Integral: inversa da derivada. Por quê?
Eu tentei fazer essa explicação tão intuitiva e simples quanto possível.
A figura abaixo resume tudo:
A derivada de uma função y = f (x) é dy/dx, ou seja, a diferença em y sobre uma diferença muito pequena em x para cada ponto, ou seja, ligado ao ângulo θ de inclinação da tangente à curva (corresponde à tangente do ângulo, dado pelo cateto oposto dy sobre o cateto adjacente dx).
Pode-se desenhar um gráfico a partir da função derivada y = f ′ (x) e calcular a integral definida, isto é, o valor que corresponde à área da curva ao eixo x entre quaisquer 2 valores de x.
Como interpretar esse número?
Suponha que alguém divida a área da curva para o eixo x em milhares de pequenos retângulos entre x = x₁ e x = x₂. de forma que se aproxime muito da área real sob a curva.
Cada retângulo tem largura dx (tão pequeno quanto se queira) e altura dy / dx, que é a derivada da função em cada ponto. Por exemplo, x = xᵣ na função f (x), corresponde em f ′(x) ao ponto (x ᵣ, dy/dx (x ᵣ)), ou seja, a derivada no ponto x = x ᵣ
A área de qualquer retângulo entre x = x₁ e x = x₂ é dy/dx × dx = dy, que é a microvariação de y da função original f desde o início deste retângulo até o final dele.
Assim, se adicionarmos todas as áreas dos retângulos entre x = x₁
e x = x₂, resulta na variação total de y na função original f entre x = x₁ e x = x₂, isto é, f (x₂) −f (x₁), que pode ser escrito como y₂ − y₁.
No final, a integral da derivada de uma função retorna a diferença da função original entre quaisquer 2 pontos selecionados em x.
Por essa razão, a integral indefinida de f ′(x) é a função f (x) com uma constante arbitrária. Essa constante aparece porque é útil para objetivos de calibração e desaparece em qualquer cálculo integral definido, ou seja, uma diferença entre duas avaliações de função.