(R) = 1.
A probabilidade do complemento de um evento P(A') é igual a 1 menos a probabilidade do evento.
P(A') = 1 - P(A)
Referências
Livro Estatística Básica, Bussab e Morettin.
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