ฟังก์ชั่นคลื่นในมุมมองแบบโคเพนเฮเกน

การเข้ามาตีความเกี่ยวกับฟังก์ชั่นคลื่นว่าสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นของ มักซ์ บอร์น นั้นทำให้มุมมองของเราต่อโลกในระดับอะตอมนั้นช่างเป็นโลกที่แตกต่างจากโลกที่เราคุ้นเคยอย่างมากมาย

ที่มา http://www.psychic-junkie.com/flipping-a-coin-gives-you-the-truth-of-the-matter.html

หากเราพูดถึงความน่าจะเป็น เราคงหนีไม่พ้นเรื่องการเก็นสถิติ การสุ่ม ซึ่งเรามีความเข้ากับความหมายของคำเหล่านี้อยู่แล้วสำหรับชีวิตประจำวัน เราขอยกตัวอย่างที่เราเจอเป็นประจำนั้นคือ การท้ายหัวก้อยเมื่อเราโยนเหรียญ เรารู้ว่าเหรียญนั้นมีสองหน้าคือ หัว และ ก้อย ดังนั้นโอกาศที่จะออกหัวหรือก้อยนั้นเป็น 50/50 ทุกครั้งที่เราโยนเหรียญ อย่างไรผลของการโยนเหรียญออกมาแบบสุ่มนั้นเพราะเราไม่ได้ควบคุมตัวแปรต้น เช่น แรงที่เราใช้ดีด หรือ มุมที่เหรียญทำในตอนต้น หากเรารู้ข้อมูลเบื่องต้นเหล่านี้ตามทฤษฏีเราสามารถคำนวนได้ผลที่จะออกของเรียนได้ซึ่งเรารู้จักกันดีในชื่อว่า ดีเทอร์มินิสติก (deterministic)

อีกตัวอย่างหนึ่งที่เราอาจจะเจอกันประจำนั้นคือการจับไพ่ เพื่อความง่ายสมมุติให้ตอนนี้เรามีไพ่สองใบคือ Q และ J ดังรูป หากเพื่อนเราคว่ำมันลงแล้วทำการสลับไปมาโดยที่เราไม่เห็นแล้วจากนั้นให้เราจับไพ่ออกมาหนึ่งใบ โอกาสที่เราจะได้ Q หรือ J นั้นเป็น 50 เท่ากัน อย่างไรก็ดีหากเรารู้รูปแบบของการวางไพ่เบื้องต้นแล้วรู้ว่าสลับอย่างไร ผลที่เราจับนั้นสามารถบอกได้อย่างแม่นยำครับ

ที่มา http://www.antonine-education.co.uk/Pages/Physics_2/Waves/WAV_03/Waves_3.htm

เรารู้ว่าในควอนตัมสิ่งที่เราสนใจนั้นคือฟังก์ชั่นคลื่น ชื่อมันก็บอกแล้วว่าเกี่ยวกับคลื่น หากเราเทียบภาพที่เรามีกับเรื่องคลื่นที่เราคุ้นเคยนั้น เรารู้ว่าคลื่นหลายๆขบวนนั้นสามารถรวมตัวกันเป็นคลื่นใหม่ขึ้นมาได้ ดังรูป นี้เป็นสมบัติพื้นฐานของคลื่นที่เรียกว่าการซ้อนทับ (superpostion of waves)

สำหรับในกรณีควอนตัมนั้น เจ้าฟังก์ชั่นคลื่นที่เราสนใจนั้นอาจจะเกิดการการรวมตัวของฟังก์ชั่นคลื่นย่อยๆหลายฟังก์ชั่นที่เป็นไปได้ขณะที่เรายังไม่ได้วัดหรือสังเกตุ เรียกว่าระบบอยู่ในสภานะโคเฮียเรินซ์ (coherence state)

ตัวอย่างง่ายๆนั้นคือ Psi นั้นเกิดจาการรวมตัวของ Psi_1 และ Psi_2 โดย |c_1|^2+|c_2|^2=1 จริงๆแล้วเจ้าฟังก์ชั่นคลื่น Psi นั้นมีความเป็น ดีเทอมินิสติก ตามสมการของชเรอดิงเงอร์ นั้นคือหากเรารู้เงื่อนไขเริ่มต้นของเจ้าฟังก์ชั่นคลื่นเราก็สามารถทำนายได้ว่าที่เวลาถัดไปจะเป็นอย่างไรจากตัวดำเนินการที่เรียกว่า ตัวดำเนินการของการเปลี่ยนไปของเวลา U(t)

ถึงตรงนี้เราอาจจะมองว่าแล้วไง เจ้าฟังก์ชั้นคลื่นก็สามารถทำนายความเป็นไปได้หากรู้เงื่อนไขเริ่มต้น แล้วไหนเรื่องเรื่องสถิติ เรื่องความน่าจะเป็น ในความเป็นจริงแล้วเรื่องของสถิตินั้นเข้ามาตอนที่เราทำการสังเกตุระบบ เพราะเจ้าฟังก์ชั่นคลื่น Psi นั้นจะเกิดการยุบตัว (collapse) แบบสุ่ม เราเรียกว่าว่าการเกิดดีโคเฮียเรินซ์ (decoherence state) ของสถานะ ทำให้สถานะของระบบสุดท้ายอธิบายด้วยสถานะย่อย Psi_1 หรือ Psi_2 ขึ้นกับผลที่ออกมา

ประเด็นที่น่าสนใจคือตัวฟังก์ชั้น Psi นั้นไม่ได้เป็นสิ่งที่เราใช้อธิบายโลกอย่างที่เราเห็น แต่ |Psi|^2 ต่างหากเป็นสิ่งที่เราใช้ในการสังเกตุโลกหรือว่าง่ายคือเป็นตัวที่อธิบายผลการทดลองเพื่อสังเกตุพฤติกรรมของระบบ

เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้นเรายกตัวอย่างกรณีอนุภาคควอนตัมในหนึ่งมิติ เจ้า |Psi|^2dx นั้นคือ ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคในช่วง x ถึง x+dx ณ เวลาหนึ่งๆ ตามการตีความของ บอร์น หากว่าอนุภาคนั้นโดนจำกัดให้อยู่ในช่วง a ถึง b เราสามารถค่อยๆบวกค่าความน่าจะเป็นที่ล่ะช่วง dx จาก a ถึง b (หากเราคิดว่า dx เล็กมากๆเราสามรถเปลี่ยนจากบวกเป็นอินทีเกรทได้ดังรูป) ผลรวมตลอดช่วง a ถึง b นั้นต้องเท่ากับ 1 หมายความว่า หากอนุภาคอยู่ในบริเวณนี้ยังไงเราก็ต้องเจอนั้นเอง

ขณะที่เรายังไม่ได้วัดเราไม่สามารถบอกได้เลยว่าอนุภาคเราอยู่ตรงไหนในบริเวณ a ถึง b แต่เมื่อเราทำการวัดเจ้าฟังก์ชั่นคลื่นจะยุบตัวลงไป(เหลือเป็นพีค ณ จุดใดจุดหนึ่งที่เราจะเจออนุภาคแบบสุ่ม) ดังรูป

วิธีการเก็บสถิตินั้น เราต้องเตรียมระบบควอนตัมของเราที่เหมือนกันทุกอย่างจำนวนเยอะมากๆ เราเรียกว่า อองซอมเบิล จากนั้นเราทำการวัด ณ เวลาเดี่ยวกัน จากนั้นเราก็เก็บสถิติค่าของตำแหน่งที่เราจะเจออนุภาคในช่วง a ถึง b เมื่อเรานำสถิติมาทำการพล็อตกราฟ เราจะได้

เราเห็นว่าสถิติที่เราได้นั้นสอดคล้องกับรูปร่างของ |Psi|^2 นั้นคือ โอกาศที่จะเจออนุภาคตรงตำแหน่ง b นั้นมากที่สุด

ความเป็น อินดีเทอมินิสติก (indeterministic)ในควอนตัมนั้นมาจากการที่ฟังก์ชั่นคลื่นเริ่มต้นอยู่ในสถานะซ้อนทับ พอทำการวัดจะเกิดการยุบตัวแบบสุ่ม(อย่างคาดเดาไม่ได้)

อันที่จริงหากเรากลับไปพิจารณากรณีโยนเหรียญแต่หากเราปิดมือเอาไว้ก่อน แสดงว่าก่อนที่เราจะเปิดนั้นเราก็ไม่รู้ว่าเหรียญเป็นหัวหรือก้อย ซึ่งฟังดูก็ไม่ต่างจากกรณีควอนตัม แต่จริงๆแล้วต่างกันมากเพราะถึงแม้เราจะปิดมือเอาไว้เหรียญนั้นจะขึ้นหน้าได้เพียงหน้าเดี่ยว ไม่หัวก็ก้อย ความเป็นจริงของสถานะของเหรียญนั้นแน่นอน แต่หากเราคิดว่าเหรียญมีประพฤติกรรมทางควอนตัมแล้วนั้น ก่อนที่เราจะเปิดมือความเป็นจริงทางสถานะของเหรียญยังไม่นิยาม นั้นคือ เป็นหัวและก้อยได้พร้อมๆกัน เมื่อเปิดแล้วถึงจะได้ความเป็นจริงอันใดอันหนึ่ง

มุมมองที่มีต่อโลกควอนตัมแบบนี่นั้นไม่ได้ทำให้นักฟิสิกส์ทุกคนพอใจ ในจำนวนนั้นไ้ด้แก่ ไอน์สไตน์ที่ได้คิดแบบจำลองทางความคิดขึ้นมาโจมตี หรือจะเป็นชเรอดิงเงอร์ที่เสนอแนวคิดเรื่องแมว