Imparare la matematica da autodidatta

Una guida (necessariamente) soggettiva

Nicola Rizzo
May 10, 2018 · 16 min read
Photo by Roman Mager on Unsplash

Nel lontano 2003 fui obbligato, mio malgrado, a scegliere cosa fare da grande.

La scelta della scuola superiore, sebbene trascurata da molti, è una scelta tutto sommato importante, ma non determinante.

Credo sia importante perché influenza i nostri interessi e le nostre amicizie proprio in un momento determinante della nostra vita. Il momento in cui stiamo diventando maturi: ci iniziamo a fare delle idee sul mondo e sulla gente, non più aiutati da mamma e papà.

Ma la scelta dell’indirizzo della scuola superiore è anche non determinante, perché non è troppo difficile correggere una scelta sbagliata cinque anni più tardi, quando il mondo accademico e quello lavorativo offrono possibilità senza limiti a chi ha voglia di fare.

Sebbene fortemente interessato al mondo scientifico e matematico, non scelsi il liceo scientifico. Determinante fu l’analisi dell’orario settimanale delle lezioni: 5 ore di latino mi sembravano veramente eccessive all’epoca.

Scelsi dunque l’istituto tecnico industriale. A posteriori, è stata una scelta con indubbi vantaggi: il senso pratico che ho sviluppato in quella scuola mi ha aiutato molto negli anni successivi, soprattutto all’università.

Ma rimpiango spesso questa scelta. Mi ha indubbiamente allontanato un poco dal mondo scientifico e matematico, avvicinandomi al mondo ingegneristico.

Dopo alcuni anni dalla laurea, ritorno spesso a contatto con quel mondo attraverso internet, rovistando tra i forum delle olimpiadi scientifiche, leggendo le discussioni per le ammissioni a scuole di eccellenza, analizzando le liste dei libri di testo richiesti dai corsi universitari, e dando un’occhiata agli esami di ammissione.

Ogni tanto, mi piace allontanarmi dal mondo dei bit per immergermi nel mondo della matematica e della fisica. Ne sono ancora affascinato, sebbene non mi riguardi più ufficialmente.

Mi sono spesso chiesto quante persone siano interessate a sviluppare conoscenze matematiche avanzate, senza lavorare (o prevedere di lavorare) nel mondo matematico (accademico o lavorativo). In America li chiamano amateur mathematicians. Qui chiamiamoli pure autodidatti. Ne esistono, difficile dire quanti siano, ma ne esistono.

Come può un appassionato di matematica prepararsi un piano per esplorare il mondo della matematica avanzata? La ricerca sfrenata in Internet di risorse sembra un passaggio obbligatorio.

In questo articolo ho deciso di raccogliere parte delle mie conoscenze su ciò che la matematica offre ad un appassionato non professionista, e alcune risorse utili per apprenderle.

L’approccio qui è molto semplice: seguire una formazione simile a quella di uno studente ambizioso che vuole diventare un ricercatore di matematica. Senza dimenticare che lo stiamo facendo per svago e durante il nostro tempo libero.

Supporrò nel resto dell’articolo che il lettore abbia i requisiti minimi per affrontare un percorso del genere:

  • curiosità
  • voglia di imparare
  • tempo per farlo
  • livello di conoscenze matematiche: quinto anno di liceo scientifico o di un buon istituto tecnico industriale o equivalente
  • una conoscenza basilare di inglese può aiutare molto, in quanto molte risorse sono disponibili unicamente in inglese

In questo articolo troverete diverse liste di libri, siti e dispense consigliati secondo la mia opinione. Probabilmente troverete molte delle mie scelte discutibili; in tal caso, vi consiglio di andare in biblioteca o nelle librerie per trovare dei libri più adatti ai vostri obiettivi!


Le Olimpiadi: la matematica classica e il problem solving

Iniziamo il nostro percorso andando oltre le conoscenze standard delle scuole superiori attraverso le Olimpiadi di matematica.

Nelle Olimpiadi di matematica gli studenti delle scuole superiori possono affrontare in maniera ludica problemi complessi di matematica “classica” in prove a tempo. Possiamo considerare appartenenti alla matematica classica una parte dei seguenti settori:

  • la combinatoria; i problemi olimpici di combinatoria spesso consistono in enumerazioni di configurazioni, cioè conteggi di oggetti
  • la teoria dei numeri, o aritmetica, riguardante i numeri interi
  • l’algebra; i problemi olimpici algebrici trattano spesso i polinomi, i numeri reali, i numeri complessi, le funzioni, le disuguaglianze e le successioni
  • la geometria euclidea e analitica; nella geometria euclidea vengono usate le proprietà di punti, rette e figure piane, mentre in quella analitica sono usate equazioni riguardanti entità geometriche

Questa prima fase del nostro percorso è importante non tanto per le conoscenze (sebbene siano utili, gli argomenti affrontati all’università sono diversi) ma per imparare l’approccio di problem solving utilizzato nel mondo matematico.

L’utilità delle olimpiadi di matematica è un argomento dibattuto tra i matematici. Gli oppositori delle olimpiadi sostengono che la ricerca matematica necessita di tempi lunghi, affronta problemi aperti (il cui processo di risoluzione, dunque, è spesso contraddistinto da tanti fallimenti) e richiede pertanto perseveranza; le olimpiadi richiedono invece una preparazione a certi problemi standard (sebbene una certa dose di creatività sia necessaria in molti passaggi) e, soprattutto, la rapidità della trattazione dei problemi. Pertanto, potete saltare la preparazione olimpica se siete interessati solo alla matematica più avanzata e alla ricerca matematica. Queste prove sono pensate soprattutto per ispirare talenti, non per aiutarli a scoprire nuove aree della matematica o risolvere problemi aperti da secoli (vedi i seguenti link: 1, 2, 3).

Le Olimpiadi di matematica sono suddivise in più fasi. In Italia queste fasi sono:

  • i giochi di Archimede Junior (selezioni a livello di istituto per il triennio)
  • le gare di Febbraio Junior (selezioni a livello provinciale per il triennio)
  • i giochi di Archimede Senior (selezioni a livello di istituto per il biennio)
  • le gare di Febbraio Senior (selezioni a livello provinciale per il biennio)
  • la gara di Cesenatico (finale nazionale)
  • stage di preparazione internazionale a Pisa (selezione per la gara internazionale)

L’ultima fase è rappresentata dalla gara internazionale IMO (International Mathematical Olympiad), che si svolge ogni anno in un Paese diverso.

Per prepararsi ad ognuna di queste fasi, sono indispensabili le prove degli anni precedenti, liberamente consultabili nel sito ufficiale delle olimpiadi italiane http://olimpiadi.dm.unibo.it/ e nel sito ufficiale delle Olimpiadi internazionali https://www.imo-official.org/problems.aspx.

Oltre a queste, devo segnalare anche il sito del Prof. Massimo Gobbino in quanto ricco di risorse interessanti. Una pagina di questo sito è dedicata alla presentazione delle sue “schede”, un libro/formulario che affronta in maniera schematica gli argomenti delle Olimpiadi. Un’altra presenta una lista di libri interessanti per la preparazione olimpica. In un’altra ancora, utilissimi consigli possono guidarvi durante la preparazione. [1]

Esistono inoltre libri utili per imparare le tecniche di problem solving. I tre più noti sono in lingua inglese:

  • Problem-Solving Through Problems, di Loren C. Larson. Larson si rivolge con questo libro ad un pubblico idealmente già frequentante i primi anni di università, ma per affrontare la maggior parte dei problemi del libro non occorrono nozioni di Analisi. Il lettore potrà qui studiare come affrontare i problemi matematici attraverso metodi euristici (cioè a tentativi) e usando il principio d’induzione e il pigeonhole. Sono presenti anche problemi aritmetici, algebrici, riguardanti le serie numeriche, le disuguaglianze e la geometria.
  • Problem-Solving strategies, di Arthur Engel. Engel propone in questo libro una lista di problemi utilizzati per la preparazione della squadra tedesca all’IMO. Vengono affrontati i seguenti argomenti: principio di invarianza, colorazioni, principio dell’estremo (o variazionale), principio della scatola, enumerazioni di configurazioni (combinatoria), teoria dei numeri, disuguaglianze, principio d’induzione, successioni, polinomi, equazioni funzionali, geometria, giochi.
  • The Art and Craft of Problem Solving, di Paul Zeitz. Zeits ha partecipato all’IMO come studente e come preparatore per la squadra statunitense. Richiede una piccola infarinatura di Analisi per trattare tutti i problemi. Anche qui, oltre ad affrontare problemi specifici di algebra, combinatoria, teoria dei numeri e analisi, vengono presentate strategie come la simmetria, il principio dell’estremo, il pigeonhole, il principio di invarianza, teoria dei grafi, numeri complessi e funzioni generatrici.

Questi libri e (tanti) altri fanno parte di una lista di libri in lingua inglese consigliati per la preparazione olimpica in questo sito.

In Internet si possono trovare comunità che possono aiutare nella preparazione olimpica; tra i forum più usati troviamo:

Può tornare utile anche la sezione matematica del noto sito di domande e risposte StackExchange: https://math.stackexchange.com/.

Le altre competizioni matematiche pre-universitarie

L’IMO è di certo la più prestigiosa tra le competizioni pre-universitarie di matematica, ma non è l’unica.

Esistono molte altre competizioni, che differiscono dall’IMO per livello di difficoltà o perché sono regionali. Per avere una lista aggiornata di problemi di queste competizioni, oltre ai siti ufficiali, potete utilizzare la sezione Contest Collections del forum Art of Problem Solving.

L’ammissione a scuole di eccellenza (primo anno)

Uno degli obiettivi degli studenti che si preparano alle olimpiadi di matematica è la preparazione agli esami di ammissione alle scuole di eccellenza italiane.

Le scuole di eccellenza, o scuole superiori universitarie, integrano i corsi universitari ordinari con una formazione potenziata. Permettono dunque agli studenti meritevoli di ottenere un diploma supplementare al termine del percorso universitario, che attesta una formazione di eccellenza in campo scientifico, tecnologico o umanistico.

La più prestigiosa scuola di eccellenza in Italia in ambito matematico/scientifico è la Scuola Normale Superiore di Pisa (SNS), ma scuole più recenti stanno recuperando rapidamente il loro ritardo, come la Scuola Galileiana di Padova. È possibile consultare la lista delle scuole di eccellenza attive in Italia in questa pagina di Wikipedia.

Gli esami di ammissione per i corsi scientifici o matematici presentano spesso almeno un test di matematica contenente problemi simili a quelli presenti alle olimpiadi di matematica a livello nazionale.

Per la SNS possono tornare utili i seguenti link:

Per la Galileiana, l’archivio delle prove di ammissione è consultabile in questa pagina.

Il primo triennio universitario

Iniziamo ora con la matematica a livello universitario. Le università hanno una certa autonomia nell’organizzazione della didattica, pertanto è difficile precisare i contenuti dei singoli corsi.

Anche le risorse consigliate differiscono da un’università all’altra, ma nei forum ne viene spesso consigliato un piccolo insieme che ripropongo in questa sezione.

Per quanto riguarda le comunità online di matematica a livello universitario, oltre al già citato Forum di Matematicamente, devo segnalare il ricco forum di Scienze Matematiche.

Durante il primo triennio universitario dei corsi di studio di matematica in Italia vengono generalmente presentate le basi delle seguenti discipline:

  • Analisi matematica
  • Geometria ed algebra lineare
  • Algebra
  • Statistica e probabilità

Lo studio dell’analisi matematica nel triennio è generalmente suddiviso in:

  • Analisi matematica in una variabile reale, spesso chiamata “Analisi Uno”
  • Analisi matematica in più variabili reali, spesso chiamata “Analisi Due”
  • Analisi reale

Solitamente un corso di analisi matematica in una variabile reale comprende i seguenti argomenti: richiami di insiemi e di logica, successioni, serie, limiti, funzioni continue, derivate, integrale secondo Riemann, integrali impropri, equazioni differenziali lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti.

Tra le risorse di analisi matematica in una variabile reale che mi sento di consigliare posso elencare:

  • Analisi zero, di Giuseppe De Marco. Libro di preparazione ai corsi universitari di analisi, contenente argomenti quali insiemi, logica, definizioni di funzioni, funzioni periodiche, descrizione assiomatica di R, assioma di completezza. È anche il primo capitolo del libro Analisi uno dello stesso autore, pertanto basta procurarsi quello.
  • Analisi uno, di Giuseppe De Marco. Libro piuttosto completo, senza troppe generalizzazioni. Vengono presentati i numeri complessi, nozioni di algebra, topologia della retta reale e del piano, gli usuali argomenti di analisi uno e le basi del calcolo complesso. Ottimo come primo libro di analisi uno.
  • Principi di analisi matematica, di Walter Rudin. Chiamato spesso baby Rudin, “il piccolo Rudin” (rispetto all’altro, Real and Complex Analysis), nella sua versione inglese questo libro è usato nelle migliori università statunitensi come primo libro di analisi.
  • Appunti di Analisi matematica 1, di Paolo Acquistapace. Dispense del Prof. Acquistapace (Pisa), liberamente scaricabili dal suo sito personale.
  • Analisi matematica, di Giovanni Prodi. Più completo e generalizzato del libro di De Marco, ottimo come secondo libro di analisi uno.
  • Matematica 1, di Francesco Bonsante e Giuseppe Da Prato. Liberamente consultabili come file pdf nel sito di didattica della SNS, questa dispense sono state usate nel corso di analisi interno alla SNS. Da leggere dopo un primo libro di analisi uno.

Solitamente un corso di analisi matematica in più variabili comprende i seguenti argomenti: topologia negli spazi metrici, spazi normati, convergenza uniforme, teoria delle curve, calcolo differenziali in più variabili, equazioni differenziali ordinarie, varietà differenziali, integrale di Lebesgue, integrazione su superficie e campi vettoriali.

Per l’analisi matematica in più variabili le mie risorse preferite sono:

  • Analisi due, di Giuseppe de Marco. La vecchia edizione, in due volumi, è spesso additata come uno dei libri più completi sull’analisi matematica in più variabili reali.
  • Appunti di Analisi matematica 2, di Paolo Acquistapace. Dispense del Prof. Acquistapace (Pisa), liberamente scaricabili nel suo sito personale.

Un corso di analisi reale comprende solitamente i seguenti argomenti: teoria della misura, teoria dell’integrazione e analisi funzionale (spazi Lp). Alcuni di questi argomenti possono essere trattati durante la magistrale.

Tra i libri di analisi reale più noti troviamo:

  • Real and complex analysis, di Walter Rudin (detto big Rudin). Questo classico è consigliato agli studenti del primo anno di livello Graduate delle università americane (equivalente al biennio specialistico in Italia). Può essere affrontato una volta noti argomenti come spazi metrici, continuità uniforme e convergenza uniforme (i primi sette capitoli del baby Rudin). Affronta argomenti di analisi reale, analisi complessa e analisi funzionale.
  • Real Analysis, di Gerald B. Folland. Anche questo libro è pensato come primo libro di analisi di livello Graduate e richiede come prerequisiti le nozioni della teoria delle funzioni ad una variabile reale, l’aritmetica dei numeri complessi, la teoria degli insiemi e l’algebra lineare. Tratta argomenti simili al big Rudin.
  • Primo volume di Measure Theory, di Vladimir I. Bogachev.
  • Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, di Haim Brezis.

Generalmente lo studio della geometria al triennio è suddiviso in due corsi:

  • Geometria uno, durante il quale si affrontano l’algebra lineare e la geometria affine
  • Geometria due, durante il quale si studiano la geometria proiettiva e la geometria differenziale, oltre a forme bilineari, forme quadratiche, coniche e quadriche

L’algebra lineare (vettori, spazi vettoriali, matrici, applicazioni lineari, determinanti, teorema spettrale) viene spesso presentata durante il primo corso di geometria in quanto la geometria affine (spazio afffine, trasformazione affine) fa largo uso dell’algebra lineare e le nozioni studiate in algebra lineare hanno un’interpretazione geometrica.

Tra i libri di geometria 1 attualmente in commercio, posso consigliare:

  • Algebra lineare, di Serge Lang.
  • Geometria 1, di Edoardo Sernesi. Questo libro è un classico per gli studenti di geometria e presenta quattro capitoli: geometria affine, geometria euclidea, geometria proiettiva (spesso parte del programma di geometria 2), curve algebriche piane.
  • Elementi di Geometria Analitica, di Mauro Nacinovich. Secondo molti, questo è il libro più completo per un corso di geometria 1. Da affrontare dopo aver studiato un primo libro di geometria 1. Parte del libro può essere usato anche per geometria 2.

Tra le risorse di geometria 2, possiamo elencare (oltre al Geometria 1 di E. Sernesi per la parte di geometria proiettiva):

  • Geometria 2, di Edoardo Sernesi. La prima parte è dedicata alla topologia generale, mentre il resto del libro si occupa di varietà differenziabili.
  • Algebra e Geometria Lineari e Quadratiche, di Maurizio Cailotto. Dispense del Prof. Cailotto (Padova) sulla prima parte del corso di geometria 2, liberamente scaricabili dal suo sito.
  • Geometria e Topologia Elementari, di Maurizio Cailotto. Dispense del Prof. Cailotto (Padova) sulla seconda parte del corso di geometria 2, liberamente scaricabili dal suo sito.

Lo studio dell’Algebra al triennio è suddiviso in due corsi, Algebra 1 e Algebra 2, nei quali vengono introdotte le strutture algebriche di gruppi, anelli e campi.

Secondo me, i migliori libri di algebra (livello triennale) attualmente in commercio sono:

  • Algebra un approccio algoritmico, di Giulia Maria Piacentini Cattaneo. Libro spesso consigliato come primo libro di algebra nei corsi di laurea triennale di matematica in Italia. Introduce gli argomenti in maniera diversa rispetto ad altri testi, in quanto l’autrice vuole partire da nozioni già note dai lettori; gli argomenti affrontati sono dunque gli insiemi, i numeri, i polinomi, gli anelli, i gruppi, i campi e la teoria di Galois.
  • Algebra, di I. N. Herstein. Classico dell’algebra. Dopo alcune nozioni preliminari, il libro introduce la teoria dei gruppi, la teoria degli anelli, gli spazi vettoriali e i moduli, i campi e le trasformazioni lineari.
  • Abstract Algebra, di Richard M.Foote, David S.Dummit. Libro in inglese piuttosto completo (quasi mille pagine) e ricco di esercizi. Affronta la teoria dei gruppi, la teoria degli anelli, moduli e spazi vettoriali, teoria dei campi, teoria di Galois. Gli autori terminano con delle introduzioni a nozioni spesso trattate in libri più avanzati, come gli anelli commutativi, la geometria algebrica, l’algebra omologica e la teoria della rappresentazioni dei gruppi finiti.
  • Algebra, di Serge Lang. Opera enciclopedica (anche questa raggiunge quasi un migliaio di pagine) in lingua inglese più avanzata, pensata per i corsi statunitensi Graduate di algebra. Il testo è suddiviso in quattro parti: gli oggetti dell’algebra, le equazione algebriche, l’algebra lineare e le rappresentazioni, l’algebra omologica.

I corsi di probabilità e statistica introducono nel triennio le seguenti nozioni: spazio di probabilità, variabile aleatoria, sigma-algebre, statistica inferenziale, stimatori, martingale, catene di Markov.

Come libri di probabilità e statistica consiglio:

  • Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze, di Sheldon M. Ross. Un libro pensato per l’ingegneria e, quindi, piuttosto pratico e poco formale.
  • Introduzione alla statistica, di Alexander M. Mood,‎ Franklin A. Graybill,‎ Duane C. Boes. Più avanzato del precedente, per un secondo corso di statistica.
  • Il primo volume di An Introduction to Probability Theory and Its Applications, di William Feller. Completo e formale, per un secondo corso di probabilità.
  • Probability and Measure, di Patrick Billingsley. Altro libro per un corso avanzato di probabilità.

Il primo triennio universitario di eccellenza

Gli studenti che seguono i corsi nelle scuole di eccellenza come la Normale di Pisa o la Galileiana di Padova affrontano argomenti a volte complementari, a volte diversi dai corsi universitari ordinari.

I corsi interni cambiano di anno in anno, ma attualmente la Scuola Normale di Pisa presenta durante il triennio i seguenti corsi di matematica:

  • Complementi di matematica. Ecco i link al programma e alle dispense.
  • Introduzione alla teoria delle rappresentazioni I e Introduzione alla teoria delle rappresentazioni II. Ecco i link dei due programmi: I e II. Questi due corsi consigliano la consultazione del libro Linear representations of finite groups, di J.P. Serre.
  • Analisi su varietà. Il programma è consultabile in questa pagina. Il corso consiglia i seguenti riferimenti bibliografici: il primo volume di A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, di M. Spivak, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, di F. Warner, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, di R. Abraham, J. Marsden, T. Ratiu.
  • Funzioni ellittiche e modulari. Qui è possibile leggere il programma. Il corso consiglia i seguenti libri: Cours d’arithmetique, di J-P. Serre,
    Elliptic functions, di S. Lang.

Anche la Scuola Galileiana presenta attualmente diversi corsi avanzati di matematica [2]:

  • Calculus, le cui dispense sono liberamente consultabili nel sito personale del docente.
  • Complements of analysis, le cui opere di riferimento sono: Set Theory, di T. J. Jech, Inequalities, di G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiment, di R. L. Devaney
  • Introduction to probability models.
  • Measure theory.
  • Algebra.

Le competizioni matematiche a livello universitario

Esistono diverse competizioni di matematica a livello universitario, ma la più prestigiosa è certamente la William Lowell Putnam Mathematical Competition, chiamata più brevemente Putnam Competition.

Nella Putnam Competition gli studenti del triennio dei migliori college statunitensi e canadesi affrontano problemi di matematica universitaria che richiedono avanzate conoscenze di problem solving.

In questa pagina potete trovare i problemi (e alcune soluzioni) delle ultime edizioni. Per leggere i problemi più vecchi potete consultare questa pagina salvata dalla Wayback Machine.


L’ammissione a scuole di eccellenza dopo il primo anno [3]

Una volta superato il triennio, esistono alcune possibilità per iniziare un percorso di eccellenza per gli studenti che non hanno frequentato una scuola di eccellenza nel triennio.

Un esempio è la Scuola Normale Superiore di Pisa. Questa infatti permette a pochissimi studenti di entrare al quarto anno per poter frequentare i corsi della magistrale.

È interessante consultare il programma del concorso di ammissione del IV anno per il corso di laurea magistrale di matematica, suddiviso in Algebra, Geometria, Analisi, Probabilità. In un’altra pagina si possono consultare le prove degli anni precedenti. Queste due pagine possono aiutare un autodidatta a valutare il livello di conoscenze raggiunto dopo aver studiato il programma del triennio.

Un altro esempio è la SISSA (Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati) di Trieste. Questa scuola, in congiunzione con l’Università degli Studi di Trieste, offre un percorso formativo comune per gli studenti della laurea magistrale in matematica. Qui potete trovare le prove degli anni precedenti del concorso di ammissione.


Una volta arrivato qui, un autodidatta, dopo l’infarinatura del programma della triennale, dovrebbe cominciare a specializzarsi in una delle tante branche della matematica secondo i suoi gusti.

Concludo l’articolo con alcuni spunti per continuare il percorso.

Il biennio di specializzazione

Per affrontare discipline più avanzate, potrebbe essere una buona idea consultare il programma e i libri consigliati dei corsi di laurea magistrale delle principali università italiane. Elenco alcuni esempi:

Il biennio nelle scuole di eccellenza

Come fatto per la triennale, elenco qui alcuni corsi delle scuole di eccellenza previsti attualmente per la laurea magistrale.

Scuola Normale Superiore di Pisa

  • Introduzione alla teoria ergodica e alla dinamica topologica. Qui potete trovare il programma del corso e i libri consigliati.

Scuola Galileiana

Il progetto Polymath

Vorrei segnalare anche Polymath, un progetto di risoluzione collaborativa di problemi matematici difficili. Qui potete trovare il wiki relativo al progetto, con la lista dei problemi già affrontati e di quelli proposti. Partecipa attivamente al progetto un noto matematico vincitore della medaglia Fields, Terence Tao, il cui blog è ricco di spunti interessanti sul mondo della matematica.

Arxiv

Ultima segnalazione, ma non ultima per importanza: la sezione matematica del sito arXiv. ArXiv è il più grande archivio di pre-prints (le bozze definitive degli articoli scientifici) del mondo. È possibile consultare più di un milione di articoli scientifici in questo sito, anche recenti.


Credo fermamente che uno studioso motivato possa apprendere nozioni avanzate da autodidatta, senza necessariamente seguire un percorso universitario formale. Spero che questo articolo vi possa aiutare a definire un vostro piano di studi personale.

Per qualsiasi suggerimento, segnalazione di errori, lamentele o altro, usate pure il sistema di commenti di Medium o, se preferite, potete inviarmi un messaggio privato!

AGGIORNAMENTO: potete trovare una discussione sull’articolo nel forum di Matematicamente.


Note

[1]: Sinceramente non so quanto vecchio sia il sito del Prof. Gobbino, ma diversi link presenti nella pagina http://users.dma.unipi.it/gobbino/Home_Page/OT_Internet.html non funzionano. Elenco qui di seguito quelli non funzionanti e come ritrovare i loro contenuti tramite il servizio WayBack Machine di Internet Archive:

[2]: I programmi di tutti i corsi della Scuola Galileiana sono consultabili nella brochure didattica.

[3]: Sarebbe interessante qui iniziare un’analisi comparativa dei sistemi educativi universitari, analizzando i curriculum di corsi e scuole di eccellenza all’estero. Avendo frequentato una parte non trascurabile del mio percorso accademico in Francia, potrei dire qualcosa del sistema di questo Paese, in cui il concorso di ammissione delle prestigiose e ambite Grandes Ecoles (come l’Ecole Normale Supérieure e l’Ecole Polytechnique) impone una preparazione matematica di alto livello degli studenti. Per chi mastica un po’ di francese, ecco qui la brochure didattica dell’Ecole Normale Supérieure. E qui potrete trovare l’archivio delle prove di ammissione alla scuola. In questo articolo mi limito comunque ad un’analisi del solo percorso italiano per non renderne troppo difficile la lettura (e la stesura).

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