Marquês de Condorcet.

O PARADOXO DO VOTO
(Rodrigo Peñaloza, 8-V-2016)

Uma das áreas mais interessantes da Microeconomia é a Teoria da Escolha Coletiva, cujo maior expoente no século XX é Kenneth Arrow. Em sua tese de doutorado, Arrow encerrou, em pouquíssimas páginas, um debate que se prolongava, como mostrarei adiante, por quase mil anos. Sua teoria foi publicada em 1951 no livro Social Choices and Individual Values, que deve ser leitura obrigatória entre economistas e cientistas políticos. Ele provou que nenhum método de votação, seja existente ou imaginável, seja hoje ou daqui a 1.000 anos, seja aqui ou em Marte, irá satisfazer a certas propriedades que são tidas como bastante razoáveis: os axiomas de Arrow. Leia sobre isso no meu texto “A mecânica democrática da rejeição ao governo do PT: majoritariamente eleito mas rejeitado pela maioria.

Desde a Idade Média já se sabia que os métodos de votação apresentavam resultados que às vezes eram esquisitos. O resultado esquisito mais popular é o Paradoxo do Voto ou Paradoxo de Condorcet, que ora apresento. Conto, antes, suas origens para, em seguida, dizer o que precisamente é o paradoxo do voto e quais as suas características. No fim, como ilustração, mostro que a decisão do Congresso americano sobre a forma de financiamento do combate à Grande Depressão nos anos 30 pelo governo Hoover foi uma instância em que o paradoxo do voto e suas esquisitices entraram em ação.

1. Origens

O século XVIII foi profícuo em intelectuais que defenderam a liberdade, os direitos naturais e a Democracia. Entre eles estava Nicolas de Condorcet (1743–1794), um pensador liberal que, tendo sido preso durante a Revolução Francesa por suas críticas às autoridades revolucionárias, acabou morrendo na prisão.

Em 1785, Condorcet publicou em Paris um ensaio intitulado Essay sur l’Application de l’Analyse à la Probabilité des Décisions Rendue à la Pluralité des Voix e no qual revela o tipo de agregação de preferências que está por trás do sistema de votação majoritária: o pairwise majority voting (votação majoritária por pares). Ele já sabia que qualquer decisão é uma escolha entre duas alternativas. De fato, quando o número de alternativas é maior, o que se passa na mente do tomador de decisão é uma comparação por pares. Em uma linguagem moderna, ele percebeu que a ordenação de preferência individual é uma relação binária.

As principais lições que o paradoxo do voto nos dá são duas: (1) mesmo que todos os eleitores sejam racionais em suas escolhas, o método de eleição pode fazer com que a massa de eleitores como um todo apresente irracionalidade coletiva e não se consiga chegar a um resultado final; (2) tentativas de corrigir essa inconsistência podem trazer resultados estranhos.

Entretanto, esse paradoxo não era uma novidade à época. O pensador medieval catalão Ramon Llull (c. 1235–1315) já propusera o pairwise majority voting. Aliás, ele propôs outros métodos de votação também, todos com evidente sagacidade combinatória. Não é, portanto, algo novo. Ramon Llull compreendia muito bem a importância dos estudos sobre métodos de votação. Em 1299, em De Arte Electionis, propondo um método diferente para eleição eclesiástica, ele justificou: “Porquanto uma boa eleição na Santa Igreja é bastante necessária para eleger pessoas comuns quando, pelas mesmas, a Igreja seja governada e as mesmas lutem contra os inimigos da Igreja que cometem pecados como os infiéis e os hereges” (Quoniam bona eleccio in sancta ecclesia est valde necessaria ad eligendum personas communes cum per ipsas ecclesia gubernetur et ipse pugnent contra ecclesie inimicos qui faciunt peccata ut infideles et scismatici).

2. O paradoxo do voto

O insight de Condorcet, entre outras coisas, foi mostrar que a racionalidade das ordenações individuais de preferência nem sempre se transporta para a ordenação coletiva. Racionalidade aqui é caracterizada simplesmente pela condição de transitividade das escolhas. Se o eleitor prefere A a B (o que simbolizamos por A>B) e se prefere B a C (ou seja, B>C), então ele prefere A a C (isto é, A>C). Esses três pares de decisões podem ser representados em um único símbolo que contém todas essas informações: A>B>C. Ordenação coletiva é apenas um nome técnico para sistema de votação.

Ora, a eleição majoritária é um sistema de votação. Os eleitores vão às urnas e depositam o seu voto. O eleitor que tem a ordenação A>B>C vota em A, o seu candidato preferido. O eleitor que tem a ordenação B>C>A vota em B, o seu candidato preferido. O eleitor que tem a ordenação C>A>B vota em C. Imagine que para 1/3 dos eleitores, A>B>C, que para outro 1/3 tenhamos B>C>A e que para o último 1/3 tenhamos C>A>B. Neste caso, o resultado da eleição majoritária é indeterminado: cada candidato recebe 1/3 dos votos e ninguém é eleito pelo método majoritário. Mesmo que a distribuição de votos não seja 1/3 pra cada, o problema pode persistir. Se 40% dos eleitores têm A>B>C, 35% têm B>C>A e 25% têm C>A>B, ainda assim nenhum candidato consegue 50% dos votos mais um. Estamos falando aqui de maioria absoluta, não de maioria simples.

Condorcet percebeu que o problema era a intransitividade da ordenação coletiva. Na situação em que o eleitor 1 possui a ordenação A>B>C, o eleitor 2 a ordenação B>C>A e o eleitor 3 C>A>B, então, entre A e B, o candidato A recebe 2/3 dos votos e, portanto, é socialmente preferido a B. Escrevemos essa decisão pelo símbolo A»B. Fazendo o mesmo para os pares (B,C) e (A,C), encontramos B»C e C»A. Desse modo, a ordenação coletiva é A»B»C»A, que é intransitiva ou irracional. Se um indivíduo manifestasse essa ordenação, acharíamos, no mínimo, estranho. O que se observa na intransitividade é um ciclo do qual não se sai: A é melhor que B, que é melhor C, que melhor que A, que é melhor que B, que é melhor que C, que é melhor que A…

Preferências cíclicas.

Esse problema entrou para a literatura como o Paradoxo de Condorcet ou Paradoxo do Voto. A irracionalidade caracterizada pela intransitividade da ordenação de preferência é um fenômeno efêmero, não pode perdurar por muito tempo. Isso é obviamente fato no nível individual e é também no nível social ou coletivo. A persistência da intransitividade leva as pessoas ou o grupo a eventualmente reverem suas preferências ou seu critério de agregação de preferências. O argumento para isso é basicamente evolucionário, como mostro no texto “A irracionalidade não pode persisitir para sempre.

O Paradoxo do Voto apresenta ainda outras esquisitices. Já que não há vencedor, pode-se quebrar o ciclo de diversas formas. A mais simples é a seguinte. Retira-se um candidato do páreo, digamos o candidato A, e procede-se a uma eleição majoritária com os candidatos restantes, B e C. O vencedor da eleição entre B e C compete, então, numa segunda etapa, com o candidato A. O que acontece? Lembre que:

eleitor 1: A>B>C
eleitor 2: B>C>A
eleitor 3: C>A>B

Se A se retira, temos:

eleitor 1: B>C
eleitor 2: B>C
eleitor 3: C>B

Por votação majoritária, B vence e competirá com A na etapa seguinte. O candidato C está fora: O quadro original sem C é:

eleitor 1: A>B
eleitor 2: B>A
eleitor 3: A>B

Logo, o candidato A vence. Ele é o vencedor de Condorcet.

O esquisito, no entanto, é que, se o candidato retirado inicialmente fosse B, no fim o vencedor de Condorcet seria B. E se o retirado fosse C, seria C. Assim, em qualquer eleição em que se configurasse o paradoxo do voto e em que se procedesse, em virtude disso, a uma quebra de ciclo como a descrita acima, o vencedor de Condorcet será sempre o candidato retirado inicialmente. Foi precisamente esse fenômeno que ocorreu no Congresso americano, como passo a narrar.

3. O Ato da Receita de 1932: combatendo a Grande Depressão

Evidências empíricas do paradoxo do voto encontram-se aos borbotões. Como ilustração, valho-me aqui do artigo “The closed rule and the paradox of voting”, de John Blydenburgh, Journal of Politics 33: 57–71, de 1971.

Em 1932, a US House of Representatives, a Câmara Baixa dos Estados Unidos, teve que votar sobre um projeto de aumento de impostos: a Revenue Act of 1932. Havia a necessidade de se arrecadar mais de um bilhão de dólares para custear as tentativas da Administração Hoover de combater a Grande Depressão. A principal característica do projeto era um imposto de 2,5% sobre as vendas (S: sales tax) que incidia sobre companhias que fizessem mais de 20.000 dólares anuais. No curso das deliberações, duas outras alternativas surgiram: um imposto sobre mercadorias (E: excise tax) que taxaria pesadamente apenas certas indústrias e um imposto sobre a renda (I: income tax).

Dos 396 deputados que efetivamente participaram da votação, 10 se abstiveram. Para os 386 restantes, Blydenburgh determinou o seguinte padrão de preferências:

Assim, o grupo A, com 162 deputados, apresentou a ordenação I>E>S. Isso significa que, para os membros do grupo A, a alternativa I é preferida à alternativa E, ou seja, I>E; a alternativa E é preferida à alternativa S, ou seja, E>S; e, além disso, por transitividade das escolhas, a alternativa I é preferida à alternativa S. Quanto ao grupo E, pode-se notar que suas preferências não eram completas, pois o grupo manifestou apenas S>E e S>I, não havendo uma decisão específica quanto ao par formado pelas alternativas E e I. Blydenburgh, para simplificar a análise, supôs que, na verdade, havia uma indiferença, S∼I, para os membros do grupo E. Os membros do grupo F opunham-se a quaisquer impostos.

Se observarmos os dados da tabela, notamos que, comparando as alternativas E e S, a alternativa E recebeu 200 (= 162+38) votos contra 156 (= 16+69+ 71) em favor de S, de modo que, socialmente, E»S. Eu uso símbolo “»” para denotar a ordenação coletiva, que é definida como o resultado da votação majoritária por pares de alternativas. Comparando as alternativas S e I, observamos que a alternativa S recebeu 194 (=38+16+69+71) votos contra 162 em favor de I, de modo que, socialmente, S»I. Entre I e E, contamos 162 votos para I contra 123 (=38+16+69) em favor de E, de modo que, socialmente, I»E.

Note que o grupo E, com 71 membros, é indiferente entre E e I. Como eles votaram? Os números que eu dei acima na decisão entre E e I foram obtidos desconsiderando-se o grupo F. É porque não há perda de generalidade em fazer isso, pois o que importa é que E teve mais votos que I. Como os membros de E eram indiferentes, podemos assumir que eles votaram de acordo com a maioria observada na Casa. Evidentemente isso significa que todos os membros de E votaram, na hora H, em favor de I. Para quem acha que essa hipótese é muito forte, pode-se dar um argumento mais brando. Se usarmos a distribuição de votos observada no resto da Casa (que era de 57% = 162/285 em favor de I contra 43% = 123/285 em favor de E) quanto a E e I como um estimador da distribuição de votos dentro do grupo E, então 40 (=57% de 71) membros de E votaram em I e 31 (=43% de 71) membros de E votaram em E. Isso não mudaria o resultado final. Seria preciso que 40 membros de E votassem em E e apenas 31 em I para que o resultado final entre E e I fosse uma preferência social por E contra I, ou seja, que mais de 56% dos membros de E escolhessem E. Todas essas elucubrações são possíveis. Porém, dado o resultado observado, o mais plausível é que os membros de E tenham realmente seguido a maioria observada na Casa e que o tenham feito mais ou menos em bloco, mantendo-se, assim, uma diferença de mais ou menos 39 votos em favor de E contra I.

Observe que em todas as situações, a presença do grupo F foi irrelevante, pois o seu número de 30 membros era insuficiente para reverter as decisões por pares pelo resto da Casa.

Resumindo:

(a) entre E e S, a preferência coletiva foi: E»S
(b) entre S e I, a preferência coletiva foi: S»I
(c) entre I e E, a preferência coletiva foi: I»E

Portanto, a ordenação coletiva, E»S»I»E, era intransitiva, configurado-se o paradoxo do voto.

Na ocasião, devido aos procedimentos prevalecentes de votação, que levaram a diversas rodadas de discussão e votação, o paradoxo do voto não se verificou na prática. A razão para isso foi que, devido à agenda, o imposto sobre a mercadoria (alternativa E) foi deixado por último, procedendo-se, inicialmente, a uma decisão sobre o par de alternativas S e I, a vencedora competindo, então, com E. O projeto vencedor foi a alternativa E, de modo que o imposto sobre a mercadoria foi a grande fonte de financiamento do combate à Grande Depressão. O que se verificou na prática foi a esquisitice inerente ao paradoxo do voto. Essa esquisitice é uma variante do que a literatura chama de manipulação. Alguém muito sabido propôs retirar E e proceder com a votação entre I e S, para só então a proposta vencedora competir com E. Não me surpreendo de E ter vencido.