5. INFERENCIA Y DEMOSTRACIÓN

5.1 Introducción

Aristóteles el filósofo griego nacido en Estagira, en Tracia (en una pequeña localidad macedonia) el año 384 a. C. Es considerado “el discípulo más legítimo de Platón.

En su juventud, escribió el diálogo aristotélico “Eudemo”. A los diecisiete años, el 368 a. C., se trasladó a Atenas donde se incorporó a la Academia de Platunos donde permaneció durante veinte años. En el año 343 fue llamado por Filipo de Macedonia para hacerse cargo de la educación de su hijo Alejandro, el futuro Alejandro Magno, que tenía entonces trece años. En el 335 a. C., fundó su propia escuela, el Liceo, una comunidad filosófica al estilo de la platónica, situada dentro de un recinto dedicado, que contaba con un jardín y un paseo (perípatos) del que los aristotélicos recibirán el nombre de peripatéticos, porque Aristóteles impartía sus enseñanzas paseando. A él se debe, por ejemplo, la invención del término “metafísica” y que significa, sencillamente, que salen a continuación de la física. Casi todos los diálogos escritos por Aristóteles, agrupados en 170 obras de catálogos antiguos, sólo se han salvado 30, que vienen a ocupar unas 2.000 páginas impresas.

La lógica clásica (o tradicional) fue enunciada primeramente por Aristóteles, quien elaboró leyes para un correcto razonamiento silogístico. Un silogismo es una proposición hecha de una de estas cuatro afirmaciones posibles: “Todo A es B” (universal afirmativo), “Nada de A es B” (universal negativo), “Algo de A es B” (particular afirmativo) o “Algo de A no es B” (particular negativo). Un silogismo bien formulado consta de dos premisas y una conclusión, debiendo tener cada premisa un término en común con la conclusión y un segundo término relacionado con la otra premisa. Para hacer un razonamiento se utilizan los silogismos, que son proposiciones emparejadas que en conjunto producen una conclusión nueva; por ejemplo, “Todos los humanos son mortales” y “Todos los griegos son humanos”, se llega a la conclusión válida de que “Todos los griegos son mortales”. Según la lógica aristotélica puede decirse que el planteamiento correcto de reglas se logra siempre que se partan de premisas verdaderas, que obtengan conclusiones verdaderas. A este proceso se denomina la regla de validez.

En el 323 a.C, Aristóteles abandonó Atenas y se retiró a la isla de Eubea en Calcis y allí murió el 322 a.C., de una enfermedad estomacal.

¿Qué es un sistema axiomático? Es un sistema que consta de tres cosas básicas: axiomas, definiciones y términos no definidos; donde los axiomas se suponen verdaderos; las definiciones se utilizan para crear conceptos nuevos en términos de los existentes. Algunos términos no se definen de manera explícita, si no que se definen de manera implícita con axiomas. Un teorema es una proposición cuya verdad se ha demostrado. Algunos teoremas se conocen como lema y corolario. Un lema es un teorema que no es interesante en si mismo, sino que es útil para demostrar otro teorema. Un corolario es un teorema que sigue rápidamente de otro teorema.
Aprender a redactar demostraciones es una tarea de bastante importancia en la modernidad, pues permite a los estudiantes a hacer justificaciones a sus tareas cotidianas dando de tal manera consistencia a su quehacer. Dicha importancia queda aún más resaltada a partir del pensamiento que nos dejaba Platón:

“Hay dos tipos de ignorante: el que no sabe de algo y el que sabe, pero no es capaz de demostrarlo ”

5.2 Inferencia lógica

Una inferencia lógica es el proceso de obtención de una proposición a partir de otra u otras proposiciones dadas, a las cuales se aplican reglas de inferencia, de tal manera que la conclusión sea consecuencia lógica de las premisas.
“Una inferencia es válida si, y solo si la conjunción de las premisas implica la conclusión. Una inferencia es concluyente o correcta si se realiza de acuerdo con una regla de inferencia válida6.
Simbólicamente: sean pi (con i=1, 2, 3, 4, …n) premisas y q la conclusión, entonces,

5.2.1 Concepto de premisa y conclusión

Se denomina premisa a una proposición verdadera o que se supone que es verdadera. Se llama conclusión a la proposición que debe deducirse y que debe ser verdadera.

5.2.2 Concepto regla de inferencia

Una regla de inferencia es un razonamiento verdadero que valida la verdad de una conclusión a partir de premisas verdaderas; es decir, si las premisas son verdaderas, la conclusión también tendrá que ser verdadera.

5.2.3 Reglas de inferencia lógica

Las leyes y las reglas corresponden a enunciados de la lógica. Aparentemente significan lo mismo; sin embargo tienen sus diferencias: “Una ley es el enunciado de un

es una ley y cualquier enunciado que tenga esta forma será formalmente verdadero. Ahora, como se dijo antes: toda ley tiene su regla de inferencia válida; veamos entonces cual es su correspondiente regla:

“De la conjunción de dos premisas se puede inferir una de ellas”

Entre otras reglas se distinguen las siguientes:

Modus Ponendo Ponens –MPP
Esta regla establece que si la implicación de premisas y su antecedente son verdaderos, su consecuente es necesariamente verdadero. Simbólicamente,

Modus Tollendo Tollens –MTT
Esta regla señala que si la implicación de premisas es verdadera y su consecuente es falso, entonces su antecedente es necesariamente falso. Simbólicamente,

Modus Tollendo Ponens –MTP
Esta regla indica que si una disyunción de premisas es cierta y una de sus premisas es falsa, entonces la otra premisa es necesariamente verdadera. Simbólicamente,

Regla de simplificación –RS
Esta regla establece que de la conjunción de premisas se puede inferir una de ellas. Simbólicamente,

Regla de adición –RA
De esta regla se puede determinar que de una premisa se puede deducir como conclusión la disyunción de la premisa con otra cualquiera. Simbólicamente

Regla de silogismo hipotético –RSH
Esta regla indica que si se tienen dos condicionales tales que el antecedente del segundo es el consecuente del primero, entonces se puede inferir como conclusión un condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo. Simbólicamente,

Regla del dilema constructivo –RDC
Esta regla señala que si se tienen dos condicionales y la disyunción de los antecedentes entonces se puede concluir la disyunción de sus consecuentes. Simbólicamente,

Regla de simplificación disyuntiva –RSD

Esta regla indica que si se tiene una disyunción de una premisa consigo misma, se puede inferir la premisa dada. Simbólicamente,

Regla de unión o adjunción –RU
Esta regla establece que dada una premisa verdadera como antecedente de dos condicionales verdaderos, entonces se puede concluir la conjunción de los consecuentes. Simbólicamente,

5.3 Deducción lógica

Una deducción lógica es una secuencia de finitas transformaciones que se realizan a partir de un conjunto finito de premisas, mediante la aplicación de reglas de inferencia, con el fin de llegar a una conclusión.
Para hacer una deducción lógica se sugieren los siguientes pasos:

1. Simbolice las proposiciones dadas (o premisas) teniendo en cuenta que una premisa termina con punto.

2. Enumere las premisas de manera consecutiva y al lado derecho escriba (p) para identificar que es una premisa.

3. Proceda a derivar la conclusión a partir de las premisas, tendiendo en cuenta que debe utilizar todas las premisas; para tal fin, escriba en otra línea la proposición obtenida y cada paso realizado debe también enumerarlo de manera consecutiva. A la derecha de la expresión, escriba la abreviatura de la regla o reglas aplicadas o en su defecto, escriba el nombre de la regla o el de la ley correspondiente. Si el paso fue deducido a partir de otras líneas, entonces deberá escribir su respectivo número. Recuerde que la conclusión de cada paso es otra premisa y pasará a ser parte de la conjunción con otras premisas.

Ejemplo 5.3: concluya “no relampaguea” del enunciado: “si no llueve de día entonces ni voy a misa ni voy a cine. Si tengo dinero entonces voy a misa o a cine. No llueve de día. Si relampaguea entonces tengo dinero”
Las premisas son:

1. Si no llueve de día entonces ni voy a misa ni voy a cine

2. Si tengo dinero entonces voy a misa o a cine

3. No llueve de día

4. Si relampaguea entonces tengo dinero

Simbolicemos premisas:

p: “llover de día”

q:”ir a misa”

r: “ir a cine”

s: “tener dinero”

t: “relampaguear”

5.4 Métodos de demostración

¿Qué es una demostración en lógica o en matemáticas? Una demostración es un razonamiento que establece la verdad de un enunciado denominado “teorema”. Es una redacción consistente de la veracidad o la falsedad de un enunciado. En la ciencia matemática o en lógica las demostraciones son estructuradas y se escriben paso a paso con su respectiva justificación. Para tal fin se utilizan reglas de inferencia lógica; además, se usan leyes, definiciones, axiomas, teoremas conocidos, postulados, etc. que ayudan a justificar los pasos desarrollados.
Para la justificación de los distintos enunciados aritméticos, siendo a, b, c números enteros se pueden utilizar, entre otras, las siguientes propiedades:

i) Ley clausurativa a+b es un entero (ser cerrado para la suma) a*b es un entero (ser cerrado para el producto)
ii) Ley modulativa a+0=0+a=a (módulo de la suma es 0) a*1=1*a=a (módulo del producto es 1)

Los métodos de demostración prueban enunciados condicionales o bicondicionales. Los métodos más utilizados para redactar demostración son: el método directo, el método indirecto, el método de refutación y método de inducción matemática. Es decir, demuestran proposiciones p→q, donde p es la hipótesis y q es la tesis.

5.4.1 Método de demostración directo

Este método consiste en demostrar una proposición en la cual le afirman el condicional y la hipótesis (o antecedente) y se pretende demostrar la tesis (o consecuente). Es método se fundamenta en la regla de inferencia MPP.

Ejemplo 5.4: demuestre que la suma de dos números enteros impares es otro número entero par.
Este tipo de enunciados se deben transcribir de manera condicional, así: “sean a, bZ. Si a y b son impares, entonces a+b es par”. Simbólicamente, el enunciado queda como sigue: a=2h+1 y b=2k+1, con h, kZ, Por lo tanto, a+b=2m.
Redactemos ahora la demostración justificando cada paso realizado con las leyes, teoremas conocidos, definiciones etc.

5.4.2 Método de demostración indirecto

Ejemplo 5.5: demuestre que si el cuadrado de un número es impar su raíz es impar. Este tipo se trascribe de manera condicional, así: “sean a E Z. Si a2 es impar, entonces a es impar”. Esto es, si a2=2h+1, entonces a=2k+1, con k, h E Z. Observe que se debe utilizar el método indirecto, donde se parte de la no tesis (a es par o a=2k, con k E Z) y se llega a la no hipótesis o a una contradicción.

Contradice la hipótesis en vista del supuesto que a es par. Por lo tanto, a es impar.

5.4.3 Métodos de refutación

La refutación es un razonamiento que prueba la falsedad de un enunciado. Se utiliza cuando se sospecha que la demostración es imposible o infructuosa. De tal manera, se puede refutar por contradicción o por contraejemplo.

Refutación por contradicción. Esta manera de refutar se hace asumiendo que la afirmación dada es verdadera y se extraen luego consecuencias de ella utilizando cualquiera de los métodos estudiados (directo o indirecto) hasta llegar a una contradicción.

Ejemplo 5.6: La suma de cualquier número par con otro impar es par El enunciado se trascribe, así: si a es par y b es impar entonces a+b es par; es decir, a=2k, b=2h+1, con h, k E Z, entonces a+b=2m, con m E Z.

Contradice la hipótesis. Luego, la suma de un número par con otro impar es impar.

TALLER 5

1. Simbolice cada una de las proposiciones siguientes y pruebe el enunciado que va precedido de la expresión “por lo tanto” (que es una conclusión) se deduce como consecuencia lógica de ellas:
   Si estudias con dedicación o cuidado, entonces aprenderás y tendrás recompensas. Estudias con dedicación y aprendes. Por lo tanto, tendrás recompensas.
   Si relampaguea, entonces llueve de día o voy a misa. No es cierto que llueve de día. No voy a misa. Por lo tanto, ni relampaguea ni llueve ni voy a misa.

Si hoy debo ir al trabajo entonces tendré que trabajar muy duro o me echarán de la empresa. No es cierto que hoy no tenga que ir al trabajo. No me echarán de la empresa. Por lo tanto, tendré que trabajar muy duro.

La música es un arte si, y sólo si este escrito expresa el sentimiento del compositor. Ni este escrito expresa el sentimiento del compositor ni es una obra de teatro. Este escrito es una obra de arte si, y solo si es un poema hecho canción. Si este escrito no es una obra de arte, entonces la música no es un arte. Por lo tanto, este escrito es una obra de arte y es un poema hecho canción.

Si ingreso a la universidad, entonces tendré mucho que leer y si tengo muchos amigos, entonces saldré a rumbear los fines de semana. Si consigo novia, saldré a rumbear los fines de semana. Si salgo a rumbear los fines de semana, tendré bajo rendimiento académico. No tendré mucho que leer o no tendré bajo rendimiento académico. Por lo tanto, si ingreso al universidad, entonces ni conseguiré novia ni tendré muchos amigos.

5. Pruebas análisis de relación