如何三等分一個角
中學時期的幾何學裡，會學到尺規作圖，常聽到是否可能用尺規作圖三等分一個角。答案是，尺規作圖不可能三等分一個角，並且已經有數學證明不可能。
但如果用摺紙的話，就可以三等分一個角。
用摺紙三等分角
首先拿一張長方形的紙，如下摺出角θ，並且嘗試三等分角θ。
將紙對摺再對摺得到如下的兩條橫線
接著我們將點p1對到線L1, 將點p2對到L2。p1在L1上的點稱它為p’1, p2在L2上的點稱它為p’2。
摺起來就像這樣
我們將p1與p’1連起來, 那麼這條線已經三等分角θ。
證明，利用摺紙沿著摺線對稱的特性
我們先將圖表示成這樣。其中我們將線段p1p’1往p1p’2摺過去，得到線段p1C。
摺紙有個很重要的特性，摺紙的圖形會沿著摺線鏡像對稱。因此從上圖可以看到線段Dp1長度等於Dp’1，因此角2等於角4。
由於L1與線段Ep1平行，因此角4等於角1，所以角1等於角2。
由於沿著p1C對摺，因此線段p1p’1長度與p1p’2相等。三角形p1p’1p’2為等腰三角形。
線段p1B長度與線段Bp2相等。由於沿著AE對摺，因此線段p’2C與Cp’1相等，所以C是線段p’1p’2的中點。因此Cp1平分角p’2p1p’1，角2等於角3。
所以我們得到角1等於角2等於角3，也就是三等分角。
繪圖軟體
這篇文章裡的圖是用GeoGebra畫出來的，它是免費軟體，提供很多尺規作圖的工具，也可以畫函數。雖然有些細節最後我是用小畫家跟power point做調整。但整體來說是很強大的幾何繪圖軟體。
後記
以前讀高中的時候，有同學說他的妹妹可以三等分角，他問我是否知道該怎麼作？當然我沒有做出來。
偶爾也會看到有人聲稱他可以尺規作圖三等分角，最後會看到那只不過是很接近三等分角。
摺紙數學其實是很晚近的數學學門。以往都是尺規作圖稱霸數學界，然而也因此限制了我們對幾何的想像。也許有人會說，摺紙需要在紙上面操作，根本不符合數學想像的特性。然而尺規作圖也需要直尺和圓規，然後再變成想像中的工具，這樣的話，摺紙也可以成為想像中的工具，沒有什麼不可以。