非彈性近似(Anelastic approximation)與布氏近似(Boussinesq approximation)有什麼區別?

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Jul 13, 2019 · 4 min read
Photo by Marc Wieland on Unsplash

在大氣與海洋的領域裡面,時常可見這兩個近似。非彈性近似簡單來說,設立的目的在於能去掉聲波(acoustic wave),理由在於聲波往往成為大氣模式中使用數值方法時的障礙;因為其頻率比許多在大氣中所關注的運動來的高,為了提高準確性,時間積分的方式就會有所限制。例如在無聲波的情況下可使用長時步的積分,而在聲波疊加下則只能使用短時步來防止模式的不穩定積分。

這種限制積分時步的條件在數值方法中稱之為CFL condition:

因此為了能將聲波除去,透過非彈性近似,我們可以將密度隨時間的變化項假設為零。在這樣的近似下,我們就可以避免只用靜力近似(hydrostatic approximation)的不足,也就是只消掉了垂直方向上的聲波,卻無法去除水平方向上的聲波(Lamb wave)。

那麼布氏近似(Boussinesq approximation)有什麼不同?可以這麼說,布氏近似是加強版的非彈性近似。如果在運動空間尺度上垂直與水平之比例很小(aspect ratio <<1),或者垂直運動的尺度小於垂直方向上密度的標高(scale height),而其運動受到浮力(buoyancy force)很大影響時,則我們可以進一步以布氏近似來假設。

簡單來說,非彈性近似和布式近似在公式上最大的差異體現在連續方程。非彈性近似之連續方程為:

而布氏近似之連續方程則為:

也就是說,在布式近似的情況下,我們忽略了連續方程的第一項:

之所以忽略第一項,除了非彈性近似和布氏近似都有假設密度隨時間變化為零之外,還有一個就是前面提及的,布式近似假設aspect ratio <<1以及垂直運動的尺度小於垂直方向上密度的標高。我們可以透過尺度分析(scale analysis)來了解。

式一
式二

當我們把連續方程第一項展開後,透過尺度分析,可以發現密度平流項與第二項的輻合項之比,主要透過兩種空間尺度比例決定,分別為aspect ratio以及垂直運動尺度與密度標高之比。因此,只要兩者都遠小於一之時,布式近似便會成立。

順帶一提的是,靜力近似本身也是帶有aspect ratio非常小的假設。一樣,我們也可以透過尺度分析來求得,更詳細的內容可以參考資料來源[3]。

參考資料:

[1] The Anelastic and Boussinesq Approximations by David Randall (好!)
[2] 最少假設之溼大氣模式研究 by 許家瑋及郭鴻基
[3] Hydrostatic Approximation by Bretherton

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