แมนิโฟลด์ (Manifold)

หากเราเรียนฟิสิกส์เราอาจจะได้ยินคำศัพย์คำหนึ่งแน่นอน นั้นคือ แมนิโฟลด์ ซึ่งใช้อธิบายระบบฟิสิกส์ทั้งใน กลศาสตร์คลาสสิก หรือไม่ว่าจะเป็นทฤษฏีสัมพัธภาพทั่วไป แต่พอไปเปิดตำราอ่านหนังสือดูพบว่ายากมากกับการทำความเข้าใจ นึกภาพไม่ออกเพราะคำอธิบายนั้นเป็นนิยามคณิตศาสตร์ซะส่วนใหญ่ ว่าง่ายๆคือมึนนั้นเอง ในบทความนี้เราพยายามที่จะอธิบายภาพของแมนิโฟลด์ให้ง่ายที่สุดเท่าที่จะทำได้เน้นการสร้างภาพเพื่อความเข้าใจ

ก่อนอื่นเราขอทบทวน ปริภูมิยูคลิด (Euclidean space) ซึ่งเราคุ้นเคยกันดีอยู่แล้วนั้นคือ ปริภูมิสามมิติที่มีแกนสามแกนตั้งฉากกัน

https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space

คุณสมบัติพื้นฐานของปริภูมิยูคลิดสามารถดูได้ตามลิงก์ด้านล่างรูป สำหรับกรณีสามมิติเราอาจใช้อังษรย่อ R^3 (x,y,z)ในกรณีสองมิติเป็น R^2 (x,y)และหนึ่งมิติเป็น R^1 (x) เราอาจจะรู้สึกว่าเรารับรู้ได้มากสุดนั้นคือ 3 มิติ แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์เรื่องข้อจำกัดของการรับรู้นั้นไม่ใช่ปัญหา เราสามารถปริภูมิยูคลิดสำหรับ n มิติ R^n ซึ่งอธิบายด้วยเซตของตำแหน่ง (x_1,x_2,…,x_n)

แนวคิดของแมนิโฟลด์นั้นใช้อธิบายปริภูมิซึ่งอาจจะโค้งง้อหรืออาจจะมีรูปร่าง (topology) ที่แปลกประหลาด แต่ประเด็นที่สำคัญคือ หากเราพิจารณาบริเวณเล็ก(เล็กเท่าที่จะเล็กได้)เฉพาะที่ (local small region) จะมีรูปร่างเหมือนกับ ปริภูมิยูคลิดที่ n มิติ R^n เพื่อให้เห็นตัวอย่าง

1. ปริภูมิยูคลิด R^n นั้นเป็นแมนิโพลด์เพราะตัวมันเองเหมือนตัวมันเอง (Global)

ตัวอย่างของปริภูมิยูคลิด 1, 2 และ 3 มิติ

2. n มิติทรงกลม (n-shpere) S^n เช่น วงกลม S^1 ทรงกลม S^2 และ มิติที่สูงขึ้นไป เราขอยกสองตัวอย่างแรกที่เราพอจะวาดภาพได้

วงกลมในปริภูมิยูคลิดสองมิติ

2.1 ตัวอย่างแรก คือ วงกลม S^1 ซึ่งต้องแสดงในปริภูมิยูคลิด 2 มิติ R^2 หากเราทำการซูมอินเข้าไปในแต่ละจุดบนวงกลมเราค้นพบว่าเราสามารถมองได้ว่าเส้นโค้งบริเวณนั้นประมาณได้ว่าเป็นเส้นตรงดังรูป หากเราขยับต่อไปเราก็สามารถประมาณเส้นตรงต่อไปได้เลื่อยๆ ดังนั้นเราอาจะคิดว่าเจ้าวงกลมนั้นเกิดจากการเอาเส้นตรงเล็กเหล่านี้มาต่อกันนั้นเอง

ทรงกลมในปริภูมิยูคลิดสามมิติ

2.2 ตัวอย่างที่สอง คือ ทรงกลม S^2 ซึ่งต้องแสดงในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ R^3 หากเราทำการซูมอินเข้าไปในแต่ละจุดบนทรงกลมเราค้นพบว่าเราสามารถมองได้ว่าส่วนโค้งบริเวณนั้นประมาณได้ว่าเป็นระนาบดังรูป หากเราขยับต่อไปเราก็สามารถประมาณเส้นตรงต่อไปได้เลื่อยๆ ดังนั้นเราอาจะคิดว่าเจ้าวงกลมนั้นเกิดจากการเอาเส้นตรงเล็กเหล่านี้มาต่อกันนั้นเอง

3. n มิติของทอรัส (n-Torus) ตัวอย่างที่เราคุ้นเคยกันได้โดนัท T^2=S^1 x S^1 เท่ากับการรวมกันของวงกลมสองอัน

เราอาจจะคิดว่าโดนัท(2 มิติ)นั้นเกิดจากการนำเอาแผ่นสี่เหลี่ยม 2 มิติ มาทำการเชื่อมสองด้านตรงข้ามเข้าด้วยกันจะได้ทรงกระบอก จากนั้นเราทำการเชื่อมผิวหน้าทั้งสองหน้าของทรงกระบอกเข้าด้วยกันจะได้โดนัท

จริงเราสามารถสร้างทอรัสที่มีรู้ได้มากกว่าหนึ่งรู จำนวนของรูเรียกว่า จีนัส (genus)

ทรงกลมนั้นคือทอรัสที่มีจีนัสเป็นศูนย์(ไม่มีรู) โดนัทเป็นทอรัสที่มีจีนัสเป็นหนึ่ง(หนึ่งรู) และจำนวนรูเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

พวกนี้เราอาจจะเรียกว่า ทอรัส เหมือนกันแต่มีข้อแตกต่างทางโทโพโลจี เพราะทอรัสที่มีจีนัสต่างกันไม่สามารถแปลงอย่างต่อเนื่องไปหาระหว่างกันได้ เช่น เราไม่สามารถแปลงรูปร่างทำให้ทรงกลมให้ไปเป็นโดนัทได้นอกจากต้องเจาะเนื้อของทรงกลม แต่ทรงกลมนั้นเปลี่ยนไปเป็น วงรีได้ หรือ เป็นสี่เหลี่ยมได้ เรียกว่า Hemeomorphism

ทรงกลม วงรี สี่เหลี่ยม จัดได้ว่ามีโทโพโลจี อยู่ในวงเดี่ยวกัน
โดนัทสามารถเปลี่ยนไปเป็นแก้วน้ำได้ ดังนั้นอยู่ในวงโทโพโลจีเดี่ยวกัน

เรื่องของโทโพโลจีนั้นเป็นเรื่องใหญ่และรายละเอียดเยอะดังนั้นเราจะยกไปกล่าวถึง ณ ที่อื่นอีกที

จากตัวอย่างหลายตัวอย่างด้านบน เราอาจจะสรุปได้ว่า แมนิโฟลด์ที่มีมิติ n: M^n นั้นคือพื้นผิวหลายมิติ (Hypersurface) ที่วางตัวอยู่ใน ปริภูมิยูคลิดที่มีมิติ n+1: R^n+1 โดยที่บริเวณจำเพาะเล็กๆ ใดสามารถประมาณได้โดย ปริภูมิยูคลิดที่มีมิติ n: R^n

หากเรานึกไม่ออกเรานึกถึงเราที่อยู่บนโลกนี้จะเห็นภาพง่ายที่สุด หากเรามองไปรอบเรา เราจะพบว่าพื้นผิวของโลกนั้นราบ (flat) แต่หากเราออกไปมองโลกจากอวกาศแล้วพบว่า โลกนั้นเป็นทรงกลม ตัวอย่างนี้สอดคล้องกับกรณีทรงกลม S^2 ข้างต้น

อินฟินิตี้

เราอาจจะคิดว่าโน้นนี้นั้นก็มองได้ว่าเป็นแมนิโฟลด์ แล้วมีอะไรที่ไม่เป็นแมนิโพลด์บ้างหรือเปล่า ตัวอย่างที่โดนยกกันมันนั้นก็คือ สัญลักษณ์อินฟินิตี้ นั้นเองปัญหาอยู่ที่ตรงจุดเชื่อมของสองวง เพราะเรามีสองตัวเลือกของเส้นตรงสองแบบ

http://www.sculpteo.com/en/repair-your-file-3d-printing

ตัวอย่างเพิ่มเติมด้านบน

ที่ผ่านมาเราอธิบายลักษณะของแมนิโฟลด์โดยไม่ได้เจาะลึกลงในแง่มุมของคณิตศาสตร์ จริงแนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์นั้นถือว่าได้รับแรงบันดาลใจมาจากการวาดแผนทีโลก เพราะว่าเราทำการแมป (map) ภาพพื้นผิงโค้งของโลกลงมาเป็นแผ่นทีในสองมิติ อย่างไรก็ดีการที่เราจะแสดงทุกตำแหน่งบนโลกนั้น เราอาจจะต้องใช้การแมปหลายแมป บางแมปอาจจะมีบ้างส่วนที่ซ้อนทับกัน

แผนที่ขั้วโลกเหนือและใต้

ตอนนี้เราขอพูดคณิตศาสตร์ให้เป็นทางการขึ้นโดยพิจารณาด้านล่าง

การแมปบริเวณหนึ่งบนแมนิโฟลด์ลงไปบนปริภูมิยูคลิด

หากเราพิจารณาบริเวณ U บนแมนิโฟลด์ M^n โดยแมปผ่านลักษณะการแมป psi ลงไปยังปริภูมิยูคลิดที่มีมิติ n : R^n ซึ่งมีบริเวณเป็น psi(U) ซึ่งเรียกว่า ชาร์ต (chart)

ตัวอย่างคือการแมปผิว 3 มิติของโลกลงไปบนแผนวงกลม 2 มิติ หรือ ชาร์ต 2 มิติ (แต่ทำได้แค่ครึ่งโลก)

จากตัวอย่างด้านบนเราจะเห็นว่า ชาร์ตเดี่ยงนั้นไม่สามารถแมปผิว 3 มิติของโลกได้ครอบคลุม ส่วนใหญ่แล้วแมนิโฟลด์นั้นต้องการชาร์ตมากกว่าหนึ่งอัน

การแมปหลายๆบริเวณแมนิโฟลด์ลงไปบนปริภูมิยูคลิด

ดังนั้นการบรรยายแมนิโฟลด์เกิดจากรวมกันของหลายๆชาร์ต (collection of charts) เรียกว่า แอตลาส (Atlas) : {(U_i, psi_i)} บางบริเวณบนผิวของแมนิโฟลด์นั้นอาจจะมีการซ้อนทับ เมื่อทำการแมปไปบนปริภูมิยูคลิดแล้วส่วนทีซ้อนทับกันนั้นสามารถแปลงไปมาระหว่างกันได้ (ตามรูป) เช่น หากเราคิดว่าประเทศไทยนั้นเป็นบริเวณที่เป็นการซ้านทับของสองบริเวณที่เราจะเลือกแมป เมื่อแมปไปแล้ว รูปร่างประเทศไทยที่ปรากฏบนชาร์ตแรกอาจจะไม่เหมือนกับรูปร่างประเทศไทยในอีกชาร์ตหนึ่ง แต่สามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างรูปร่างทั้งสองได้

ตัวอย่าง โลกอย่างละเอียด

ชาร์ตของโลก

เราสร้างชาร์ตที่ครอบคุมขั้วโลกเหลือเทียบจุ (0,0,1) และขั้วโลกใต้เทียบจุด (0,0,-1) แต่ดูเหมือนจะไม่พอเพราะยังครอบคลุมเส้น อิเควเตอร์ (equator line) ดังนั้นเราอาจต้องสร้าง อีกสองชาร์ตตามแนวแกน x เทียบจุด (1,0,0) และ (-1,0,0) แต่ก็ยังไม่พอเพราะยังไม่ครอบคลุมจุด (0,1,0) และ (0,-1,0) ดังนั้นต้องการอีกสองชาร์ต ทั้งหมดรวมเป็น 6 ชาร์ต (จะเห็นได้ว่าระหว่างชาร์ตที่ถัดกันไปนั้นจะมีบริเวณที่ซ้อนทับกันอยู่ แต่ตรงข้ามกันไม่มี)

ตัวอย่าง วงกลม

http://inperc.com/wiki/index.php?title=File:Circle_and_patches.png

สำหรับวงกลมนั้นเราต้องการ 2 ชาร์ต เพื่อให้ครอบคลุม ดังรูป หมายเหตุ เราใช้วงกลมเส้นเดี่ยวแล้วคลายออกมาเป็นเส้นตรงไม่ได้เพราะตรงจุดที่เราตัดนั้นจะไปอยู่ที่อยู่ปลายเส้นตรงทำให้แมปไม่เป็น หนึ่งต่อหนึ่ง

ที่ผ่านมาเรารู้ว่าเราสามารถแมปจาก n มิติแมนิโฟลด์ไปเป็น n มิติของปริภูมิยูคลิด ตอนนี้เราอาจจะถามว่าแล้วการแมประหว่างแมนิโฟลด์นั้นเป็นไปได้หรือเปล่า คำตอบคือเป็นไปได้ (จริงๆการแมปจากรูปร่างใดๆของแมนิโฟลด์ลงไปในปริภูมิยูคลิดก็เป็นแบบหนึ่ง)

พิจารณาแผนภาพด้านบน เรามีแมป f ซึ่งทำการแมปบริเวณ U บนแมนิโฟลด์ M^n ไปยังบริเวณ V ของแมนิโฟลด์ M^m โดย m และ n นั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน เรารู้ว่าแต่ล่ะแมนิโฟลด์นั้นมีแมปของตัวเองที่ทำการแมปลงไปบนปริภูมิยูคลิด การแมปกันระหว่างปริภูมิยูคลิดเป็นคอมโพสิดแมปดังรูป โดยทั่วไปแล้วการเขียนแมป f นั้นอาจจะยากแต่มีอยู่

ตัวอย่าง

เราพิจารณาการแมประหว่าง ทรงกลมสองอันที่มีรัศมีไม่เท่ากันดังรูปด้านบน เราพบว่าแมป f นั้นเป็นการ สเกลลิงแมป เราอาจจะพูดได้ว่า แมป f เป็น deffeomorphism เพราะทรงกลมทั้งสองสามารถเปลี่ยนไปหากันได้อย่างราบรื่น (smooth map)

โดยปกติแคลคูลัสที่เราใช้งานนั้นนิยามอยู่บนปริภูมิยูคลิด ดังนั้นการที่เรามีภาพว่า บริเวณจำเพาะใดๆบนแมนิโฟลด์มิติ n นั้นสามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิยูคลิดมิติ n นั้นจะช่วยทำให้เราสามารถขยายแนวคิดของแคลคูลัสไปยังแมนิโฟลด์ได้

To be continued……..

ถึงตอนนี้ภาพของแมนิโฟลด์น่าจะชัดเจนมากขึ้น หากต้องการคณิตศาสตร์ที่ละเอียดกว่านี้ก็สามารถอ่านได้ตามหนังสือ แต่สำหรับนักฟิสิกส์การเห็นภาพนั้นสำคัญที่สุด