Aşkın Matematiği-Çözüm

Prof. Dr. Metin O. Kaya

Problem Steven H. Strogatz’in Nonlinear Dynamics and Chaos kitabından alınmıştır.

Aşk Hikayesi

Romeo Juliet’i seviyor, bunu zaten biliyoruz. Ancak hikayemizde Juliet kararsız bir aşık. Romeo, Juliet’i sevdikçe, Juliet uzaklaşıyor ve saklanıyor. Fakat Romeo ümitsizliğe kapılıp uzaklaşınca da Juliet yaklaşmaya başlıyor. Diğer yandan Romeo, Juliet onu sevdikçe aşkı artıyor, soğudukça o da soğuyor.

R(t) t anında Romeo’nun Juliet’e olan aşk/nefret oranı

J(t) t anında Juliet’in Romeo’a olan aşk/nefret oranı

olarak verilmiştir.

R ve J’de pozitif işaret sevmeyi, negatif işaret ise nefreti belirtmektedir. Burada zamanla değişim olduğu için problemimizi matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz.

a ve b pozitif parametrelerdir.

Birinci denklemin türevini alıp ikincide yerine koysak veya ikinci denklemin türevini alıp birincide yerine koysak aşağıdaki denklemleri elde ederiz.

Bu denklemlerin çözümünün de Sinüs (veya Cosinüs) fonksiyonu olduğunu biliyoruz.

Görüldüğü gibi her ikisinin de Aşk/Nefret oranı artıp azalmakta hatta tersine dönmektedir.

Aşıklar Kavuşacaklar mı?

Romeo ve Juliet’in birbirlerine göre aşk/nefret durumlarını bulalım. Bunun için faz diyagramını çizmemiz gerekiyor.

Bu denklemi lineer diferansiyel denklem sistemi şeklinde şu şekilde yazabiliriz.

Burada

ve {x}={R,J} şeklinde verilmektedir.

Bu denklemin faz diyagramını çizebilmek için

şeklinde bir dönüşüm yapıp lineer diferansiyel denklem sisteminde yerine koyarsak problem özdeğer/özvektör problemi haline dönüşür.

Burada da

olduğuna dikkat edilirse en son

denkleminden özdeğerin sanal olduğu ortaya çıkar. Bu da merkez (center) tipi bir faz diyagramına işaret eder.

Sonuç

Şekilden görüldüğü gibi sadece üst çeyrekte aynı anda birbirlerini seviyorlar. Sonuçta 4 zaman biriminin sadece 1'inde beraberler diğer zamanda ayrılar. Sürekli beraberlik yok maalesef.

İlgili Yazı

Aşkın Matematiği-Tuhaf Bir Aşk Hikayesi

Kaynak

Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Perseus Books Publishing

Show your support

Clapping shows how much you appreciated kayam’s story.