TARIFAS DE PEDÁGIO PELO VALOR DE SHAPLEY
(Rodrigo Peñaloza, 10-VI-2017)

Pedágio não é um assalto. É a cobrança por custos incorridos. É claro que o valor dependerá da tecnologia utilizada, dos custos de mão-obra e também do número médio e dos tipos de veículos que passam por dia ao longo de cada trecho. Como calcular tarifas de pedágio? A ideia básica repousa no conceito de contribuição incremental de cada veículo para os custos. Se há economias de custos de acordo com o volume de veículos, máquinas ou pessoal, então entramos na área dos jogos cooperativos. O custo torna-se uma função sub-aditiva do número ou tipos de veículos. Portanto, não é tão trivial repartir os custos, ou melhor dizendo, alocá-los. Uma maneira de fazer isso é pelo valor de Shapley. (Para saber mais, clique aqui para ler Microecomomia em doses: valor de Shapley). Vou explicar por um exemplo simples, só pra dar a ideia geral.

Considere um trecho de 10km de rodovia e suponha que há três tipos de veículos: (A) moto, (B) de passeio e (C) caminhão. A moto causa um dano de $2 no trecho, o carro de passeio um dano de $4 e o caminhão um dano de $10. Por dia passam 2.000 motos, 7.000 carros de passeio e 1.000 caminhões. Chame esse custo de custo de material (o que precisa ser reposto na pista, as máquinas etc.). Existe um custo de pessoal: equipe técnica de vigilância rodoviária, bombeiros, médicos etc., sempre à disposição. Para esse tipo de custo existem economias. Uma equipe especializada em apenas um grupo custa $1.200, uma especializada em dois grupos custa $2.000 e uma especializada nos três custa $2.100, independentemente do número de veículos.

Como passam 2.000 motos, o custo é 2.000x2+1.200=5.200. Assim, o custo do grupo A (motos) é c(A)=$5.200. Como passam 7.000 carros de passeio, o custo deles é 7.000x4+1.200 =29.200. Assim, c(B)=$29.200. Finalmente, procedendo do mesmo modo, c(C)=$11.200. Se passassem apenas veículos do tipo A e B, o custo seria 2.000x2+7.000x4+2.000 =34.000. Então c(AB)=$34.000. Se apenas A e C, 2.000x2+1.000x10+2.000 = 16.000, ou seja, c(AC)=$16.000. Analogamente, c(BC)=$40.000. Finalmente, considerando todos os veículos, 2.000x2+7.000x4+1.000x10 +2.100 = 44.100, ou seja, c(ABC)=$44.100. Em suma:

c(A)=5.200
c(B)=29.200
c(C)=11.200
c(AB)=34.000
c(AC)=16.000
c(BC)=40.000
c(ABC)=44.100

Um conjunto de tipos diferentes de veículos é dito uma coalizão. O valor de uma coalizão é a economia de custo que ela traz. Sozinho, nenhum grupo gera economia. Mas a coalizão {A,B} tem um custo c(AB)=34.000, que, comparado com a soma c(A)+c(B)=34.400, dá uma economia de 400. Logo o valor de {A,B} é v(AB)=400. Repetindo essa conta, temos:

v(A)=0
v(B)=0
v(C)=0
v(AB)=400
v(AC)=400
v(BC)=400
v(ABC)=1.500

Vamos calcular o valor de Shapley de cada grupo de veículos. Fazemos assim. De quantos modos podemos enfileirar os grupos? 6 modos. Por exemplo, ABC, isto é, primeiro o A, depois o B e depois o C. O grupo A sozinho vale zero, pois v(A)=0 (não gera economia de custo). Depois chega o B e forma com A a coalizão {A,B}, cujo valor é v(AB)=400. Então B contribui com 400 para essa economia de custo. Depois chega C e forma a coalizão {A,B,C} com os que estavam na fila, {A,B}. O valor de {A,B,C} é v(ABC)=1.500. Logo, C contribui com mais 1.100 (pois 1.500–400=1.100) para a coalizão {A,B} que já estava na fila. Isso explica a 1a linha da tabela abaixo. Em cada linha colocamos os possíveis modos de ordenação dos veículos. Nas colunas A, B e C colocamos a contribuição incremental do veículo correspondente para a coalizão descrita na linha, por ordem de chegada.

Em seguida, calculamos a média (sobre um total de 6 modos de fila) para cada coluna. Esse é o valor de Shapley pra cada grupo de veículos. Por exemplo, a média da coluna A é (0+0+400+1.100+400+1.100)/6=500. Então o valor de Shapley do grupo A (moto) é Sh(A)=500. Procedendo dessa forma, Sh(B)=500 e Sh(C)=500.

As tarifas de pedágio serão os custos do grupo subtraídos do respectivo valor de Shapley. Por exemplo, o grupo A (moto) causa um custo de c(A)=5.200. Subtraindo seu valor de Shapley Sh(A)=500, sua tarifa total será T(A)=4.700. Calculamos, assim, as tarifas de pedágio para cada veículo:

T(A)=$4.700
T(B)=$28.700
T(C)=$10.700

Note que a soma dessas tarifas totais por grupos é 4.700+28.700+10.700 = 44.100, que é o custo de manter o trecho da rodovia por dia.

Como são 2000 motos, cada moto paga uma tarifa de pedágio igual à duomilésima parte de $4.700, ou seja, cada moto paga P(moto)=$2,35. Similarmente, cada veículo de passeio paga ($28.700)/7.000 = $4,10. Por fim, cada caminhão paga ($10.700)/1.000 = $10,70. Resumindo, as tarifas de pedágio cobradas de cada tipo de veículo são:

P(moto)=$2,35
P(carro)=$4,10
P(caminhão)=$10,70

Observe que o pedágio que a moto paga é igual ao dano causado, $2 ao longo do trecho, mais $0,35, que é a parcela do custo de pessoal com que ela arca. Raciocínio análogo aplica-se ao carro e ao caminhão.

Se você quiser, pode imaginar que o número de veículos por dia é uma variável aleatória, que cada tipo de veículo é ainda subdividido em outros tipos. Por exemplo, o grupo caminhão pode ser dividido de acordo com o número de eixos e o peso da carga. Existem tabelas que descrevem os custos para cada tipo. Tudo depende de sua imaginação e seu conhecimento sobre as especificidades do problema em questão. O valor de Shapley é uma técnica de uma área da Microeconomia chamada “alocação de custos”: como alocar otimamente os custos entre as partes responsáveis? O cálculo do valor de Shapley que fizemos acima é decorrência de teoremas. Não surgiu ex nihilo. Quem quiser se aprofundar mais, deve estudar Microeconomia e Teoria dos Jogos Cooperativos.

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