Matrices y más matrices…
Semana 13.
Semanas anteriores se habían encontrado algunos papers sobre hexacopter y cuadcopters, los cuales consultamos para plasmar acá lo entendido.
El centro del drone esta dado por: XB, YB, ZB, la posición angular de nuestro drone esta dada por los angulos de auler:
- roll =φ
- pitch= θ
- yaw = ψ
Por lo tanto nuestro momento de inercía es dado por la siguiente matriz, es una cantidad caracterisitca que puede ser la masa o el volumen.
La transformación de del cuerpo del drone a un sistema de referencia inercial es dada por la matriz ortogonal.
La matriz de transformación de las velocidades angulares del cuerpo de inercia al cuerpo del drone se define mediante la siguiente matriz.
Mientras que la transformada de las velocidades angulares del cuerpo del drone al cuerpo de inercia se define como:
Cuaternios
En la parte de arriba describimos el uso de los angulos de Euler, sin embargo otra técnica que también podríamos utilizar para describir la orientación de nuestro drone respecto a la tierra y son los cuaternios.
Los cuaternios se basan en la ley de de la rotación de Euler, donde se define lo siguiente:
q = [q0 q1 q2 q3] ^T, donde q0 = cos(α/2), q1 = sin(α/2)u1,
q2 = sin(α/2)u2 y q3 = sin(α/2)u3.
A diferencia de los angulos de Euler, los cuaternios no necesitan ser pre-definidos por ejer de rotación, por que ellos pueden cambiar su propio eje continuamente.
Por lo tanto la transformada de la velocidad del drone del cuerpo del drone a la inercia se define por: ξ = QξB, donde Q es la siguiente Matriz.
Las transformadas pueden ser escritas como: q˙ = S ν, donde S se define por esta matriz.
Finalmente, la fuerza actuando en el Hexacopter esta dada por:
donde la masa(m) es considerada constante, cada rotor(i) tiene una velocidad angular( ωi), por lo cual generan una fuerza dada por fi = [0 0 ω 2 i ].
Siendo k la constante de carga, el empuje total es dado por:
Si unimos la fuerza gravitacional con la fuerza de empuje, obtendremos la fuerza total que representa el hexacopter:
Como consecuencia, el componente de traslación es
Matriz final del pitch, roll y yaw
Material obtenido de la IEEE: link