Professor Lloyd Shapley, UCLA.

MICROECONOMIA em doses: VALOR DE SHAPLEY
(Rodrigo Peñaloza, 11-II-2016)

Como repartir os custos? Como repartir os ganhos? Em muitas interações econômicas, a cooperação entre indivíduos gera ganhos que devem ser repartidos. Ensina a sabedoria econômica que a parcela de cada agente seja sua contribuição marginal. Se se trata de uma situação em que a cooperação reduz custos, então cada um deveria ter um desconto igual a sua contribuição para a redução de custos. Se se trata de ganhos, então cada um deveria ter um ganho equivalente a sua contribuição marginal para os ganhos totais. O problema é que nem sempre a soma das fatias é igual ao tamanho do bolo. Somente na competição perfeita não teríamos esse problema. Entretanto, é preciso repartir os ganhos ou os custos, conforme o caso. Para fincarmos os pés no chão, vou descrever uma situação de alocação de custos em uma cooperativa habitacional. Mostrarei, então, que isso pode ser descrito como um jogo cooperativo. É o valor de Shapley que dirá quanto cada cooperativado irá pagar. E mais: sua lógica subjacente será intimamente relacionada com a lógica econômica do preço-sombra, que deveria ser algo tão básico para o economista quanto a ideia de custo de oportunidade. Continuemos!

É comum pessoas reunirem-se em cooperativas habitacionais para construírem prédios residenciais ou condomínios fechados. A motivação básica é a economia de custos. Se cada pessoa construísse sua própria casa, o custo de produção seria maior que o correspondente custo quando várias casas são construídas simultaneamente. A economia de custos decorre obviamente dos ganhos de escala. A mesma betoneira pode preparar o cimento para várias casas, os mesmos operários podem trabalhar na construção das casas, usando as mesmas ferramentas. A mesma empreiteira pode se encarregar da construção do condomínio, oferecendo um desconto proporcional ao tamanho do projeto etc. Enfim, há muitas justificativas para as economias de custos proporcionadas pelas cooperativas habitacionais.

O problema econômico enfrentado pela cooperativa habitacional é a repartição do custo total entre os cooperativados. A solução econômica imediata é fazer com que cada cooperativado pague o incremento monetário que sua presença causa nos custos totais de construção do condomínio pela cooperativa. Em outras palavras, cada cooperativado deveria arcar com seu preço-sombra, isto é, com sua contribuição marginal. A dificuldade inerente a essa solução óbvia repousa no fato de que a soma desses pagamentos não necessariamente exaure os custos totais. A não ser que os custos apresentem homogeneidade de primeiro grau, a soma das partes pode ficar além ou aquém dos custos totais.

Vejamos por quê. Imagine que três pessoas querem construir suas casas em um condomínio fechado. Seja c(i) o custo de construção da casa do indivíduo i, se ele agir sozinho. Assim, i denota a coalizão formada pelo indivíduo i sozinho. Se os individuos i e j formarem uma cooperativa, o custo é c(ij). O símbolo ij denota a coalizão formada pelos agentes i e j. Se todos formarem uma cooperativa, o custo total é c(123). As economias de custo decorrentes da cooperação entre os indivíduos refletem-se nas seguintes condições:

c(ij) < c(i)+c(j), para i,j=1,2,3
c(123) < c(1)+c(2)+c(3)

Digamos que:

Na ausência da cooperativa, o custo total de construção é c(1)+c(2)+c(3) = 30. Se os três indivíduos formarem uma cooperativa, o custo total é reduzido para c(123)=25. O preço-sombra do individuo 1 para a economia de custos da cooperativa é dado por ψ(1) = c(123) – c(23) = 25 –19 = 6, ou seja, a diferença entre o custo total da cooperativa com a presença do indivíduo 1 e o custo total da cooperativa sem sua presença. Para o indivíduo 2, ψ(2) = c(123) – c(13)= 25 –15 = 10. Para o indivíduo 3, ψ(3) = c(123) – c(12) = 25 – 20 = 5. A soma dos preços-sombra dos indivíduos é ψ(1)+ψ(2)+ψ(3) = 6+10+5 = 21, que é menor que c(123)=25. Logo, se cada cooperativado internalizar sua contribuição marginal social via redução de seu custo individual por seu preço-sombra, o montante arrecadado será inferior ao necessário. Como resolver esse problema? Uma solução é a alocação de custos pelo valor de Shapley.

Para início de conversa, considere uma coleção N de n indivíduos. Uma coalizão (ou grupo) de indivíduos é qualquer grupo de indivíduos. Pode ser o grupo formados por todos os n indivíduos, pode ser o grupo formado apenas por um único indivíduo, um grupo formado por dois indivíduos ou um outro grupo formado por outros dois indivíduos. Não importa. Uma coalizão é somente um grupo de pessoas. Matematicamente, uma coalizão é um subconjunto S⊂N.

Se o indivíduo i∈N age isoladamente, ele recebe um benefício líqüido (medido em termos monetários) dado por υ(i). Se ele age em conjunto com membros de uma coalizão S, então a coalizão recebe um benefício líqüido υ(S). Toda a sociedade N é, em particular, uma coalizão, ou melhor, é a maior coalizão possível. Se todos os indivíduos agem cooperativamente, a sociedade recebe um beneficio líqüido υ(N). O número υ(S) é dito o valor da coalizão S. Se denotarmos por C o conjunto de todas as coalizões possíveis, então o valor pode ser visto como uma função υ:C→R. Essa função recebe o nome de função característica.

Para que a cooperação entre os indivíduos seja economicamente relevante, devemos supor que a função característica satisfaz as seguintes condições:

(a) υ(∅)=0
(b) υ(S∪T)≥υ(S)+υ(T), ∀S,T∈C tais que S∩T=∅

A condição (a) diz que a coalizão vazia não tem valor. A condição (b), conhecida por propriedade super-aditiva, diz que se os membros de duas coalizões disjuntas S e T juntarem esforços, o valor da coalizão resultante, S∪T, é maior que (ou igual a) a soma dos valores das coalizões iniciais. A propriedade super-aditiva é a que explicita o fato de que a cooperação gera valor. Ela implica que o maior valor possível, υ(N), é atingido quando todos cooperam.

O par (N,υ) é dito jogo cooperativo com pagamentos laterais. O problema que nos interessa agora é a repartição do ganho total entre os indivíduos. Seja Φ[i,υ] a parcela do ganho total υ(N) que cabe ao indivíduo i. Seja Φ[υ]=(Φ[1,υ],…,Φ[n,υ]) o perfil de distribuição do ganho total, também chamado função-solução. Em outras palavras, a função-solução diz quanto cada um recebe. Shapley considerou razoáveis os seguintes axiomas, que eu vou descrever em palavras apenas, não em símbolos matemáticos:

(EF) Eficiência: O ganho total deve ser inteiramente repartido entre os indivíduos.
(AN) Anonimato ou simetria: Não importam os nomes dos indivíduos, apenas seus valores e suas influências sobre os valores das coalizões a que porventura possam pertencer.
(AD) Aditividade: Se os indivíduos jogam entre si dois jogos distintos, a soma dos valores de cada coalizão em cada jogo é igual ao valor da coalizão em um jogo maior (definido pela soma). Assim, um jogo não influencia o outro.
(JD) Jogador dummy: Se a presença de um jogador em qualquer coalizão não gera valor adicional, além do da coalizão mesma e do seu, então ele não pode receber outra coisa senão seu próprio valor.

Shapley mostrou que a única função-solução que satisfaz os axiomas acima é a distribuição Φ[υ]=(Φ[1,υ],…,Φ[n,υ]) definida por:

em que s é o número de membros da coalizão S e S\i é a coalizão S subtraída do indivíduo i. Especificamente, você considera uma coalizão S à qual o indivíduo i pertença e considera o valor dessa coalizão, que é υ(S). Depois retira o indivíduo i e considera o valor da coalizão S sem o indivíduo i, isto é, υ(S\i). A diferença υ(S) – υ(S\i) mede, portanto, o impacto marginal da participação de i na coalizão S, ou seja, é o preço-sombra do indivíduo i para a coalizão S. Como, por hipótese, a cooperação gera valor, então é óbvio que υ(S) – υ(S\i)>0. Sei que ainda pode estar um tanto complicado entender a fórmula acima, mas vou dar uma versão alternativa que a torna bem intuitiva.

O número Φ[i,υ] é dito o valor de Shapley do indivíduo i. O que ele significa? Uma maneira de interpretar o valor de Shapley é a seguinte. Suponha que todos os jogadores são ordenados em um fila e que o jogador i está em uma posição na fila. Ele e os indivíduos que o precedem na fila formam uma coalizão S, cujo valor é υ(S). Se considerarmos apenas os indivíduos que precedem i na fila, temos a coalizão S\i, cujo valor é υ(S\i). A diferença υ(S) – υ(S\i) é, portanto, o preço-sombra do individuo i para o valor da coalizão S, ou seja, é o quanto o indivíduo i contribui para os membros de S.

O termo (s-1)!(n-s)! é o número de permutações de N nas quais o indivíduo i é precedido exatamente pelos seus colegas da coalizão S, enquanto que n! é o número total de permutações. Assim, podemos interpretar o coeficiente:

como a probabilidade de o indivíduo i pertencer à coalizão S. Portanto, o valor de Shapley de um indivíduo é justamente a média das contribuições marginais do individuo para as coalizões das quais ele pode fazer parte.

Quando o número de jogadores é muito grande, essa contribuição marginal média converge para a contribuição marginal social, de modo que podemos usar o valor de Shapley como uma medida da contribuição marginal com a vantagem de que a soma das contribuições marginais médias exaure o ganho total.

Voltemos ao problema da repartição dos custos entre os membros da cooperativa habitacional. Vamos definir o valor de cada coalizão como a economia de custos que ela promove. Recorde que:

Se um indivíduo age isoladamente, ele não consegue reduzir o custo de produção de sua casa. Assim, υ(1)=υ(2)=υ(3)=0. Se os indivíduos 1 e 2 se juntam, a economia de custos que eles conseguem é c(1)+c(2) – c(12)=2. Portanto, υ(12)=2. Se os indivíduos 1 e 3 se juntam, a economia de custos que eles conseguem é c(1)+c(3) – c(13)=3. Portanto, υ(13)=3. Se os indivíduos 2 e 3 se juntam, a economia de custos que eles conseguem é c(2)+c(3) – c(23)=1. Portanto, υ(23)=1. Se todos se juntam, a economia é c(1)+c(2)+c(3) – c(123)=5. A tabela abaixo resume os cálculos feitos:

Vamos usar o procedimento de ordenar os indivíduos em fila:

Considere a primeira linha, 123. Os indivíduos chegam nessa ordem: primeiro chega i=1, depois i=2 e, por fim, i=3. O indivíduo 1 é o primeiro da fila e tem valor nulo, υ(1)=0. Quando o indivíduo 2 chega, forma-se a coalizão 12, cujo valor é υ(12)=2, de modo que o indivíduo 2 contribui marginalmente com υ(12) – υ(1)=2. Depois chega o indivíduo 3, com cuja presença forma-se a coalizão 123, cujo valor é υ(123)=5. A contribuição marginal do indivíduo 3 é, portanto, υ(123) – υ(12)=5 – 2=3. A primeira linha apresenta as contribuições marginais de cada indivíduo quando a fila é formada na ordem 123, de modo que (0,2,3) é o vetor que aparece na primeira linha.

Considere a terceira linha, 213. Os indivíduos chegam nessa ordem: primeiro chega i=2, depois i=1 e, por fim, i=3. O indivíduo 2 é o primeiro da fila e tem valor nulo, υ(2)=0. Quando o indivíduo 1 chega, forma-se a coalizão 12, cujo valor é υ(12)=2, de modo que o indivíduo 1 contribui marginalmente com υ(12) – υ(2)=2. Depois chega o indivíduo 3, com cuja presença forma-se a coalizão 123, cujo valor é υ(123)=5. A contribuição marginal do indivíduo 3 é, portanto, υ(123) – υ(12)=5–2=3. A terceira linha apresenta as contribuições marginais de cada indivíduo quando a fila é formada na ordem 213, de modo que (2,0,3) é o vetor que aparece na terceira linha.

Considere a quarta linha, 231. Os indivíduos chegam nessa ordem: primeiro chega i=2, depois i=3 e, por fim, i=1. O indivíduo 2 é o primeiro da fila e tem valor nulo, υ(2)=0. Quando o indivíduo 3 chega, forma-se a coalizão 23, cujo valor é υ(23)=1, de modo que o indivíduo 3 contribui marginalmente com υ(23) – υ(2)=1. Depois chega o indivíduo 1, com cuja presença forma-se a coalizão 123, cujo valor é υ(123)=5. A contribuição marginal do indivíduo 1 é, portanto, υ(123) – υ(23) = 5 – 1 = 4. A quarta linha apresenta as contribuições marginais de cada indivíduo quando a fila é formada na ordem 231, de modo que (4,0,1) é o vetor que aparece na quarta linha.

Raciocínio análogo aplica-se a todas as demais linhas. A última linha apresenta o total das contribuições marginais de cada indivíduo para as ordenações possíveis de filas. Como há seis filas possíveis, dividimos esse vetor total por seis, obtendo o valor de Shapley para cada indivíduo:

O ganho total é υ(123)=5, que é a economia de custos quando os indivíduos formam a cooperativa habitacional. Esse ganho social é repartido entre os indivíduos segundo o valor de Shapley de cada um. Note que:

Recorde que o custo arcado pela cooperativa habitacional é c(123)=25. Como, afinal, deve esse custo ser alocado entre os membros da cooperativa? Cada indivíduo deve internalizar a média de suas contribuições marginais, de modo que cada um subtrai de seu custo individual o seu valor de Shapley:

Do total c(123)=$25 que a cooperativa habitacional deve pagar, o indivíduo 1 paga $7,83, o indivíduo 2 paga $10,83 e o indivíduo 3 paga $6,34. Note que: $7,83+$10,83+$6,34=$25.

A alocação de custos pelo valor de Shapley fornece, assim, um critério econômico para a repartição de custos decorrentes de ações cooperativas. Existem evidentemente várias aplicações do valor de Shapley. Cito algumas. (a) Vários aviões de diferente porte utilizam a mesma pista de pouso em um aeroporto, sendo que o trecho de pouso acarreta um custo, e você quer saber quanto cobrar por cada pouso de cada avião. (b) Em uma rodovia os veículos são divididos de acordo com seu porte (o número de eixos, de rodas e o tamanho). Sabendo qual o custo causado por cada veículo no trecho da rodovia, você quer determinar qual deve ser a tarifa de pedágio para cada tipo de veículo. (c) Em uma economia, no contexto de equilíbrio geral, queremos saber qual a relação entre os excedentes recebidos por cada agente em equilíbrio e os excedentes que receberiam pelo valor de Shapley. A resposta é que se o número de agentes aumentar indefinidamente (para infinito), a distribuição do excedente total pelo pelo valor de Shapley tenderá para a distribuição do excedente total competitivo dado pela alocação de equilíbrio de Walras. (d) Em uma democracia como a dos Estados Unidos, em que colégios eleitorais elegem o presidente, o sistema de votação majoritária pode ser descrito por um jogo cooperativo. O valor de Shapley é, então,usado para mensurar o poder decisório de cada estado da Federação. É evidente que o valor de Shapley também se aplica a vários outros critérios de votação.

Espero que esta dose cavalar de Microeconomia tenha servido para despertar o interesse de alguns para a Microeconomia. Apenas fique claro que, quanto à Microeconomia, o buraco é muito mais embaixo do que os economistas “famosos” que odeiam a Teoria Econômica mainstream tentam fazer crer. Não porque sejam maldosos. É por pensarem que sabem, não sabendo.