Фрактальная математика. Основные положения
Бенуа Мандельброт создал фрактальную математику для описания природных процессов, которые до этого казались непредсказуемыми и неформализуемыми. Название фрактал в переводе с латинского (лат. fractus) означает дробный, разбитый, однако у него нет строгого определения и оно не является математическим термином.
Фракталы — объекты дробной размерности, которые обладают свойством масштабной инвариантности, или «самоподобия», когда изменение масштаба не меняет их структуры.
Математическая структура фракталов, которая, с одной стороны, обладает поразительной сложностью, а с другой стороны, может быть воспроизведена с помощью очень простой итерационноой процедуры.
Фракталы окружают нас повсюду. Снежинки и морозные узоры на стеклах, облака и молнии, очертания береговой линии. В живой природе — морские ежи, морские звезды, капуста броколли, система кровообращения и бронхи животных и людей.
Однако природные объекты не являются идеальными фракталами в классическом их понимании, потому что для природных фракталов нельзя бесконечно уменьшать масштаб, все упирается в размер живой клетки, или размер молекул.
Рассмотрим свойства фракталов.
Первое свойство фракталов — нерегулярность.
Нерегулярность фрактала с точки зрения математики будет означать следующее — данная функция не дифференцируемая, то есть не гладкая ни в какой точке на всем своем протяжении. Фрактал все время остается сложной структурой, в каком приближении его не рассматривать.
Второе свойство фракталов — самоподобие.
Самоподобие означает, что каждая, отдельно взятая часть фрактала, повторяет в своем развитии, развитие всего фрактала в целом и воспроизводится в различном масштабировании без видимых изменений. Структура, которую объект имеет на «микроуровне», повторяется в нем и на «макроуровне»
Третье свойство фракталов — дробная размерность.
В отличие от привычной геометрии Евклида, фрактальная размерность может быть дробной. Например, кривая с фрактальной размерностью очень близкой к 1, скажем 1,10, ведёт себя вполне как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1,9 намотана в пространстве, почти как поверхность.
В общем случае фракталы бывают детерменированные (однозначно предопределенные) и недетерминированные (или стохастические). Детерминированные фракталы в свою очередь разделяют на: геометрические (или конструктивные) и алгебраические.
Где на практике применяются фракталы?
Конечно, в математике, где теория фракталов является ступенькой, чтобы выйти на следующий уровень познания мира, позволяющей выполнять более сложные исследования. Фракталы позволяют описывать сложные процессы: социальные, политические, экономические. Фракталы используются для моделирования компьютерных изображений, для сжатия информации. Перспективное сейчас направление — разработка новых материалов с фрактальной структурой, такие материалы будут легкими, прочными и экономичными.
Как построить фрактал?
Основным методом для построения математических фракталов служит итерация, то есть многократное повторение определённой геометрической операции. Причем фрагмент геометрического фрактала (фрагмент — потому что фрактал бесконечен) может построить с помощью карандаша и линейки даже человек, далекий от математики. Такая доступность не характерна для современной математики, где все объекты задаются с помощью специальных слов и символов, и требуется подготовка, чтобы оперировать ими.
Для примера рассмотрим построение фрактала «Дерево Пифагора». Он называется так потому, что, во-первых,напоминает дерево. А во-вторых, каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора, «пифагоровы штаны во все стороны равны».
Чтобы построить фрактал «Дерево Пифагора»
а) Чертим на бумаге квадрат.
б) Строим прямоугольный треугольник на одной из его сторон как на гипотенузе. В самом простом случае прямоугольный треугольник будет равнобедренным (с острыми углами 45°).
в) На катетах этого треугольника строим квадраты (“пифагоровы штаны”).
г) Для этих квадратов повторяются шаги а) — в).
Очевидно, что процесс построения дерева Пифагора по своей сути рекурсивный: построение дерева Пифагора сводится к построению дерева Пифагора меньшего размера.
Таким образом, при построении фрактала вручную наглядно видны его математические особенности:
- в основе сложной фрактальной структуры лежат простые фигуры или линии;
- фрактал получается многократным повторением отдельных шагов — итераций;
- на каждой итерации очевидны свойства фрактала: самоподобие и нерегулярность.о есть не гладкая ни в какой точке на всем своем протяжении. Фрактал все время остается сложной структурой, в каком приближении его не рассматривать.
Фрактальная геометрия доказывает принцип нелинейности, согласно которому, любая сложная развивающаяся система не может быть представлена просто суммой составляющих ее частей. Изучение фрактальной математички очень важно для формирования познавательного мировоззрения школьников. Потому что помощью фрактальных объектов природа на языке математики демонстрирует не просто значительно более высокую степень сложности, соответствующей современному уровню развития науки, а качественно новый уровень познания.
Использованная литература
- Гридина А.А. Фракталы. Построение фрактальных множеств [электронный ресурс] // Форум молодых ученых №4(20) URL: https://forum-nauka.ru/domains_data/files/20/gridina%20a.a..pdf (дата обращения 05.10.2019)
- Построение фракталов на компьютере [электронный ресурс] // URL: http://licey2-nv.ru/project/project/krivolapova_fractal/krivolapova.php (дата обращения 15.10.2019)
- Фрактал [электронный ресурс] // Материал из Википедии URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/фрактал (дата обращения 05.10.2019)
- Fractal in Excel [электронный ресурс] // URL: https://people.revoledu.com/kardi/tutorial/Excel/Sierpinski.html (дата обращения 10.11.2019)
- Красота повтора: что такое фракталы [электронный ресурс] // Популярная механика №3, март 2009 URL: https://www.popmech.ru/science/8906-krasota-povtora-fraktaly/ (дата обращения 15.10.2019)
