Capítulo 7: TEORIA DE CONJUNTOS
7.1 Introducción
El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la estructura matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticas como un término indefinido, tal como en geometría que toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de manera intuitiva. Similarmente sucede con el término elemento.
La teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas que tiene un objeto de estudio propio; con métodos propios, con ciertas relaciones con otras teorías matemáticas, en particular, con todas las teorías matemáticas tradicionales y a partir de sus principios se mantiene la existencia, estructura y relaciones mutuas entre ellos. Es decir, que el resto de la matemática puede expresarse en términos de conjuntos.
Georg Cantor (1845–1918) matemático, físico y filósofo alemán de origen ruso. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Es considerado como el padre de “la teoría de conjuntos”.
Cantor operó con conjuntos infinitos, transformando unos en otros mediante reglas precisas, los comparó respecto a su cardinalidad y mostró cómo asignar un número cardinal a cada conjunto. Entre sus primeros resultados encontró que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, si tienen correspondencia biunívoca entre ellos. Si dos conjuntos no tienen la misma cardinalidad, pero tienen correspondencia biunívoca con un subconjunto de otro, la cardinalidad del primero es menor que la del segundo.
Su mente luchó contra varias paradojas de la teoría de conjuntos, en otras la paradoja de Bertrand Russell, que parecían invalidar toda su teoría; es decir, la hacía inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa.
A fines de mayo de 1884 Cantor tuvo su primer ataque registrado de depresión. Se recuperó después de unas cuantas semanas, pero aparecía menos confiado. En junio de 1917 ingresó una institución mental de Halle (ciudad del centro de Alemania) por última vez; de allí le escribía continuamente a su esposa pidiendo que le permitiera regresar a casa. Murió en un ataque cardiaco, el 6 de enero de 1918, cuando tenía 73 años de edad.
7.2 Concepto de conjunto
Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales, personas o números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada. A los objetos del conjunto se denominan “elementos”.
Ejemplo 7.1: Los siguientes son algunos ejemplos de conjunto:
. El conjunto formado por los colores de la bandera de Colombia.
. La colección de letras de la palabra “murciélago”.
.El conjunto formado por los dígitos del número 345923238.
.La agrupación de números naturales menores que 10
.La agrupación de números primos entre 0 y 20.
7.3 Notación de conjuntos
Ejemplo 7.2: utilice la notación correcta para escribir los conjuntos dados en el ejemplo 7.1
A= El conjunto formado por los colores de la bandera de Colombia.
B= La colección de letras de la palabra “murciélago”
C= El conjunto formado por los dígitos del número 345923238
D= La agrupación de números naturales menores que 10
E= La agrupación de números primos entre 0 y 20
7.4 Determinación de conjuntos
La determinación de un conjunto corresponde a la manera como éste puede expresarse. Para determinar un conjunto se utilizan dos formas: determinación por extensión y la determinación por comprensión.
7.4.1 Determinación de conjuntos por extensión
Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos del conjunto. Cuando el conjunto es finito se escriben entre llaves, separados por comas. Cuando el conjunto es infinito se escriben entre llaves algunos elementos y se ponen puntos suspensivos
Ejemplo 7.3: Determine por extensión los conjuntos del ejemplo 7.2
A={amarillo, azul, rojo}
B={m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}
C={3,4,5,9,2,8}, no se repiten elementos
D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
E={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
7.4.2 Determinación de conjuntos por comprensión
Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que distingue a los elementos. Para tal fin se utiliza lo siguiente:
{x/x cumple la propiedad},
que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad
Ejemplo 7.3: Determine por comprensión los conjuntos del ejemplo 7.2
A={x/ x es un color de la bandera de Colombia}
B={x/ x es una letra de la palabra “murciélago”}
C={ x/ x es un dígito del número 345923238}
D={ x/ x es un número natural menor que 10}
E={ x/ x es número primo entre 0 y 20}
7.5 Representación de conjuntos
Existen varias formas de representar los conjuntos: representación gráfica y representación en la computadora.
7.5.1 Representación gráfica de conjuntos
Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante diagramas de Venn y por diagramas de Caroll.
Diagramas de Venn (figura 7.1). Estos diagramas fueron descubiertos por el lógico y matemático británico John Venn (1834–1923). El sistema de representación que hoy conocemos fue desarrollado en julio de 1880 con la publicación titulada “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos” en el Philosophical Magazine and Journal of Science, lo cual provocó cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Esta representación más conocida como “diagramas de Venn”, consisten en figuras geométricas planas y cerradas; dentro de cada figura se ponen los elementos que le corresponden. Estos diagramas serán los utilizados en el desarrollo de este texto.
Diagramas de Carroll (figura 7.2). Son bastante útiles para el estudio de las propiedades de los complementos de conjuntos. Consisten en líneas perpendiculares que se cortan (una horizontal y otra perpendicular) tal que un plano cartesiano; en la parte superior e inferior de la línea horizontal se ponen los elementos que cumplen una propiedad y de manera similar al lado izquierdo y derecho de la línea vertical. De tal manera se pueden realizar las operaciones entre conjuntos.
7.5.2 Representación de conjuntos en la computadora
Un conjunto se puede representar en la computadora como arreglo unidimensional de longitud n (n número de elementos de A) que en el argot de la computación se denomina “vector” y por lo tanto, se pueden realizar las operaciones que hacen con conjuntos: intersección (datos repetidos de los vectores, eliminando los repetidos), unión (poniendo los elementos de los vectores, pero eliminando los repetidos) y así sucesivamente con la diferencia y el complemento.
Este tema sen tratará al final de este capítulo. Se recomienda para su estudio recordar los conceptos acerca del manejo de arreglos en computación.
7.6 Relaciones de conjuntos
Las relaciones que se pueden dar entre conjuntos son: pertenencia, inclusión e igualdad.
7.6.1 Relación de pertenencia
El signo que representa la relación de pertenencia es E, que fue descubierto por el matemático y filósofo italiano, Giuseppe Peano (1858 –1932), quien es conocido por sus contribuciones a la Teoría de conjuntos.
En efecto, sea A un conjunto cualquiera y x un elemento, para indicar que x es elemento de A o simplemente que, x está en A se simboliza
verá en la sección 6.9; tampoco se da entre elementos. Por lo tanto, es incorrecto escribir x E x o A E A
7.6.2 Relación de Inclusión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, esta relación se utiliza para indicar que el conjunto A es subconjunto del conjunto B, lo cual se escribe:
y se lee: A es subconjunto de B, A está incluido en B, A está contenido en B, B incluye a A.
Si A es un subconjunto de B y existen elementos de B que no están en A, entonces A es un subconjunto propio de B y se simboliza
7.6.3 Propiedades de la inclusión
Sus demostraciones son sencillas; basta con utilizar las propiedades las definiciones de inclusión y pertenencia, además, de las propiedades de cuantificadores. En efecto veamos, x E A Por hipótesis
Ejemplo 7.5: dados los conjuntos A={3,5,6,9,4}, B={3,4,7,9,6,5} y C={3,9,5,7,4,6,8,} ponga entre el paréntesis V o F si los siguientes enunciados son verdadero o falso, respectivamente y justifique el por qué de los falsos.
Según el ejemplo se puede observar que A es subconjunto propio de B y a la vez éste de C.
7.6.4 Relación de igualdad de conjuntos
La igualdad de dos conjuntos A y B denotada
A=B
se da cuando todos los elementos de A están en B y viceversa. Simbólicamente,
Esta equivalencia se conoce como axioma de extensionalidad. La igualdad de conjuntos intuitivamente dice: “dos conjuntos son iguales si y solo tienen los mismos elementos (no importa el orden)”. Tenga en cuenta que este concepto es diferente a decir: “dos conjuntos son iguales si y solo tienen la misma cantidad de elementos”.
Si algún elemento x de A no está en B o algún elemento x de B no está en A se dice que A es diferente de B y se simboliza
Ejemplo 7.6: dados los conjuntos
A={x/x es un número primo positivo menor que 8},
B={ x/x es un factor de 210}
¿A=B? Compruébelo.
A={2,3,5,7}
B={2,3,5,7}
Luego, los conjuntos son iguales
7.7 Clases de conjuntos
7.7.1 Conjunto finito
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos se pueden nombrar o enumerar.
Ejemplo 7.9: A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}
7.7.2 Conjunto vacío
Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen como un conjunto sin elementos. Este último concepto se presta para confusiones cuando se dice “conjunto sin elementos”; pues se sabe que un conjunto es una agrupación de objetos que cumplen una propiedad determinada.
Esta confusión se aclara defiendo el conjunto vacío como aquel en que ningún elemento cumple con la propiedad conocida como “regla de elegibilidad”.
No es correcto decir, “un conjunto vacío”; debe decirse siempre “el conjunto vacío” porque este conjunto es único.
7.7.3 Propiedades del conjunto vacío
Ejemplo 7.10: los siguientes ejemplos ayudan a conceptualizar el conjunto vacío:
Esta regla es muy importante:
7.7.4 Conjunto unitario
El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento.
Ejemplo 7.11: Los conjuntos A={x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005}={Juan Pablo II} y B={xN / x2–4=0}={2} son unitarios.
7.7.5 Conjunto binario
El conjunto binario es aquel que está formado por dos elementos.
7.7.6 Conjunto universal
Ejemplo 7.13: dados los conjuntos U={1,3,5,7,9,11}, A={3,9,11}, B={2,5,7,9}, C={1,6} y D={1,7,11,5}, determine si U es conjunto universal respecto a los demás conjuntos.
En efecto, U es un conjunto universal respecto a los conjuntos A y D, pero no con respecto a los conjuntos B y C. ¿Por qué?
7.7.7 Conjunto infinito
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos no se pueden nombrar o enumerar. Son
7.8 Operaciones entre conjuntos
Las operaciones que pueden realizar con conjuntos son: la intersección, la unión, la diferencia, la diferencia simétrica y el complemento.
7.8.1 Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos), es decir, es el conjunto formado por todos los elementos repetidos y se denota
Se define como el conjunto formado por los elementos comunes de todos los conjuntos.
Simbólicamente,
7.8.2 Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes y no comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se denota
Si se tienen n conjuntos A1, A2, A3, . . ., An, la unión entre estos conjuntos denotada
7.8.3 Diferencia de conjuntos
La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A, pero no están en B y se denota A-B
donde Ax y Bx son proposiciones abiertas equivalentes a x E A y x E B, respectivamente.
La representación gráfica mediante diagramas de Venn es: (vea figura 7.6)
Ejemplo 7.17: determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos C-B dado que B={1,2,9,5}, C={2,4,6,9} y U={1,2,9,5,4,6,8,7}.
Por simple inspección C-B={4,6} y gráficamente vea figura 7.7.
7.8.4 Diferencia simétrica de conjuntos
La diferencia simétrica entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no comunes de ambos conjuntos; es decir, los elementos que no están repetidos entre los conjuntos y se denota
donde Ax y Bx son proposiciones abiertas equivalentes a x E A y x E B, respectivamente; su representación gráfica mediante diagramas de Venn se ve en la figura 7.8
donde Ax y Bx son proposiciones abiertas equivalentes a x E A y x E B, respectivamente. Observe que,
7.9 Álgebra de conjuntos
El álgebra de conjuntos tal como la de proposiciones es un sistema axiomático consistente, completo e independiente; se utiliza básicamente para demostrar la igualdad entre conjuntos o construir y simplificar conjuntos complejos y siempre que tengan determinadas propiedades.
Signos lógicos. Corresponde a los conectivos que se trataron en el capítulo de lógica proposicional y cuantificacional, son ellos:
Signos específicos. Estos signos también se reconocen como signos de relación en la teoría de conjuntos y se utilizan tres:
Letras. Se usan letras mayúsculas y minúsculas con o sin índices y subíndices.
Signos de agrupación. Se usan paréntesis “(” y “)”, además, las llaves “{” y “}”.
7.9.1 Postulados del álgebra de conjuntos
7.9.2 Leyes del álgebra de conjuntos
7.10 Conjunto potencia
El nombre de conjunto potencia proviene del hecho de que si un conjunto A tiene n elementos, la cantidad de subconjuntos que se pueden formar con los elementos de A es 2n. Este conjunto también se conoce como conjunto de partes de un conjunto
7.10.1 Concepto de conjunto potencia
Sean A y X conjuntos cualesquiera; el conjunto formado por todos los subconjuntos de A de denomina conjunto potencia y se denota por P(A). Simbólicamente
Ejemplo 7.23: Sean A y B conjuntos definidos como A={2}, B={1,2,3} y C=={ }.
7.10.2 Propiedades del conjunto potencia
Sean A, B, X conjuntos cualesquiera, entonces se tiene:
Ejemplo 7.24: Demuestre que
7.11 Número de elementos de un conjunto
Sea A un conjunto finito; el número de elementos de un conjunto denotado n(A) corresponde a un número natural que indica la cantidad de elementos del conjunto dado.
El cálculo del número de elementos de un conjunto consiste en contar los elementos del conjunto; por lo tanto, se considerarán conjuntos finitos.
Se denominará n(A) al número cardinal de elementos de A o clase de A. Así que los conjuntos que tengan igual número de elementos se podrá llamar conjuntos coordinables o equipotentes, porque se puede establecer una biyección entre sus elementos.
Si se dan conjuntos finitos y se determina el número de elementos de esos conjuntos, también se podrá hallar de otros conjuntos tales como: la unión la intersección, la diferencia y el complemento de dichos conjuntos.
Ejemplo 7.26: dados los conjuntos A={b, f, d} y B={2,6,8}, determine la clase a la cuál pertenecen dichos conjuntos.
Los conjunto A y B pertenecen a la clase 3, porque tienen la misma cantidad de elementos: n(A)=3, n(B)=3 y en efecto, son equipotentes o coordinables (forman relación biunívoca).
7.11.1 Número de elementos de la unión de dos conjuntos
Ejemplo 7.27: dados los conjuntos A={2,3,5,7} y B={2,4,6,8} y C={1,9}, halle
7.11.2 Número de elementos de la unión de tres conjuntos
Su demostración es bastante extensa sin embargo puede analizarla la igualdad de manera intuitiva con la ayuda de diagramas de Venn. Se podría creer que la igualdad debiese ser
pero esta identidad tiene sus contraejemplos. Presente algunos casos.
Ejemplo 7.28: una encuesta realizada a excursionistas de la ciudad de Medellín entre los últimos 4 años acerca de los que habían visitado a Argentina, Bolivia y Canadá arrojó la siguiente información:
48% había ido a Argentina
46% había ido a Bolivia
30% había ido a Canadá
26% había ido a Argentina y Bolivia
15% había ido a Bolivia y Canadá
13% había ido a Argentina y Canadá
10% había ido a los tres países
Se quiere saber:
a) El porcentaje que no ha ido a ninguno de los tres países
b) El porcentaje que ha ido a los sumo a dos países
c) El porcentaje que ha ido al menos a dos de estos países
d) El porcentaje que ha ido exactamente a un país
e) El porcentaje que ha ido a Argentina y no a Canadá
f) El porcentaje que ha ido a Bolivia o a Canadá, pero no a Argentina
Para hallar solución al problema se toma como recurso el diagrama de Venn para graficar el problema; luego, utilizando las leyes del álgebra proposicional (en algunos casos) y las operaciones de conjuntos lograremos la solución.
En efecto, veamos la gráfica del problema:
Designemos A: Argentina, B: Bolivia y C: Canadá y U: 100% de los encuestados (figura 7.14)
Para graficar tenga en cuenta, que se inicia primeramente con las instrucciones que indican intersección (de pares de conjuntos y de los tres); que se completan los conjuntos dados y que el total, por ningún motivo, debe
ser mayor que 100.
Solución de a: según la gráfica, el porcentaje que no ha ido a ninguno de los tres países es 20%. Observe que está ubicado por fuera de los tres conjuntos.
Solución de b: La palabra “a lo sumo” significa “máximo”; en nuestro problema, donde se pide hallar los que máximo han ido a dos países, es similar a que estén pidiendo los que han ido a 1 ó a 2 países: 3%+15%+5%+16%+19%+12%=70%
Solución de c: La palabra “al menos” significa “mínimo”; en nuestro problema, donde se pide hallar los que mínimo han ido a dos país, es similar a que estén solicitando los que han ido a 2 ó 3 países:
10%+16%+3%+5%=34%
Solución de d: Los que han ido exactamente a uno de estos países son aquellos que viajado únicamente a Argentina o únicamente a Bolivia o únicamente a Canadá. En efecto son: 15%+19%+12%=46%
Solución de e: el porcentaje que ha ido a Argentina y no a Canadá corresponde a la sección que está en A, pero no está en C. Por consiguiente, es:
19%+16%=35%
Solución de f: trascrito el problema al lenguaje simbólico la expresión queda:
Trascribiendo la expresión de este enunciado a la teoría de conjuntos se tiene:
La solución se puede ver en el diagrama de la figura 7.15 se tiene: 15%+5%+12%=32%
Otra forma de resolver este problema es: se utilizan los correspondientes valores de verdad de los conectivos lógicos de la expresión dada en lenguaje simbólico, así: seleccione el conectivo principal de cada paréntesis y el de la expresión escrita y ponga verdadero a esos conectivos. Por lo tanto, para que cada paréntesis sea verdadero, escriba la tabla de valores de verdad de cada proposición según el conectivo lógico; entonces, las proposiciones verdaderas las deja como están y las de valores falso, las niega. En efecto,
(Bx v Cx)^¬Ax V V Como la proposición Bx v Cx es compuesta, determine cuáles son los posibles que toma Bx y Cx para que su disyunción sea verdadera.
AUTOEVALUCION 7
16) Resuelva el problema del ejemplo 7.28 las siguientes situaciones
a) El porcentaje que si ha ido a Canadá o a Argentina, entonces no ha ido a Bolivia.
b) El porcentaje que ha ido a Argentina y no a do a Canadá si, y sólo no ido a Bolivia.
17) La revista de la universidad desea incrementar su tiraje y encarga a los estudiantes de comunicación realizar una encuesta entre sus lectores. Esta, tras el correspondiente sondeo, procesa los datos y entrega a la revista las siguientes condiciones sobre sus lectores actuales: 53% son varones, 48% son estudiantes universitarios, 37% viven en Medellín, 8 % son universitarios varones, 16% son varones que viven en Medellín, 10% son universitarios que viven en Medellín, 5% son universitarios varones que viven en Medellín.
El director de la revista, tras examinar los datos, concluye que no son ciertos y se niega a aceptarla. ¿El tiene razón?. ¿Por qué?
18) Se da la siguiente información referente al número de elementos de los subconjuntos A, B, C de cierto conjunto universal U. Determine el número de elementos de los conjuntos:
a) n(a lo sumo están en dos conjuntos)
b) n(mínimo están en dos conjuntos)
c) n(U)
19) En la facultad de administración de una universidad 145 estudiantes del primer nivel toman matemática moderna, 136 administración, 138 economía, 94 toman matemática y administración, 78 economía y matemática, 85 administración y economía, 49 las tres materias y 54 ninguna de las tres materias.
a) Cuántos estudiantes hay en el primer nivel?
b) Cuántos estudian exactamente dos materias?
c) Cuántos estudian al menos una materia?
d) Cuántos estudian máximo una materia?
e) Cuántos estudian administración, pero no matemática?
f) Cuántos estudian economía si y solo si no estudian administración?
20) En una universidad 145 estudiantes presentaron el primer parcial de matemática moderna, en el que 52 perdieron dicho examen. Luego del segundo parcial el resultado fue muy favorable a los estudiantes, habiéndolo ganado 104. Si 34 estudiantes perdieron ambos exámenes ¿Cuántos alumnos aprobaron dichos exámenes? R/. 86
21) En un grupo de 200 atletas hay 148 que tienen sudadera con chaqueta y 66 que tienen pantaloneta con camiseta. ¿Cuántos hay que tienen pantaloneta y camiseta y pantaloneta con camiseta, sabiendo que 28 ni pantaloneta con camiseta ni sudadera con chaqueta? ¿Cuántos tienen únicamente sudadera con chaqueta? ¿Cuántos tienen únicamente pantaloneta con camiseta? R/.14;134; 52
22) En una encuesta hecha a 120 deportistas acerca de los que practicaban fútbol, voleibol y baloncesto, se encontró: únicamente fútbol 14; voleibol, pero no baloncesto ni fútbol 9; únicamente baloncesto 17; fútbol y voleibol, pero no baloncesto 15; fútbol y baloncesto, pero no voleibol 3; voleibol y baloncesto, pero no fútbol 6; ninguno de estos deportes 42.
a) Cuántos practican los 3 deportes?
b) Cuántos si practican fútbol y baloncesto entonces no practican voleibol?
c) Cuantos practican voleibol si y solo si no practican fútbol pero si baloncesto?
d) Cuantos practican al menos 2 deportes? e) Cuántos practican a lo sumo 1 deporte?
23) Haga un programa en cualquier lenguaje, que calcule las operaciones de conjuntos (unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica de conjuntos cualesquiera y complemento de un conjunto dado) y muestre gráficamente los conjuntos.