La table des pentagrammes

Parmi les symboles ésotériques, le pentagramme (étoile à 5 branches) est sans doute l’un des plus célèbres. Sa simplicité géométrique combinée à la symbolique du chiffre 5 en font un candidat de choix pour représenter une supposée matrice de l’univers. Il a été beaucoup utilisé dans la kabbalah (mystique juive) ou en alchimie, comme l’atteste le fascinant article Wikipédia à son sujet.

Pentagramme censé détenir les secrets de la transmutation alchimique, issu du manga Full Metal Alchemist

Comment se dessine l’étoile à 5 branches ? C’est facile, il suffit de prendre un pentagone régulier, et de relier sommet sur deux, jusqu’à ce qu’on retourne au point de départ (le sommet du haut).

Du pentagone (à gauche) au pentagramme (à droite), les sommets sont numérotés par ordre de visite

À partir de là, tout esprit matheux qui se respecte se demande ce qu’il se passerait si on procédait à la même construction mais avec d’autres valeurs. De quelles valeurs parle-t-on ? On peut remarquer que la construction du pentagramme a utilisé deux nombres :

1. le nombre de côtés du polygone de départ, ici 5 ;
2. le nombre de sommets à « sauter » entre chaque trait, ici 2.

Ainsi, notre pentagramme classique, provenant de ces deux valeurs, est entièrement caractérisé par celles-ci : on lui donne donc le doux nom de (5,2).

Essayons donc de refaire la même chose mais en partant d’un polygone à 6 côtés (un hexagone pour les hellénisants), et testons différentes valeurs pour l’autre paramètre. On construit donc les figures (6,1) à (6,5) :

La famille (6,1) à (6,5) au complet

1. (6,1) correspond à l’hexagone régulier, puisqu’on relie tous les sommets dans l’ordre, sans en sauter aucun.
2. À partir de (6,2), notre procédure n’atteint plus tous les sommets de l’hexagone ! En effet, en reliant les sommets de 2 en 2, on revient à notre point de départ en 3 tours (puisque 3 × 2 = 6).
3. De même pour (6,3), mais on revient au point de départ dès le deuxième trait tiré, puisque 2 × 3= 6 !
4. Ensuite, les figures restantes sont les symétriques des premières (comme si la ligne verticale en (6,3) était un miroir). On voit que (6,4) est comme (6,2) mais en tournant dans l’autre sens. Cela s’explique car sur l’hexagone, tourner de 4 sommets dans un sens, c’est tourner de 2 sommets dans l’autre. On peut faire la même remarque pour (6,5).

Cette remarque est en fait intuitive pour quiconque sait lire l’heure : tout le monde sait que 45 minutes, « moins le quart » (pour l’heure d’après). D’ailleurs, regardons ce qui se passe si on construit les mêmes pentagrammes pour un polygone à 12 sommets—un dodécagone—, chacun représentant un marquage sur l’horloge. On ne va afficher que (12,1) à (12,6) puisqu’après, tout comme on vient de le voir, les figures seront symétriques.

Dans l’ordre, on observe le découpage d’une heure en 5 minutes, 10 minutes, 15 minutes, et 20 minutes. Le cas (12,5) est plus intéressant pour deux raisons :

• hormis (12,1), c’est le seul à recouvrir l’ensemble des 12 sommets ;
• il n’a pas d’interprétation directe sur l’horloge. Cependant on peut le comprendre si au lieu de considérer les 12 heures de la journée, on considère les 12 demi-tons de l’échelle chromatique, en musique.

Cercle chromatique de la gamme de Do majeur, où les notes sont reliées par quartes

Ce dessin permet de trouver la progression de quartes en quartes en partant d’une note donnée — ou de quintes en quintes en allant dans l’autre sens. On peut d’ailleurs l’utiliser pour savoir quelles notes doivent porter un dièse # pour construire la tonalité qui nous intéresse.

Maintenant qu’on a vu plusieurs cas particuliers, le vrai matheux voudrait essayer de tous les voir en même temps. Notre problème étant déterminé par 2 variables, on peut donc tout représenter sur un plan. Autrement dit, on va tracer les pentagrammes (A,B) où les différentes valeurs de A seront portées sur l’axe horizontal, et B sur l’axe vertical.

Table des pentagrammes à faire rougir n’importe quel alchimiste

La première chose à faire est de prendre 5 minutes pour méditer devant une si grande harmonie. Inspirer profondément par le nez, expirer doucement, lentement, et recommencer. Bien.

On peut observer de nombreux motifs réguliers sur cette table. Déjà, on remarque que les plus le nombre de côtés d’un polygone augmente, plus celui-ci ressemble à un cercle — c’est un fait bien connu. Ensuite, on retrouve la symétrie observée auparavant (cette fois-ci visible verticalement), sur chaque colonne. On voit aussi comment, en remontant une colonne, les traits dessinent un diaphragme qui se ressert et s’ouvre, un peu comme pour un appareil photo.

Un autre motif qui saute aux yeux est la diagonale constituée uniquement des traits verticaux, qui part du sommet inférieur gauche du triangle, pour rejoindre le milieu du côté droit. Ce trait vertical correspond à tous les pentagrammes (A,B) où A est le double de B, ce qui trace une « ligne » imaginaire le long de ces coordonnées. On peut observer une ligne similaire constituée uniquement de triangles, de carrés, etc. Pour mieux visualiser ces lignes imaginaires, les voici avec une couleur correspondant à la forme qui se répète :

Appréciez la régularité de certains motifs présents dans la table des pentagrammes : les formes colorées (par exemple les triangles verts) sont toutes disposées de façon régulière sur une ligne imaginaire

Les triangles sont présents dans les pentagrammes (A,B) où A est le triple de B, les carrés là où A est le quadruple de B, et ainsi de suite.

Et vous, vous trouvez d’autres motifs qui vous intriguent ?

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