十分逼近法速算法
錯過後悔一世人，唸完國中的朋友表示：已後悔
那些年，我們一起追的女孩
青春期除了努力的暗戀同學，還有替同學傳遞情書給我暗戀的女生（對，我們暗戀同一個人，而且拜託我傳遞情書的同學不知道我暗戀她）以外，大考小考隋棠(誤)考不斷。
考試 vs 籃球
那時候超愛打籃球，下課只有十分鐘？足夠跑到籃球場丟個幾顆球，撿幾次球也就夠了。如果下一堂課的老師習慣打鐘後三分鐘才走進教室，那我一定是在籃球場待到鐘打完，才跑回教室。那一堂課前面一半的時間我都在流汗。
快速的寫完考卷，才能夠快速地溜出去打籃球，畢竟，自己能在空中飛行的時間大概有喬丹的 1/3。為了那個爽感，就值得想盡辦法趕快寫完考卷了。
可是計劃趕不上變化，問題來了，數學課教了一個主題叫做十分逼近法，這個東西要不停的計算很容易犯錯的乘法。而且，每次回想到小數點下四位的開根號計算，就忍不住恨得牙癢癢的？
今天就來教大家一個 “不用乘法，只用加法” 的超級速算法。這個速算法是為了籃球而自行研發的。
（過了很多年以後，我才發現原理是什麼…）
不過我相信早就有前人知道，只是我不知道，就像中研院院士不知道有個碩士的論文，或者是有個碩士不知道中研院院士/研究員的論文是一樣的道理。
而這篇文章講到的十分逼近法到底是什麼？
十分逼近法就是個依照十進位數字每一個數字位置有十個可能值，以 1/10 為一步的進度，慢慢的逼近答案的計算方法。如果以電腦演算法的歸類來看，這應該算是一種暴力法？（留問號的原因是其實我也不是很確定）
國中的課本將十分逼近法運用在找平方根的計算中，但事實上十分逼近法也可以用在其他種類的題目中。這篇文章所講速算法，也只適用於找平方根的這種應用題型。如果您知道其他有趣的應用，也歡迎分享分享呦～
基本款
題目：求根號2，準確到小數點下兩位。
答案：
1² = 1, 1<2, try 2
2² = 4, 4 > 2, 2 的平方根介於 1 與 2 中間，試試 1.1², 1.2², 1.3²…. 1.9²，看看2的平方根介於以下哪一個區間:
- 0² ~ 1.1²
- 1.1² ~ 1.2²
- 1.2²~1.3²
- 1.3²~1.4²
- 1.4²~1.5²
- 1.5²~1.6²
- 1.6²~1.7²
- 1.7²~1.8²
- 1.8²~1.9²
- 1.9²~2.0²
(總共有十個區間，故為十分逼近法，這裡的十分不是 “很” 或 “非常” 的意思。）
身為苦命的學生，就得開始計算 1.1²，得到 1.21 < 2，繼續試下一個區間。
1.2² = 1.44 < 2, 繼續試下一個區間。
1.3² = 1.69 < 2, 繼續試下一個區間。
1.4² = 1.96 < 2, 繼續試下一個區間。
1.5² = 2.25 > 2, 噹啷！1.4² 與 1.5² 將 2 夾在中間了。也就是說，我們知道根號 2 的小數點後的第一位是 4，目前已知道 1.4，但不會是1.5，所以要繼續試下一位，小數點第二位。
- 1.40²~1.41²
- 1.41²~1.42²
- 1.42²~1.43²
- 1.43²~1.44²
- 1.44²~1.45²
- 1.45²~1.46²
- 1.46²~1.47²
- 1.47²~1.48²
- 1.48²~1.49²
- 1.49²~1.50²
我們想要找出根號 2 是落在以上哪個區間。如果不是心算特別強的朋友，這時候就得開始拿出計算機，按出以上幾個平方的值。當然，1.40² 就是 1.4²，所以我們已經知道答案是 1.96，而 1.50² 就是 1.5² 也是已知 2.25，不需要再計算一次。因此在這小數點第二位，最多還要再算九次乘法。
因為篇幅有限（誤，其實是連計算機都懶得按，Medium 好像沒這麼容易寫滿），而且重點在速算法，所以這裡的計算就跳過了，大家可以假裝一下，想像一路乘到小數點下第四位的感覺….
BUT 沒有計算機
高中生，國中生，國小生這時候就悲劇了，因為 考 試 不 能 帶 計 算 機，只好一個個乘出結果來。
如果是要練習計算，這樣當然是很好的練習，不過如果要練到小數點下第四位，要寫的直式計算，恐怕要佔不少篇幅。而且只要錯一個地方，就可能全盤皆錯了。
好消息，但沒好到哪
好消息是，因為十分逼近法的直式計算實在太多，所以考試卷上不會有足夠的空間叫你寫上直式給老師檢查，而且其實老師也是要下班回家的，所以沒人會想要把所有直式寫上，再一一檢查正確性。因此，接下來，本篇的重點，速算法，終於可以派上用場。
速算法登場
先不管原理，也不管小數點，我們先看一個有趣的現象:
11² — 10² = 121 — 100 = 21 = 11 + 10
12² — 11² = 144–121 = 23 = 12 + 11
兩個連續正整數的 “平方” 的 “差”，會等於這兩個數的 “和”。
也就是說，兩個連續正整數的平方差（包含了兩次平方的計算，以及一個差值的計算），可以替換為一次平方再加兩次加法的計算。
所以，如果我現在已經算過10² = 100，接下來要算的是 11²，該怎麼算呢？很簡單，只要把 100 + 10 + 11 = 121，就得到 11² 了。
繼續下去，12² = 11² + 11+ 12 = 121 + 11 + 12 = 144。
再下一個是 13² = 12² + 12 + 13 = 144 + 12 + 23 = 169。
然後接著是 14² = 13² + 13 + 14 = 169 + 13 + 24 = 196。
然後還要算 15² = 14² + 14 + 15 = 196 + 14 + 25 = 225。
我們既然已經知道 14² = 196，那麼 140² 顯然就是 19600。
那麼 141² = 140² + 140 + 141 = 19600 + 140 + 141 = 19881。
然後 142² = 141² + 141 + 142 = 19881 + 141 + 142 = 20164。
如果我們要繼續算 1410² 的話，只要替 19881 後面補兩個 0 就成了 1988100。
所以 1411² = 1988100 + 1410 + 1411 = 1990921。
所以 1412² = 1990921 + 1411 + 1412 = 1993744。
然後 1413² = 1993744 + 1412 + 1413 = 1996569。
接著 1414² = 1996569 + 1413 + 1414 = 1999396。
替以上的這些數字都補上小數點，就可以得到十分逼近法要算的平方乘積。
例如 1.41² = 1.9881，1.42² = 2.0164，以此類推….
寫在最後
這是一個簡單的代數的應用，連續兩個正整數值的平方差，剛好等於這兩個正整數的和。
如果我今天要算的是 198² 呢？200² 是一個很容易算的數字，離 198 也很近。
“但是他們的差不是 1 呀！！！”
有一個朋友這樣哭著跟我說。
“速算法都是騙人的。”
這我就忍不住要唸一唸了：如果有減一次沒辦法解決的問題，妳不會減兩次嗎？
198² = 199² — 199 — 198 = (200² — 200 — 199) — 199 — 198 = 40000–200 — 199 — 199 — 198。
我是記者數學苦手，以上竹北報導。
剩下的減法的部分，就交還給棚內主播。
