【古典機率論 — 上帝不擲骰子嗎？】米克王的統計講堂 Episode 1
從古典機率論的角度談論何謂機率！
不知道你是否經想過，什麼是「機率」？機率是一種現象嗎？一種封閉解？還是一種只存在理論層次的論述呢？
事實上最早的機率論，是一群賭徒和數學家想要研究他們手上所玩的賭具（例如骰子或卡牌），要如何用操作策略的方式增加勝出的可能性，因而發展出來最古老的機率論。
本次我們從一些簡單的角度還有一小段研究史，帶大家稍微了解一下我們平常掛在嘴邊的「機率」是什麼。
我們會討論到：
- 「機率」與「隨機性質」是否真實存在？
- 人類如何定義機率？
- 公設化機率的貢獻
「機率」與「隨機性質」是否真實存在？
各位，我要很誠實地告訴你們，這個題目的答案在人類科學與哲學史上還未出現過公認的答案，所以我如果隨便說有或是沒有就是污辱了幾千年來研究者的智商了，但是我可以以我個人目前比較認同的方向跟大家做討論。
好的，在哲學上，我是「確定論者」，也就是如果我來回答這題我會告訴你：「我覺得應該不存在『真正意義上的機率或隨機性質』。」
讓我舉例說明一下我的想法。
你覺得一個硬幣被彈起後落下，蓋在你的手臂上，它是正面或反面這樣的一個事件，這個事件是不能被觀察且預測的嗎？
大部分的書籍都會告訴你硬幣落下後正反面是「隨機的」，並且平均來說如果彈100次，會很接近50次正面50次反面，但真的是這樣嗎？
如果我是全知全能的觀察者，「硬幣的密度分佈、硬幣的表面摩擦力、手指的表面摩擦力、手指出力的方向、硬幣受力點造成的力矩、手指的力道、空氣的密度以及阻力係數、落下的高度、手背的彈性係數、另一手上的速度跟力道」，這一切的數據都知道且可計算（我相信高中的物理就是在教這些），那麼你能說我這個全知全能者無法事先得知硬幣是正面還是反面嗎？老實說在他彈出去的那一刻我就應該得知其結果了不是嗎？
再來，在各大財務管理或是投資學的教科書裡，應該都認為「股價是呈現隨機的漫步」，但我們要思考真的是這樣嗎？
要用簡單的方法討論這個議題是一大挑戰，不過「所謂的『股價』，可以在『效率市場的假設下』，被認為是市場上所有資訊所集合而成，對企業價值的一種反應」。
問題就在於說我們實在無法證實市場是否「有效率的把重要資訊呈現在股價上面」，因此我們也實在無法認為股價有被完整的反映出來，但話又說回來，我若是全知全能者，我可以知道哪些資訊是被某種程度的反應，哪些資訊又是被某種程度的無法反應，透過找出這些資訊對股價的反應程度來加權，我一樣應該要能準確得知股價。
說到這裡，我必須澄清的是，我從來都沒有說過「不存在機率與隨機性質」，我是說「不存在『真正意義上的機率或隨機性質』」。
所以真正意義上的機率與隨機性質是什麼意思？
我認為真正的隨機是，我在得到所有可得且必須得到的資訊的前提下，這個事件依然呈現「我無法經計算得知其結果」的狀態，只要還存在我無法得知但必須得知的資訊而此事件因而呈現我無法經計算得知結果的狀態，這樣的隨機就不算是我所論述的「真正意義上的隨機」。
簡而言之就是，我都已經是全知全能者了，在我面前你依然呈現隨機的狀態，那我就承認你擁有「真正意義上的隨機」吧！
在更簡單明瞭的說，我們所認知的隨機，不是真正意義上的隨機，而是因為「我們不是全知全能者，無法得知所有應得資訊」的緣故，這些事件呈現出我們無法理解或準確預知的行為，我們稱這樣的事件叫做「隨機的事件」。
就算是米克王我，也不是全知全能者呢，但你相信有一位全知全能者嗎？
所以以大家都不是全知全能者的前提來說，確實是存在機率跟隨機性質的呢。
人類如何定義機率的呢？
因為機率這個「性質」，實在是太難給出確定且使四方信服的方法，因此發展出很多種不同的方式來表達，其中各有缺失也各有優點。
人類定義機率的方法，在早期有三種方法：
- 古典機率定義（ classical probability ）
- 相對頻率機率定義（ relative frequency probability ）
- 主觀機率定義（ subjective probability ）
首先我們談論一下「古典機率定義」。
Definition：在一個樣本空間S中，有「有限個」樣本，其中有一種事件稱為 A ，那麼事件 A 出現的機率，我們定義為「 A 事件所擁有之樣本點數量，除以，所有樣本點個數」。
舉例而言就是，箱子裡有 10 顆球，定義事件為「藍色的球」，而箱內有 6 顆藍色的球，因此以古典機率的定義來說，事件A的機率是 0.6。
不過可以觀察出這個定義不完備的地方在於，它假設了「每個樣本點發生的機率都樣（ Equally likely ）」以及「樣本空間為有限」，此二限制使這個定義在使用上有如捉襟見肘一般無法準確應用。
其次我們來討論「相對頻率機率定義」。
Definition：重複進行一個標準化的試驗多次，並定義一種事件為 B ，我們定義事件 B 的機率為，「發生 B 情況的次數，除以，重複進行試驗的次數」。
舉例而言，我們擲骰子 60000 次，出現 3 點的次數為10002次，我們定義出現 3 點的機率是 10002/60000 ，事實上，如果擲骰子趨近無限次，在這個例子下，出現 3 點的機率會收斂到 1/6。
但是這個定義的缺點是，不一定每一種事件都夠「穩定收斂至定值」，並且實務上也無法操作無限次實驗，更有甚者，有些試驗根本無法重複。
最後我們來討論「主觀機率定義」。
Definition：定義一個事件C，其發生機率介於0跟1，個人使用其經驗值、資訊、以及知識來產生C事件之機率，此種機率比較像是「主觀地相信程度」。
本定義的缺點大概就是，恩，這看起來跟沒定義一樣。
但是我必須說，現實世界的機率估計，大部分都是客觀機率與主觀機率混合的結果，因此這個定義其實是凸顯了「領域知識（domain knowldge）」的重要性，事實上任何的估計行為、預測行為都不能以一個純粹無領域知識的狀態下去進行。
公設化機率
終於有一天，有一個俄羅斯的數學家，騎著青眼白龍，以須佐能乎的姿態閃亮登場。
（我道歉，我的筆下基本上真正的強者就是要騎青眼白龍的，這是我的堅持。）
讓我們歡迎，Mr. Andrey Nikolaevich Kolmogorov !!!!!!
首先，公設（Axiom）這個詞，在數學理論中是一種不需要被證明，直接認定為真的前提，就好像你不會問你媽一加一等於幾一樣（還是其實你會？）。在整個機率論的系統中，所有知識都可以由 Kolmogorov 三大機率公設來推衍。
Definition of The Kolmogorov’s Axioms.
在隨機實驗的樣本空間 S 中，如果有一個集合函數 P(·) ，滿足下列公設者，稱為機率集合函數，簡稱機率函數。
公設 1： P(A) ≥ 0 ，對任意事件 A ⊂ S
公設 2：P(S) = 0
公設 3：假設 A、B、C …為樣本空間S中的一組事件，且他們之間倆倆互斥，則事件連集的機率必等於分別事件的機率加總。
大家應該有發現，Kolmogorov 並未針對機率的種類做規定，而是對於機率作出規範。
這就是其偉大的地方，如果你認同他的公設是正確的，那麼在其之上幻化出來的千萬種機率種類，對你來說都是合理且可延伸的。
看到這裡，我們用 3 秒的時間對 Mr. Andrey Nikolaevich Kolmogorov 獻上敬意。
時間到。
正在閱讀這篇文章的你，可能不是統計專業，也可能是。
其實本篇文章的型態並不是論文，所以他的嚴謹程度並不是那麼的有規矩，然而這提供了我們很多的思考空間，讓我們動腦去了解一個我們常常掛在嘴邊，卻並不是非常清楚意義事情。
究竟上帝擲不擲骰子呢？
我想他擲，他在擲之前就知道結果了，只不過他不告所我們而已。
不然就不好玩了不是嗎？
