古希臘數學家畢達哥拉斯和他的學生奉行數字至上的信念，混合了敬神儀式和數學教義，成為一個神祕的學派。這個學派對數字的痴迷發展出一個奇異的宇宙論，認為整數是構成宇宙萬物的最基本單元，研究整數的比值和平方等算術是探究真理的唯一途徑。在這一章裡我們追隨畢達哥拉斯的腳步，用Scratch寫程式來認識三角平方數。
數學關鍵字： 有形數、三角數、平方數、三角平方數。
數學家： 畢達哥拉斯。
Scratch程式：https://scratch.mit.edu/projects/159322828/
擺置小卵石
畢達哥拉斯是西元前六世紀的希臘數學家和哲學家，他和孔子、釋迦牟尼生在同一個時代。畢達哥拉斯相信數字是一切事物的源頭，在遊歷過巴比倫和埃及後，他在義大利南部招收學生，創立學派。
畢達哥拉斯學派具有相當的神祕色彩，把崇拜建立在以數為主體的思想上，並且混合了種種敬神儀式和禁忌學說。學派裡的三百名學生都必須發誓保密，嚴禁洩露任何導師的神聖教誨。
畢達哥拉斯和學生在地上擺置小卵石進行對數字的研究，事實上現在英文裡「算」（calculate）這個字就源自於希臘文裡的「擺置小卵石」（psěphoi）。畢達哥拉斯學派認為數並不僅僅具備計量的功能，數本身更是實際存在的事物。數與數之間存在許多規律性，可以用來解釋大自然裡的現像。
舉例來說，在地上擺置10顆小卵石，可以排成下圖左邊的三角形，也可以排成下圖右邊的矩形，因此可以稱數字10為三角形數或矩形數。
如果是9顆小卵石，可以排列成3x3的正方形，卻無法排成一個三角形，數字9可以稱為正方形數卻不是一個三角形數。
由這些觀察，畢達哥拉斯學派認為數與形是一體的兩面，萬物的基礎都來自於整數，而每個整數都有相對應的形狀。
小卵石排列出形狀的概念逐漸發展出有形數（figurate number）的計算。在下圖裡每一層的三角形數排列具有規律性：第一層有一顆，第二層有兩顆，到第n層會有n顆小卵石。
用這種規律性可以推導出三角形數的計算公式。對於一個n層的三角形數來說：
平方數則是指一個可排成正方形的整數，下圖表示了平方數逐層增加的規律：第一層有一顆，第二層增加三顆，第三層增加五顆，第n層增加（2n-1）顆。有趣的是每一層加上的數都是奇數，這也告訴我們從1開始的奇數數列相加必定是平方數。
對一個n層的平方數可以列出算式如下，
平方數還有一個和三角數相關的特性。觀察下圖左邊的平方數16，可以分為兩個三角數6+10。再看看下圖右邊的平方數25，同樣可分為兩個三角數10+15。
也就是說一個n層的三角數加上（n-1）層的三角數會等於n層的平方數。從小卵石的排列也一樣可以觀察出這種特性。
除了三角形數和平方數，有形數也有五邊形數、六邊形數以及更多的多邊形數。
五邊形數，第n個五邊形數可以用下面的公式計算：
六邊形數，第n個六邊形數可用公式n(2n-1)計算：
動手做3–1 三角平方數
[程式設計需求規格]
有一些數同時是三角數又是平方數，這種數被稱做三角平方數，比如說36，可以視為一個8層的三角數，也可以視為一個6層的平方數。
用Scratch程式找出10個三角平方數。
[程式設計角色和舞台]
在這個程式裡不須要任何角色或舞台設計，直接在舞台顯示三角平方數的計算清單。
[程式設計解決方案]
假設三角數排列是t層小卵石，
平方數排列是s層小卵石，
當三角數等於平方數時，這個數就是我們要找的三角平方，
我們可以從1開始掃描t的值，逐一計算s的值，因為s代表的是平方數排列的層數，一定是一個正整數。所以當我們用下面開根號的式子計算出s的值是正整數的話，就代表找到了一個三角平方數。
舉例來說，如果t=8，可以計算得到s=6是一個正整數，所以s^2=36是一個三角平方數。
如果t=9，計算得到s=6.708，不是一個正整數，s^2=45不是一個三角平方數。
[程式檢視]
程式［三角平方數3–1.1］的迴圈負責從1開始掃描三角數層數t，然後用下面的式子推導出平方數層數s：
轉化成scratch的指令就變成：
我們在這裡運用到運算類指令裡的sqrt指令，這是英文square root的縮寫，代表開平方根的意思。
事實上這個指令同時提供了其他各種有用的數學運算，點選指令的下拉選單，可以看見指令還支援三角函數、指數和對數的運算。
求得s的值後，我們用了一個技巧來驗證s是不是整數：
就在運算sqrt指令的下拉選單裡，選取不同的選項floor，代表著無條件捨去一個數字的小數點後的值。
如果t=8，會計算出s=6。由於6沒有任何小數點的位數，無條件捨去小數點後的數字完全沒有影響，仍然是6。
如果t=9，計算出s=6.708。如果對s小數點後的值做無條件捨去，s的值就會變成6。
這個時候無條件捨去小數點後的值是6，不等於原來的值6.708。間接驗證了原來的s=6.708不是整數。
按下shift+小綠旗進入turbo模式計算會比較快，計算完成後舞台會顯示三角平方數、三角數層數和平方數層數的清單。
有一個特別的現象是，如果計算三角數層數除以平方數層數，兩數的比值會漸漸趨近一個定值1.414213。這是一個特別的數，我們在後面的章節會做更詳細的討論。
延伸閱讀：
Scratch & Math: 天花板上的蜘蛛（一） Scratch & Math: 天花板上的蜘蛛（二）
