[概論] 本篇介紹幾個有關機率分配的專有名詞，以及常用的機率分配。
前言
上一個章節，我們討論到樣本空間是屬於描述型態的(例如:銅板擲兩次出現兩次正面等等)，為了讓世界更能夠溝通，就要利用科學家共同的語言: 數學! 作為分析方法。
沒錯，我們需要將樣本空間給予量化(轉成數字型態)，以便進行接下來的分析。
現在我們先來認識有關機率分配的基礎觀念。
名詞解釋 - 隨機變數
要將描述型態的樣本空間轉成數值，我們會需要一個函數，而這個函數我們就稱為 隨機變數(random variable)。
而隨機變數可分為兩大類，一種為離散型(間斷型)隨機變數，另外一種為連續型隨機變數。
所謂離散型隨機變數，例如故障次數，可以發生1次故障、2次故障等等，1和2之間無法再切分(別跟平均值搞混悠)。
至於連續型隨機變數，例如溫度，可以是攝氏24度、攝氏25度，而24和25又可以再切分為攝氏24.5度等等。
名詞解釋 -機率分配
機率分配依照字面理解，就是機率的分配。前面提到將樣本空間量化後，從隨機變數獲得的可能值，其分配狀態就是所謂的機率分配。
至於機率呈現的方式有很多種，例如:
間斷機率分配、連續機率分配、累積機率分配(cumulative probability)
分別代表機率的數值呈現是間斷型的、連續型的、以及累積型的。
名詞解釋 -聯合機率分配 & 邊際機率分配
前面所討論到的機率分配都是屬於一維的樣本空間(指單一隨機試驗)，但當我們樣本空間是二維，或二維以上的時候呢? 就會考慮到二維以上的隨機變數之機率分配，稱為聯合機率分配(joint probability distribution)。
舉個例子，今天投擲一枚公正的硬幣和骰子，那麼列出所有樣本空間並計算其機率分配，這類就屬於聯合機率分配。
像是樣本空間為{H,5}，代表該隨機試驗為正面硬幣以及點數為5的骰子。
至於甚麼是邊際機率分配(marginal probability distribution)呢?
其實很簡單，邊際機率指的是由計算列總和與行總和所得的數值。
讓我們來看看這張聯合分配的圖表:
該表是一張列出A和B各種可能組合的機率分配圖，而黑色框起來的部分，則是行總和列總，這些計算行總和與列總和所得的數值就是邊際機率，它的分配就屬於邊際機率分配。
而個別的邊際機率分配自然符合一般機率分配的性質: 加總 = 1
名詞解釋 -條件機率分配 & 獨立性
上一章節，我們介紹了何謂條件機率，接著，我們可以來看看兩個獨立的隨機變數之獨立性，在條件機率下具有什麼特性。
假設X與Y是兩個隨機變數，那麼聯合分配以f(x,y)表示，邊際機率分配分別以g(x)、h(y)表示。
要是f(x|y)=g(x)，即代表隨機變數X與Y互相獨立。同理，f(y|x)=h(y)也可稱X與Y互相獨立。
常用的離散型機率分配 -二項分配
機率的概念常常發生在我們日常生活中，然而機率分配千千百百種，什麼情形該使用什麼分配呢? 哪些分配是最常用的呢? 初學者要從何著手呢?
這裡小編哞哞獅(Momus)建議從離散型隨機分配的二項分配開始學習， 為何從二項分配開始呢? 因為生活中最簡單的隨機試驗就是只有兩種結果，像是銅板只有正反兩面，只求正面和反面的機率分配，是不是比求六面的骰子點數的機率分配還來得簡單呢?
而固定 n 次獨立試驗，每次試驗結果只考慮兩種情況(失敗&成功)，則其總合結果之機率分布我們就稱之為二項分配( Binomial distribution)。
例如: 有一場博弈大賽，要丟一枚公正的骰子10次，每一次結果只有兩種(贏&輸)，大於或等於3就是贏，小於3就是輸，此時要解釋各種出現結果，其機率的分配就可以用二項分配呈現囉。
其他離散型機率分配
除了二項分配外，還有幾何分配、超幾何分配、間斷均勻分配、卜瓦松分配、負二項分配、柏努力分配(點二項分配)...等。如果想進一步了解，往後的篇章會有更詳細的介紹。
常用的連續型機率分配 -常態分配
由於自然界或非自然界，常態分配皆普遍存在，因此它幾乎堪稱使用率最高的分配。
例如賽跑時間或是物理學的光子計數，研究者發現透過證明，可以驗證出這些變量幾乎是服從常態分配。
那麼，常態分配長甚麼樣呢，我們來看看下面這張圖:
這個鐘形曲線就是稱為常態分布，也叫高斯分布。最早是由亞伯拉罕(Abraham de Moivre)於1733年發現此分配。
期望值 μ 等於位置參數，用來決定分布的位置。
標準差 σ 等於尺度參數，用來決定分布的幅度。
將近有68%的數值，落在平均數 ± 1個標準差間、 95%的數值，落在平均數 ± 2個標準差間、99.7%的數值，落在平均數 ± 3個標準差間。而在學術界，大家最常會將95%的數值拿來做研究。
至於常態分配有甚麼應用呢? 下方就來舉一個範例!
假設某企業每月營業額符合常態分配，其平均值為150萬，標準差為7萬。如此可以推斷某一月份之營業額在140萬至160萬之間的機率為何了!
此外，其他分配在某些情況下，經由適度轉換，也會成為常態分配。像是試驗次數n 越大時，二項分配會近似於常態分配，這理論則是統計學最重要的一個定理: 中央極限定理(Central Limit Theorem)!
其他連續型機率分配
其他常見的連續型機率分配包括連續均勻分配、常態分配、標準常態分配、指數隨機變數、伽碼(Gamma)分配、卡方分配、以及貝他(Beta)分配等。往後也有相關篇章更詳細的介紹。
名詞解釋 -機率密度函數
最後和大家介紹本章節最後一個名詞: 機率密度函數。
在理解機率密度函數前，我們要先知道何謂密度函數。密度的概念是從物理學來的， 是指一物質單位體積下的質量。
然而，一個點的體積是無限小，因此質量必為0。那麼整個物體的質量怎麼計算呢?
由於物體是由無數個點組成，因此可以在一個點的附近取一小塊，用這一小塊的質量除以體積，然後取極限(體積無限小)，即為密度的概念。相反地，密度透過積分可以計算出物體的質量。
了解物體密度的概念後，我們就可以很容易理解機率密度。
如下圖機率的區間從0到1，要在這個區間隨機取一個點，而這個點的機率是多少呢? 由於一個點的長度是無限小，所以機率一定為0。那麼我們就要在這個點附近取一個區間段，利用該區間段的機率除以長度，再取極限後可以得到機率密度的值。
相反地，機率密度透過積分可以計算出該區間段上的機率。
而離散型隨機變數和連續型隨機變數各有對應的機率函數名稱:
離散型隨機變數對應的機率函數，稱為Probability function(pf)或是Probability mass function。
連續型隨機變數所對應的機率密度函數稱為Probability density function (pdf)。
結尾
恭喜各位初步了解機率分配的相關基礎知識!!
下一章將會介紹抽樣與抽樣分配。
最後，如果喜歡這篇文章，請按下方的拍手鍵，來點掌聲和鼓勵。Thanks!
